究中點(diǎn)四邊形? 悟凸凹四邊形的統(tǒng)一性——例談思維力在專(zhuān)題研究中的提撕之二
學(xué)生們都知道银择，四邊形是由四條線(xiàn)段首尾依次連接而圍成的封閉圖形多糠。在四邊形四條邊上各取中點(diǎn)，將四個(gè)中點(diǎn)依次連接浩考，圍成的新的四邊形夹孔，我們可以稱(chēng)之為中點(diǎn)四邊形。
探究四邊形的中點(diǎn)四邊形析孽，一般從正方形開(kāi)始的搭伤。學(xué)生通過(guò)操作可以發(fā)現(xiàn)正方形的中點(diǎn)四邊形仍然是正方形。只是方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)袜瞬，并且面積是原來(lái)正方形面積的一半怜俐。
接著便可探究長(zhǎng)方形的中點(diǎn)四邊形。通過(guò)操作可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的中點(diǎn)四邊形是菱形邓尤。菱形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形又是長(zhǎng)方形拍鲤。每次中點(diǎn)四邊形是上級(jí)四邊形面積的一半贴谎。
平行四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是是一個(gè)新的平行四邊形。并且面積也是原平行四邊形面積的一半季稳。新平行四邊形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形仍然是平行四邊形赴精，面積是上級(jí)平行四邊形的1/2，是最上階平行四邊形面積的1/4绞幌。方向與最上階平行四邊形一致蕾哟。
等腰梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是菱形。普通梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形莲蜘。
至此谭确，我們可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是正方形票渠、長(zhǎng)方形逐哈、菱形、平行四邊形问顷、梯形中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形昂秃。當(dāng)然學(xué)生也知道正方形、長(zhǎng)方形和菱形都是特殊的平行四邊形杜窄。正因?yàn)檎叫纬β妗㈤L(zhǎng)方形、菱形是特殊的平行四邊形塞耕，于是更有益于學(xué)生觀察蚀腿、想象，更能夠體會(huì)從特殊到一般的邏輯推理思維與思考辨析途徑扫外。
在學(xué)生確認(rèn)平行四邊形和梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形基礎(chǔ)上莉钙，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)問(wèn)，提出問(wèn)題：普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是一個(gè)什么樣的圖形呢筛谚？通過(guò)動(dòng)手操作磁玉、探究，進(jìn)一步體驗(yàn)探尋新的發(fā)現(xiàn)驾讲。
通過(guò)作圖實(shí)踐蚊伞、認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)任意四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形蝎毡。那么如何讓學(xué)生理解中點(diǎn)四邊形一定就是平行四邊形呢厚柳。
在此處引入三角形中位線(xiàn)的理解。在三角形的兩條邊上各取中點(diǎn)沐兵，相連得到的一條線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)别垮。三角形的中位線(xiàn)具有什么性質(zhì)呢？我們可以通過(guò)利用添加了一條中位線(xiàn)的兩個(gè)完全一樣的三角形扎谎，其中一個(gè)倒置組合成一個(gè)平行四邊形碳想。通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)烧董，兩個(gè)拼接在一起的三角形的兩條中位線(xiàn)剛好在同一條直線(xiàn)上。并且與上下底邊互相平行且相等胧奔。于是我們從感觀上就可以獲得認(rèn)識(shí)逊移，三角形的中位線(xiàn)平行于底邊并且等于底邊的一半。
在確認(rèn)三角形的中位線(xiàn)平行并等于底邊的一半之后龙填「烊回到普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形圖形當(dāng)中，此時(shí)我們添加一條原四邊形的對(duì)角線(xiàn)岩遗。然后隱去下半部分扇商，觀察上半部分我們可以發(fā)現(xiàn)：上半部分三角形當(dāng)中兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn)，其實(shí)就是三角形的中位線(xiàn)宿礁。所以這條中位線(xiàn)案铺，它會(huì)與剛剛添加的原四邊形的對(duì)角線(xiàn)平行，并且等于這條對(duì)角線(xiàn)的一半梆靖。同理控汉，隱去上半部分只觀察下半部分剩下的三角形。同樣可以發(fā)現(xiàn)下面也是一個(gè)三角形返吻。三角形的中位線(xiàn)也會(huì)等于對(duì)角線(xiàn)的一半姑子，并且與之平行。這樣一來(lái)思喊，把上下放在一起就可以輕而易舉地發(fā)現(xiàn)壁酬，上面一條中位線(xiàn)和下面一條中位線(xiàn)，它們是互相平行的恨课，并且也是相等的。而這兩條中位線(xiàn)就是原四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的上下兩條邊。同理可得，內(nèi)接中點(diǎn)四邊形左右兩條邊也是互相平行并且相等的媚媒。這樣我們就可以確認(rèn)中點(diǎn)四邊形是一個(gè)平行四邊形了滚秩。
平行四邊形、梯形祈纯、任意四邊形，它們的內(nèi)接四邊形都是平行四邊形。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)拖吼，平行四邊形就是四邊形的一種歸屬。這時(shí)我們可以引導(dǎo)孩子進(jìn)一步向下走这吻。像這種平行四邊形吊档、梯形、任意四邊形唾糯，我們稱(chēng)之為凸四邊形怠硼。
凸四邊形就是沒(méi)有角度數(shù)大于180° 的四邊形鬼贱，把四邊形的任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線(xiàn)的同一旁香璃，這樣的四邊形叫做凸四邊形这难。
凸四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，那么與之對(duì)應(yīng)的凹四邊形會(huì)怎么樣呢葡秒？
于是出示凹四邊形姻乓，并讓學(xué)生進(jìn)行操作，找出四條邊的中點(diǎn)眯牧，把四個(gè)中點(diǎn)連接得到新的四邊形蹋岩。同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)新的四邊形當(dāng)中，其中有一條邊在原四邊形的外側(cè)炸站。新的四邊形看上去似乎也是平行四邊形星澳。那么到底是不是平行四邊形呢？答案是肯定的旱易，那么如何引導(dǎo)孩子來(lái)進(jìn)行思考與邏輯證明呢禁偎。
我們可以觀察發(fā)現(xiàn)凹四邊形，其中有兩條邊是凹進(jìn)去的阀坏。正是因?yàn)槿绱巳缗灾悬c(diǎn)四邊形有一條線(xiàn)露在原四邊形的外側(cè)。這時(shí)我們引導(dǎo)孩子將向里凹的兩條線(xiàn)段的兩側(cè)端點(diǎn)進(jìn)行連接忌堂。便可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形是內(nèi)外嵌套的盒至。在這兩個(gè)內(nèi)外嵌套的三角形當(dāng)中，他們擁有一條共同的底邊即剛剛連接所得到的線(xiàn)段士修。而這兩個(gè)三角形的中位線(xiàn)枷遂，就是我們內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的一組對(duì)邊。在前面的三角形中位線(xiàn)知識(shí)的基礎(chǔ)上棋嘲【瓢Γ可以明白這一組對(duì)邊是平行也是相等的。
另外沸移，我們將原四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連接痪伦，得到另一條對(duì)角線(xiàn)的話(huà)，同樣也可以得出另外一組對(duì)邊也是平行且相等的雹锣。
至此网沾，凸四邊形與凹四邊形任何一個(gè)四邊形，它們的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形蕊爵。
那么一個(gè)任意四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的多少呢辉哥？
平行四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半。證明很簡(jiǎn)單在辆，只需要將四個(gè)中點(diǎn)對(duì)點(diǎn)連接证薇，就可以得到八塊小三角形度苔，在八塊小三角形當(dāng)中，兩兩全等浑度。即可證得中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半寇窑。
對(duì)于普通四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半，如何進(jìn)行證明呢箩张？
可以通過(guò)連接一組對(duì)點(diǎn)作出原四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)甩骏。這樣，原四邊形變被為分為兩個(gè)三角形先慷，同時(shí)中點(diǎn)四邊形也被分成了兩個(gè)平行四邊形饮笛。此時(shí)可以探究，其中一個(gè)三角形论熙，與其內(nèi)部平行四邊形的面積關(guān)系福青。通過(guò)觀察推理可以發(fā)現(xiàn)。平行四邊形的底就是三角形的中位線(xiàn)脓诡，是三角形的底的一半无午，平行四邊形的高是三角形的高的一半。通過(guò)平行四邊形與三角形面積公式可得祝谚，平行四邊形是三角形面積的一半宪迟。同理可得，另一側(cè)也是如此交惯。最后可以得到中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半次泽。
對(duì)于凹四邊形原理也是一樣。內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積仍然是原四邊形面積的一半席爽。方法依然是作對(duì)角線(xiàn)意荤，通過(guò)中位線(xiàn)的性質(zhì)可證三角形與內(nèi)置平行四邊形的面積關(guān)系。最后可得中點(diǎn)四邊形是原四邊形面積的一半只锻。
最值得耐人尋味的是任意凸凹四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形袭异，并且是面積是原四邊形的一半。也許平行四邊形是美麗的四邊形吧炬藤，為何具有如此強(qiáng)悍的統(tǒng)一性與歸屬感？
事實(shí)上碴里，在數(shù)學(xué)世界里沈矿，表面看似紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象，往往具有內(nèi)在的統(tǒng)一性與歸屬性咬腋。這需要學(xué)生具有強(qiáng)烈的探求精神羹膳，熱切的探求興趣，正確的探求方法根竿，嚴(yán)密的探求思維陵像，震撼的生命體驗(yàn)就珠，數(shù)學(xué)將會(huì)成為一科最為怡情的學(xué)問(wèn)。
