數(shù)據(jù)的重要性毋庸置疑悟泵，但是如何讓數(shù)據(jù)產(chǎn)生價(jià)值呢杈笔？
對一個(gè)全棧老碼農(nóng)而言，經(jīng)常在開發(fā)或者研發(fā)管理的時(shí)候遇到各種預(yù)測糕非、決策蒙具、推斷、分類朽肥、檢測禁筏、排序等諸多問題。面對“你的代碼還有bug么衡招？”這樣的挑戰(zhàn)篱昔，一種理智的回答是，我們已經(jīng)執(zhí)行了若干測試用例始腾，代碼中存在bug的可能性是百分之零點(diǎn)幾州刽。也就是說，我們對當(dāng)前程序中沒有bug的信心是百分之九十九點(diǎn)幾浪箭。這實(shí)際上就是一直貝葉斯思維穗椅，或者說使用了貝葉斯方法。不論我們看到奶栖，還是沒有看到匹表，它都在那里门坷，熠熠生輝。
如果預(yù)測當(dāng)前軟件有沒有bug呢袍镀？還是要從貝葉斯定理看起默蚌。
貝葉斯定理的淺解
對老碼農(nóng)來說，貝葉斯定理的概率表達(dá)相對清晰苇羡，理解起來會(huì)相對容易绸吸。回憶一下我們學(xué)過的概率論宣虾，聯(lián)合概率是滿足交換律的惯裕，即：
P(A and B) = P (B and A)
對聯(lián)合概率以條件概率展開：
P(A and B ) = P(A) P(B|A)
P(B and A ) = P(B) P(A|B)
從而得到：
P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)
簡單的變換一下，得到：
P(B|A）= P(A|B) P(B)/P(A)
大功告成绣硝，這就是神奇的貝葉斯定理蜻势。其中：
- P（B） 為先驗(yàn)概率，即在得到新數(shù)據(jù)前某一假設(shè)的概率鹉胖；
- P（B|A） 為后驗(yàn)概率握玛，即在觀察到新數(shù)據(jù)后計(jì)算該假設(shè)的概率；
- P（A|B）為似然度甫菠，即在該假設(shè)下得到這一數(shù)據(jù)的概率挠铲；
- P（A）為標(biāo)準(zhǔn)化常量，即在任何假設(shè)下得到這一數(shù)據(jù)的概率寂诱。
還可以加點(diǎn)料拂苹，在計(jì)算P（A）的時(shí)候，可以用加法定理表示：
P（A） = P(A and B) + P(A and B_) = P（A|B）P（B）+ P(A|B_) P(B_)
從而有：
P(B|A) =P(A|B)P(B)/{P(A|B)P(B)+P(A|B_)P(B_)}
其中B_ 是與B相反的事件痰洒。就測試與bug 之間的估算而言瓢棒，《貝葉斯推斷的思想》（http://www.reibang.com/p/0a038974d48c）一文給出了貝葉斯推斷的結(jié)果，其中就使用了這樣的方法丘喻。
貝葉斯方法
貝葉斯方法是一個(gè)非常通用的推理框架脯宿，用客觀的新信息更新我們最初關(guān)于某個(gè)事物的信念后，就會(huì)得到一個(gè)新的改進(jìn)了的信念泉粉。通過引入先驗(yàn)的不確定性连霉，允許了初始推斷的錯(cuò)誤，獲得了更新的證據(jù)后嗡靡，也沒有放棄初始的推斷跺撼，而是調(diào)整為更符合目前的證據(jù)。
但是讨彼，P（A|B） 和 P（B|A） 之類的經(jīng)常讓人混淆财边，@待字閨中的陳老師給出了理解的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，區(qū)分出規(guī)律和現(xiàn)象点骑，就是將A看成“規(guī)律”酣难，B看成“現(xiàn)象”，那么貝葉斯公式看成：
P(規(guī)律|現(xiàn)象）= P(現(xiàn)象|規(guī)律）P（規(guī)律）/P（現(xiàn)象）
陳老師在《這的理解貝葉斯公式嗎》和《又一個(gè)生活中的貝葉斯應(yīng)用》給出了幾個(gè)通俗易懂的例子黑滴，這里不再贅述憨募。
回歸到碼農(nóng)生活，我們在改善系統(tǒng)功能的時(shí)候袁辈，通常的一個(gè)手段是AB測試菜谣。AB測試是用來檢測兩種不同處理方式的差異化程度的一種統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)模式，例如兩個(gè)網(wǎng)站誰會(huì)帶來更高的轉(zhuǎn)化率晚缩，這里的轉(zhuǎn)化可以是用戶的購買、注冊、或其他的行為憨攒。AB測試的關(guān)鍵點(diǎn)在于組別之間只能容許一個(gè)不同點(diǎn)昂羡。實(shí)驗(yàn)后的分析一般都是用假設(shè)檢驗(yàn)完成的，例如均值差異檢驗(yàn)或者比例差異檢驗(yàn)鸣皂，往往涉及Z分?jǐn)?shù)或令人困惑的p值抓谴，而用貝葉斯方法則會(huì)自然的多。
對A寞缝，B兩個(gè)網(wǎng)站的轉(zhuǎn)化概率進(jìn)行建模癌压。轉(zhuǎn)化率在0～1之間，可采用Beta分布荆陆。如果先驗(yàn)是Beta（a1滩届，b1），且 觀測到N次訪問里有X次轉(zhuǎn)化被啼，那么此時(shí)的后驗(yàn)分布是Beta（a1+X,b1+N-X). 假設(shè)先驗(yàn)是Beta（1帜消，1），等價(jià)于【0趟据，1】上的均勻分布券犁，則示例代碼如下：
from spicy.stats import beta
a1_prior = 1
b1_prior =1
visitors_A = 12345 // 網(wǎng)站A的訪問人數(shù)
visitors_B = 1616 // 網(wǎng)站B的訪問人數(shù)
conversions_from_A = 1200 // 網(wǎng)站A的轉(zhuǎn)化人數(shù)
conversions_from_B = 15 0 // 網(wǎng)站B的轉(zhuǎn)化人數(shù)
posterior_A = beta(a1_prior+ conversions_from_A,b1_prior + visitors_A -conversions_from_A)
posterior_B = Beta(a1_prior+converiosns_from_B,b1_prior + visitors_B-conversions_from_B)
// 對后驗(yàn)概率進(jìn)行采樣，用rvs方法生成樣本
samples = 20000
samples_posterior_A = posterior_A.rvs(samples)
samples_posterior_B = posterior_B.rvs(samples)
// 對后驗(yàn)概率進(jìn)行比較
print (samples_posterior_A > samples_posterior_B).mean()
使用貝葉斯方法汹碱，是從思考數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的開始粘衬。
1）什么隨機(jī)變量能過描述這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
2）確實(shí)概率分布的所需參數(shù)
3）參數(shù)對應(yīng)早期行為，或后期行為咳促，定義各種變化點(diǎn)
4）定義參數(shù)的概率分布
5）參數(shù)概率分布的變量選擇稚新，直到一個(gè)可以假設(shè)的均勻分布
對先驗(yàn)及后驗(yàn)概率的選擇，針對應(yīng)用場景而定跪腹。就先驗(yàn)分布而言褂删，除了常見的分布外，還有：
- Gamma分布冲茸，指數(shù)隨機(jī)變量的推廣
- 威沙特分布 屯阀，是所有半正定矩陣的分布缅帘，是一個(gè)協(xié)方差矩陣的適當(dāng)?shù)南闰?yàn)。
- Beta分布难衰，隨機(jī)變量定義在0到1之間钦无，使其成為概率和比例的熱門選擇。
- 冪律分布盖袭，滿足公司規(guī)模和公司數(shù)量之間的關(guān)系
在AB測試中使用了Beta分布失暂， 應(yīng)用了一個(gè)Beta先驗(yàn)分布連同二項(xiàng)式生成的觀測數(shù)據(jù)形成一個(gè)Beta后驗(yàn)分布這一原理。
當(dāng)面對多種對象之間的因果關(guān)系的時(shí)候鳄虱，貝葉斯方法演變成為了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)弟塞。
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)
貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是為了解決不定性和不完整性問題而提出的，在多個(gè)領(lǐng)域中獲得了廣泛應(yīng)用拙已。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是基于概率推理的圖形化網(wǎng)絡(luò)决记，而貝葉斯公式則是這個(gè)概率網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)隨機(jī)變量悠栓，都是具有實(shí)際含義霉涨、需要人為設(shè)計(jì)的，點(diǎn)和點(diǎn)之間的邊代表不確定的因果關(guān)系惭适，例如 節(jié)點(diǎn)E直接影響到節(jié)點(diǎn)H笙瑟，即E→H，則用從E指向H的箭頭建立結(jié)點(diǎn)E到結(jié)點(diǎn)H的有向弧(E,H)癞志，權(quán)值(即連接強(qiáng)度)用條件概率P(H|E)來表示往枷。
實(shí)際上，如果事物之間的關(guān)系能夠用一條鏈串起來凄杯，形成了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)特例——馬爾可夫鏈错洁，換個(gè)角度看， 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是馬爾可夫鏈的非線性擴(kuò)展戒突。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中當(dāng)某點(diǎn)的一個(gè)證據(jù)出現(xiàn)后屯碴，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中事件的概率都會(huì)變化。
簡單地膊存，由于多個(gè)變量間存在著可能的依賴性导而，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)說明了其中的聯(lián)合條件概率分布，允許在變量的子集間定義條件獨(dú)立性隔崎。使用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的過程與使用貝葉斯方法的過程是類似的：
- 通過多個(gè)離散變量建立網(wǎng)絡(luò)今艺，是一個(gè)有向無環(huán)圖
- 參數(shù)的設(shè)置或?qū)W習(xí)，即對DAG進(jìn)行遍歷爵卒，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的概率表
- 網(wǎng)絡(luò)推理虚缎，對因果關(guān)系得到置信概率
- 推理結(jié)果
例如， 社交網(wǎng)絡(luò)中不真實(shí)賬戶的檢測問題钓株。首先確定網(wǎng)絡(luò)中的隨機(jī)變量：
- 賬戶的真實(shí)性 A
- 頭像的真實(shí)性 H
- 發(fā)帖即日志的密度 L
- 好友的密度 F
使用觀測值示例化H实牡，L陌僵，F(xiàn)，把隨機(jī)值賦給A铲掐，得到
P（A|H,L,F) = P(H|A)P(L|A)P(F|A,H)
然后就可以在社交網(wǎng)絡(luò)中嘗試使用該推理結(jié)果了拾弃。在《算法雜貨鋪——分類算法之貝葉斯網(wǎng)絡(luò)》一文中對這一例子給出了相對詳細(xì)的說明。
可以說摆霉，貝葉斯方法席卷了整個(gè)概率論，并將應(yīng)用延伸到各個(gè)問題領(lǐng)域奔坟，所有需要作出概率預(yù)測的地方都可以見到貝葉斯方法的影子携栋，特別地，貝葉斯方法對機(jī)器學(xué)習(xí)能夠有什么幫助呢咳秉？
貝葉斯與機(jī)器學(xué)習(xí)
機(jī)器學(xué)習(xí)在業(yè)界炙手可熱婉支，但我們在機(jī)器學(xué)習(xí)里同樣會(huì)遇到預(yù)測、決策澜建、分類向挖、檢測等問題，貝葉斯方法同樣大有用武之地炕舵。
機(jī)器學(xué)習(xí)中有大量的模型何之，如線性模型、非線性模型咽筋，可以采用貝葉斯方法來做模型的預(yù)測溶推。也就是說，某一場景可能采用的模型是無限多的奸攻，可以用概率分布去描述它蒜危。對于假設(shè)的先驗(yàn)，對新來的樣本做預(yù)測如計(jì)算它的似然睹耐，然后用前面推出來的后驗(yàn)分布做積分辐赞，這個(gè)給定模型下樣本的似然，就是所有可能模型的分布硝训。
機(jī)器學(xué)習(xí)中模型的選擇和比較也是一個(gè)常見的問題响委。例如，在分類問題時(shí)捎迫，我們使用線性模型還是深度學(xué)習(xí)的非線性模型呢晃酒？貝葉斯方法是這樣考慮的： 用A 表示一個(gè)模型類別，可能是線性模型窄绒，B 表示另一個(gè)模型類別贝次，可能是非線性模型。在同樣的數(shù)據(jù)集X下彰导，計(jì)算在A蛔翅，B 情況下觀察到訓(xùn)練集的似然Ma敲茄，Mb，然后比較Ma和Mb山析，這是貝葉斯方法做模型選擇的一個(gè)基本規(guī)則堰燎。
實(shí)際上， 貝葉斯定理是信息處理的一種準(zhǔn)則笋轨， 輸入是一個(gè)先驗(yàn)分布和一個(gè)似然函數(shù)秆剪，輸出是一個(gè)后驗(yàn)分布。對機(jī)器學(xué)習(xí)中的模型本身爵政，也可以通過貝葉斯方法嘗試改進(jìn)仅讽，例如貝葉斯SVM, 高斯過程的貝葉斯等等。
另外钾挟，貝葉斯方法對深度學(xué)習(xí)而言洁灵，至少在調(diào)參的這一環(huán)節(jié)還是很有用的。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中掺出，每一層參數(shù)如卷積核的大小和數(shù)量等徽千，都不會(huì)在深度學(xué)習(xí)中被模型自動(dòng)優(yōu)化的，需要手工指定汤锨，這或許就是貝葉斯優(yōu)化双抽。
其他參考資料：
《貝葉斯方法－概率編程與貝葉斯推斷》
《貝葉斯思維：統(tǒng)計(jì)建模的python學(xué)習(xí)法》
《數(shù)學(xué)之美番外篇：平凡而又神奇的貝葉斯方法》
《Bayesian Method for Machine Learning》：www.cs.toronto.edu/~radford/ftp/bayes-tut.pdf
