?01
數(shù)學(xué)之難
“我家孩子每天學(xué)習(xí)到12點(diǎn)菩彬，太辛苦了，看得我心疼潮梯！”
“我的數(shù)學(xué)不好骗灶，我孩子這一點(diǎn)上完全繼承了我……”
“數(shù)學(xué)學(xué)到初中會(huì)算數(shù)就好了……”
“我家孩子不細(xì)心，馬虎大意秉馏，還是做題少耙旦！”
……
作為一名數(shù)學(xué)教師，時(shí)不時(shí)地會(huì)與家長(zhǎng)們交流萝究，聽到的負(fù)面信息比較多免都，也許“別人家的孩子”才是父母心中的理想下一代吧！
正如網(wǎng)絡(luò)上的一句話帆竹，“逼急了我什么都做得出來绕娘，除了數(shù)學(xué)……”
沒有哪個(gè)學(xué)科會(huì)像數(shù)學(xué)給人的恐懼感來得強(qiáng)烈，平均每五個(gè)人中會(huì)有1個(gè)懼怕數(shù)學(xué)栽连！
我也曾經(jīng)問過學(xué)生：“你們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的美和樂趣了嗎险领？”
得到的答案是：“美？你在逗我們吧！樂趣倒有一點(diǎn)……”
看來绢陌，如果您是位小學(xué)或初中的數(shù)學(xué)教師挨下，不要著急要學(xué)生們認(rèn)知到數(shù)學(xué)的美，而先讓其深入數(shù)學(xué)下面，發(fā)掘?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育多數(shù)情況下是在既定的定理下完成題目的證明绩聘，重復(fù)重復(fù)再重復(fù)沥割，直到學(xué)生們掌握了這個(gè)題型為止，我想凿菩，這絕對(duì)不是數(shù)學(xué)教學(xué)的本意……
如果您有這方面的困擾机杜，那么就看看這本書《思考的樂趣》。
作者簡(jiǎn)介：顧森衅谷，北京大學(xué)中文系畢業(yè)椒拗，數(shù)學(xué)愛好者。
2005年起書寫各類數(shù)學(xué)文章超過千篇获黔，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作多年蚀苛。
02
幾何篇——眾人尋他千百度，驀然回首玷氏，那人卻在燈火闌珊處
如果您是初中數(shù)學(xué)老師堵未，一定聽到過學(xué)生們?cè)V說：“老師，這個(gè)題我就是沒有想到輔助線怎么做……”
幾何給人的感覺如同萬花筒盏触，光彩迷人渗蟹，有時(shí)會(huì)深陷其漩渦之中。
幾何沒有捷徑赞辩，需要具備敏銳的觀察力與想象能力雌芽，當(dāng)然還有奇思妙想的大腦。
小試牛刀
如圖所示辨嗽，ABCD是長(zhǎng)方形世落，DEFG是正方形，已知DE=4糟需，CD=5岛心，求BC的長(zhǎng).
注意：這是一道小學(xué)范圍內(nèi)的題目（不能用相似、勾股定理等求解）
乍看起來篮灼，此題無論如何不能用小學(xué)知識(shí)解答的忘古，當(dāng)我們連接CG之后，一切都迎刃而解了……
我們發(fā)現(xiàn)三角形CDG的面積既是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半诅诱，也是正方形DEFG面積的一半，這樣，就可以得到算式：BC×CD=DE×DE驶沼，
代入得到：BC=3.2.
類似的題目有很多回怜，如下圖所示玉雾，陰影部分是正方形复旬，求其邊長(zhǎng)冲泥？
同樣的凡恍，這道題目也是小學(xué)級(jí)別的嚼酝，不能用相似來求解革半。
稍微將腦洞放大，就可以得到下面的圖形延刘，
很明顯我們得到正方形面積等于紅色長(zhǎng)方形的面積，即36外构，正方形的邊長(zhǎng)為6.
不要小看這小小的平移及等積轉(zhuǎn)化审编，它還可以解決高中知識(shí)呢垒酬！
四邊形是平行四邊形件炉，其中一頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)斟冕，該四邊形的面積為：|ad－bc|.
我們看一下平移及等積轉(zhuǎn)化的過程：
奇思妙想
求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正n邊形從某一頂點(diǎn)出發(fā)的（n-3）條對(duì)角線將其分成（n-2）個(gè)三角形十办，那么有且只有一個(gè)三角形是銳角三角形.
這是n=5橘洞、7炸枣、9時(shí)的情形（各畫了一種分割方法）
從圖中可以看出問題的正確性适肠，可是要怎么證明呢候引？
這就需要用到：如果一個(gè)三角形是銳角三角形澄干，當(dāng)且僅當(dāng)其外心在其內(nèi)部麸俘。
這就一目了然了从媚，無論哪一種分發(fā)拜效，正n變形中心必是所有三角形的外心紧憾，而這個(gè)外心必在某個(gè)三角形內(nèi)部，這個(gè)三角形即為銳角三角形父阻。
拍案叫絕
在一個(gè)單位正方形內(nèi)加矛，有兩個(gè)互不重合的小正方形斟览，求證：這兩個(gè)正方形的面積之和不可能大于1。
這個(gè)定理的證明需要用到一個(gè)定理，在一個(gè)直角三角形內(nèi)部作正方形時(shí)妓羊，正方形頂點(diǎn)在直角頂點(diǎn)時(shí)面積最大。
由于兩個(gè)正方形是相離的裕循，則一定能找到一條線段MN將兩正方形分開剥哑，與對(duì)角線AC交于一點(diǎn)P株婴，分別過P作正方形各邊的垂線困介。
則正方形AEPG是三角形AOM內(nèi)部最大正方形座哩，即上方正方形面積不大于正方形AEPG面積八回，邊長(zhǎng)不大于AE驾诈；同理下方正方形的邊長(zhǎng)不大于CF乍迄，這樣，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和不大于1褥伴。
令人嘆為觀止的皮克定理
在由邊長(zhǎng)是單位1的正方形組成的圖形中重慢，如果一個(gè)三角形頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，其面積怎么求解隅熙？
利用割補(bǔ)法很容易就求出三角形的面積為：5.
奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)：不僅是三角形，任意多邊形驰坊，只有每個(gè)頂點(diǎn)都在單位正方形的網(wǎng)格的“格點(diǎn)”上拳芙，它的面積為：I+B/2-1态鳖。這就是皮克定理恶导。
其中惨寿，I是多邊形內(nèi)部所含的格點(diǎn)數(shù)裂垦；B是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)蕉拢。
比如上面的圖形中晕换，I=4闸准，B=4夷家，三角形的面積等于4+4/2-1=5.
上面兩個(gè)圖形哪個(gè)面積大摸袁？通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)义屏，面積都等于0+16/2-1=7.
在一個(gè)點(diǎn)陣中膀曾，畫一條經(jīng)過所有點(diǎn)恰好一次的回路，得到多邊形的面積一定是相同的阳啥。
03
數(shù)篇——暢游數(shù)字海洋
數(shù)學(xué)倒過來念就是學(xué)數(shù)≌队可見所踊，數(shù)對(duì)于數(shù)學(xué)來說是至關(guān)重要的概荷，有一門數(shù)論學(xué)科是專門研究數(shù)的秕岛，比如我們所熟知的畢達(dá)哥拉斯定理、角谷猜想误证、親和數(shù)猜想等等继薛。
數(shù)論的表現(xiàn)形式很簡(jiǎn)單，但證明過程有時(shí)候會(huì)很難愈捅。比如陳景潤(rùn)在證明“1+1=2”一個(gè)分支問題時(shí)就寫了幾百頁之多……
這本書中提出了幾個(gè)有趣的問題以饗讀者遏考。
0和1的天下
2的5倍是10，3的37倍是111蓝谨，4的25倍是100灌具，……是否對(duì)于任意正整數(shù)n咖楣，都能找到一個(gè)n的倍數(shù)，它全是由數(shù)字0和1構(gòu)成咸作？
答案是肯定的壳嚎。
考慮數(shù)列1、11、111、1111、……由于任意一個(gè)正整數(shù)除以n，余數(shù)只有n種可能雇锡，因此數(shù)列的前n+1項(xiàng)中一定有2項(xiàng)除以n后的余數(shù)相同，這兩項(xiàng)的差即滿足條件。
瘋狂的數(shù)字
證明：存在任意長(zhǎng)的連續(xù)自然數(shù)序列融蹂，使得序列中的每一個(gè)數(shù)都是合數(shù)拘领。
任取一個(gè)正整數(shù)n>1圣猎，n晦闰！+2是2的倍數(shù)跪妥，n纽疟！+3是3的倍數(shù)……n蟆肆！+n是n的倍數(shù)蛇损，所以毁涉，序列n其屏！+2偎行、n膨更！+3、…n！+n是一個(gè)含有n-1項(xiàng)合數(shù)的序列。
由于n可以取到任意大，此序列有任意長(zhǎng)歌懒。
崩潰的答案
證明或推翻：a^3+b^4=c^5沒有正整數(shù)解。
令很多學(xué)生崩潰的是端幼，此題的答案只有寥寥一句話滑进！
答案：因?yàn)?^24+2^24=2^25犀忱，
所以（2^8）^3+(2^6)^4=(2^5)^5。
04
生活中的數(shù)學(xué)——體驗(yàn)折紙的快樂
我們知道地来，尺規(guī)作圖不是萬能的蜡秽，比如倍立方體。（即將立方體體積擴(kuò)大為原來的2倍）
書中提到了一個(gè)非常有意義的事情隧饼，就是折出2的立方根静陈，解決尺規(guī)作圖不能完成的任務(wù)燕雁。
第一步將正方形三等分；第二步將A鲸拥、B的落點(diǎn)分別在三等分折痕處拐格，對(duì)邊上；這樣B’就將邊界分成了2^(1/3)：1的兩部分刑赶。
利用相似與勾股定理即可求得其結(jié)果的正確性捏浊。
05
挑戰(zhàn)思維的廣度——數(shù)無界，思維無界
我們知道實(shí)數(shù)有無窮多個(gè)撞叨，可它的證明卻歷經(jīng)了很多年金踪，由康托爾用一種很簡(jiǎn)單的方法證明出來。
在區(qū)間(0,1)之間的實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的牵敷，康托爾用了反證法來證明了這一論點(diǎn)胡岔。
將集合（0,1）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)按某種順序排列為：a1、a2枷餐、a3……靶瘸，這里的每個(gè)數(shù)都是0點(diǎn)幾幾幾……的無限小數(shù)，也可以是有限小數(shù)后面添加無限個(gè)0毛肋，
比如：
a1=0.21231457……
a2=0.32144547……
a3=0.10000000……
a4=0.32554781……
a5=0.12220000……
a6=0.91231457……
……
下面我們構(gòu)造一個(gè)新數(shù)怨咪，它也屬于（0,1）區(qū)間，但不在這張表中润匙。
這個(gè)數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位不同于a1的第一位诗眨，第二位不同于a2的第二位……
那么這個(gè)實(shí)數(shù)將區(qū)別于上面那個(gè)列表中任意一個(gè)數(shù)，因此趁桃，我們不可能將所有0到1之間的實(shí)數(shù)一個(gè)也不少地排成一列辽话。
人的思維無限……
寫在最后肄鸽，用作者自己的話來表述這本書的意義：
如果你是剛剛體會(huì)到數(shù)學(xué)之美的初中生卫病，這本書會(huì)帶你進(jìn)入一個(gè)課本之外的數(shù)學(xué)花園油啤；
如果你是奮戰(zhàn)在技術(shù)行業(yè)前線的工程師、教師蟀苛，這本書或許能不斷給你帶來新的靈感益咬；
如果你并不那么喜歡數(shù)學(xué)，這本書或許會(huì)逐漸改變你的看法……
顧森——《思考的樂趣》
趣味性：★★★★★
可讀性：小學(xué)生? ? ? ? ? ? ???★★
? ? ? ? ? ? ? 中學(xué)生? ? ? ? ? ?★★★★★
? ? ? ? ? ? ? 大學(xué)生? ? ??? ? ?★★★★★
? ? ? ? ? ? ? 教師（家長(zhǎng)）★★★★★
這是小編看過的為數(shù)不多的好看的國(guó)產(chǎn)初等數(shù)學(xué)科普作品帜平，而且很有“良心”幽告，如果你是位中學(xué)生或教師或家長(zhǎng)，這本書值得一讀裆甩，無論年少男女老幼冗锁！
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END
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