高等代數(shù)理論基礎(chǔ)36：正定二次型

正定二次型

二次型正定

定義：給定實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ ,若對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) $c_1,c_2,\cdots,c_n?$ 都有 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\gt 0?$ ,則稱 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ 是正定的

例：二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ 是正定的

注：

1.實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$ 是正定的 $\Leftrightarrow d_i\gt 0,i=1,2,\cdots,n$

2.設(shè)實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,a_{ij}=a_{ji}$ 是正定的,經(jīng)過非退化線性替換 $X=CY$ 變成二次型 $g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nb_{ij}y_iy_j,b_{ij}=b_{ji}$ ,則 $g(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 也是正定的

即對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) $k_1,k_2,\cdots,k_n?$ ,有 $g(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt 0?$

令 $y_1=k_1,y_2=k_2,\cdots,y_n=k_n$ ,可得 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 對應(yīng)的一組值,設(shè)為 $c_1,c_2,\cdots,c_n$

即 $\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}?$

C可逆,因而 $\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}=C^{-1}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}$

故當(dāng) $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 不全為零時, $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 也不全為零

顯然 $g(k_1,k_2,\cdots,k_n)=f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\gt 0$

3.非退化線性替換保持正定性不變

定理

定理：n元實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是正定的 $\Leftrightarrow$ 它的正慣性指數(shù)等于n

證明：

$設(shè)二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)經(jīng)過非退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形$

$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2$

$則f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正定\Leftrightarrow標(biāo)準(zhǔn)形正定$

$標(biāo)準(zhǔn)形正定\Leftrightarrow d_i\gt 0,i=1,2,\cdots,n$

$即正慣性指數(shù)為n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：正定二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的規(guī)范形為 $y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$

矩陣正定

定義：對實(shí)對稱矩陣A,若二次型 $X'AX$ 正定,則稱A正定

注：一個實(shí)對稱矩陣是正定的 $\Leftrightarrow$ 它與單位矩陣合同

推論：正定矩陣的行列式大于零

證明：

$設(shè)A為一正定矩陣$

$\because A與單位矩陣合同$

$\therefore 有可逆矩陣C,使得$

$A=C'EC=C'C$

$兩邊取行列式可得$

$|A|=|C'||C|=|C|^2\gt 0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

順序主子式

定義：子式 $H_i=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2i}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{ii}\end{vmatrix}$

$i=1,2,\cdots,n$ 稱為矩陣 $A=(a_{ij})_{nn}$ 的順序主子式

定理：實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 正定 $\Leftrightarrow$ 矩陣A的順序主子式全大于零

證明：

$必要性$

$設(shè)二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j正定$

$\forall k,1\le k\le n$

$令f_k(x_1,x_2,\cdots,x_k)=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^ka_{ij}x_ix_j?$

$下證f_k為k元正定二次型?$

$對任一組不全為零的實(shí)數(shù)c_1,c_2,\cdots,c_k?$

$f_k(c_1,\cdots,c_k)=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^ka_{ij}c_ic_j$

$=f(c_1,\cdots,c_k,0,\cdots,0)\gt 0$

$\therefore f_k(x_1,\cdots,x_k)正定$

$\therefore f_k的矩陣行列式$

$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\gt 0,k=1,2,\cdots,n$

$即A的順序主子式全大于零$

$充分性$

$n=1時,f(x_1)=a_{11}x_1^2$

$由條件a_{11}\gt 0,顯然f(x_1)正定$

$假設(shè)對n-1元二次型結(jié)論成立$

$下證n元二次型結(jié)論成立$

$令A(yù)_1=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}\end{pmatrix}$

$\alpha=\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{n-1,n}\end{pmatrix}$

$則A=\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}?$

$A的順序主子式全大于零$

$則A_1的順序主子式也全大于零$

$由歸納假設(shè)$

$A_1為正定矩陣$

$即有可逆n-1級矩陣G使$

$G'A_1G=E_{n-1}$

$令C_1=\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}?$

$則C_1'AC_1=\begin{pmatrix}G'&O\\O&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}?$

$=\begin{pmatrix}G'A_1&G'\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\\alpha'G&a_{nn}\end{pmatrix}?$

$令C_2=\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$則C_2'C_1'AC_1C_2=\begin{pmatrix}E_{n-1}&O\\-\alpha' G&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\\alpha'G&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\O&-\alpha' GG'\alpha+a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&O\\O&a_{nn}-\alpha'GG'\alpha\end{pmatrix}$

$令C=C_1C_2,a_{nn}-\alpha'GG'\alpha=a$

$則C'AC=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &a\end{pmatrix}$

$兩邊取行列式$

$|C|^2|A|=a$

$\because |A|\gt 0$

$\therefore a\gt 0$

$\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &\sqrt{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &\sqrt{a}\end{pmatrix}$

$即矩陣A與單位矩陣合同$

$\therefore A為正定矩陣$

$即二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正定\qquad\mathcal{Q.E.D}$

負(fù)定

定義：設(shè)實(shí)二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ ,對任一組不全為零的實(shí)數(shù) $c_1,c_2,\cdots,c_n?$ ,若 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\lt 0?$ ,則稱 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ 負(fù)定,若 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\ge 0?$ ,則稱 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ 半正定,若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le 0?$ ,則稱 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ 半負(fù)定,若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)?$ 既不是半正定,又不是半負(fù)定,則稱為不定的

注： $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是負(fù)定時, $-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 為正定的

定理：對實(shí)二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)=X'AX$ ,其中A為實(shí)對稱的,則

$(1)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)半正定$

$\Leftrightarrow(2)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正慣性指數(shù)與秩相等$

$\Leftrightarrow(3)有可逆矩陣C使得$

$C'AC=\begin{pmatrix}d_1\\ &d_1\\ & &\ddots\\ & & &d_n\end{pmatrix}$

$其中d_i\ge 0,i=1,2,\cdots,n$

$\Leftrightarrow (4)有實(shí)矩陣C使A=C'C$

$\Leftrightarrow (5)A的所有主子式(行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式)全大于或等于零$

注：僅順序主子式大于或等于零不能保證半正定性

例： $f(x_1,x_2)=-x_2^2$

$=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

最后編輯于：2019.02.03 09:30:56

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