排列(n>=r)

對有n個元素的集合S中的其中r個元素進行排列(n >= r)可以用如下幾種方法來理解：

排列描述1

每次從n個元素中取r個元素出來，那么一共有C(n,r)種取法靶壮。每種取法中的r個元素按順序依次排列在r個位置上种蝶，這樣第一個位置一共有r種方法，而第二個位置有r-1個方法靡羡，第r個位置則只有1種方法了系洛，因此一共有 r * (r-1) * (r-2) * ... * 2 * 1種方法，也就是有r!種方法略步。每種取法有r!種放置的方法描扯，那么總共就有 C(n,r) * r!種排列方法，因此：

A(n,r) = C(n,r) * r!

排列描述2

把n個元素放入到r個位置里面趟薄，且每個位置只能放置1個绽诚。那么第一個位置一共有n種放法，第二個位置一共有n-1種放法杭煎，因此第r個位置一共有n-r+1種放法恩够，這樣總共就有：n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)種放法(或者說第一個位置一共可以放n個元素中的任意一個，第二個位置則可以放入n-1個元素中的任意一個羡铲，依次類推第r個位置就可以放入n-r+1個元素中的任意一個蜂桶，這樣排列完畢同時也只取了其中的r個元素)因此：

A(n,r) = n * (n-1)*(n-2) *...* (n-r+1)

排列描述3

如果對n個元素都進行排列那么一共有n!種排列的方法。那么當取r個元素進行排列時也切，可以反過來假設(shè)將r個元素放入到n個位置中去扑媚，這時候必定有n-r個位置是空的，也就是n-r個位置只有1種取值雷恃。而在n!種排列中(n-r)個位置一共有(n-r)!種排列疆股，因此去除這(n-r)!種重復(fù)的排列，只保留一種那就得到了n個元素的r排列的公式：

A(n,r) = n! / (n-r)!

這種描述還可以將n!的計算描述為先從n個元素里面取r個進行排列褂萧，再將(n-r)進行排列押桃，一共有(n-r)!種方法，這樣二者相乘得到n!, 因此 A(n,r) * (n-r)! = n!

在實踐中排列的另外一個表述就是把n個元素放入r個位置(n >=r), 并且要求每個位置至只放一個元素的方法數(shù)量导犹。同樣可以表述為將r個元素放入n個位置(n >= r),并且每個位置至多只放一個元素的方法數(shù)量唱凯。

排列(n<r)

前面考察的是將n個元素放入r的位置(n >=r)的情況，再來詳細的考察n<r的情況谎痢。因為這種放置會產(chǎn)生空的位置磕昼，因此不能用A(n,r)來計算(第一個位置有n+1種方法，這其中包括不放节猿。而第二個位置的方法則要根據(jù)第一個位置的放入情況票从，假如第一個位置沒有放入漫雕，那么第二個位置就有n+1種放法；而假如第一個位置有放入則第二個位置有n種方法峰鄙，因此這里不符合乘法規(guī)則)浸间。這種情況下可以考慮增加(r-n)個相同的元素來填滿r個位置中，這樣就一共有r!種排列的方法了吟榴。又因為(r-n)個元素都是相同的元素魁蒜，我們要去除重復(fù)的排列，一共有(r-n)!種吩翻。這樣我們就得出排列公式：

A(n,r) = r! / (r-n)! (r > n)

而當r <= n 時則有：

A(n,r) = n!/(n-r)! (r<= n)

因此我們可以得出更加通用的排列公式：

A(n,r) = max(n,r)! / |n-r|!

上面可以看出當r > n時 我們計算A(n,r)的排列兜看，其實就是A(r,n)的排列計算公式。

重復(fù)排列

n個元素的r重復(fù)排列（n >=r)狭瞎，也就是n個元素里面取r個元素细移，放置在r個位置上，每個位置至少放入一個熊锭，每個位置都可以重復(fù)放入相同的元素弧轧。這樣第一個位置就可以放入n個元素中的任意一個元素，因此一共有n種放法球涛，而第二個位置也同樣可以放入n個元素中的任意一個元素劣针，這樣第r個位置也可以放入n個元素中的任意一個元素。經(jīng)過r次放置后這n個元素里面最少是取了1個元素亿扁，而最多則是取了r個不同的元素捺典。因此n的r重復(fù)排列的公式：

A(n,r) = n^r

在實踐中的重復(fù)排列，我們一般把位置作為指數(shù)从祝，而把元素個數(shù)作為底數(shù)襟己。

那n個元素的r位置重復(fù)排列在n<r時又是如何計算呢？如果每個位置至少放入1個元素的話那么牍陌，每個位置都有n種方法擎浴，因此重復(fù)排列的公式也是一樣的為： n^r。

對于重復(fù)排列來說毒涧，當考慮某個位置可以為空的情況時贮预，那么就可以理解為我們多增加了一個元素，因此當位置可以放置為空時的排列公式為 ：

A(n,r ) = (n+1)^r

這里依然可以用乘法公式的原因是每個位置的可放置的元素個數(shù)不依賴于前面的放置結(jié)果契讲，每個位置都可以放置n+1種仿吞。因此對于重復(fù)排列來說元素的個數(shù)和位置的數(shù)量無論哪個大結(jié)果的公式都是一樣的，都是 元素個數(shù)^位置個數(shù)

對于重復(fù)排列來說這種指數(shù)關(guān)系捡偏，也可以表示為可以放回排列唤冈，比如n個元素，放入r個位置银伟。一個位置可以放n個中的任意一個你虹，一共有n種绘搞。而第二個位置則一樣可以放入n個中的任意一個一共也有n種。因此一共有 n ^ r 種傅物。

舉例來說把3個球放入4個位置夯辖，一共有多少種方法？ 這里面表面上看元素是3位置是4挟伙，但是因為球不可重復(fù)因此不能用 3^4來描述楼雹。而且也不能用乘法因此第二個位置的放法要依賴于第一個位置模孩，這里只能用不可重復(fù)的排列公式來進行計算尖阔。

組合

組合其實就是從n個元素里面取出r個元素(n >=r)的方法數(shù)。

組合描述1

因為只需要取出r個元素榨咐，因此不涉及到對r個元素進行排列的情況介却。同樣組合可以看成是從一個有n個元素的集合S中取出含有r個元素的子集A的數(shù)量。我們知道從n個元素里面取r個元素進行排列的方法一共有A(n,r)種排列块茁，假設(shè)我們?nèi)〉搅艘粋€具有r個元素的集合A齿坷，那么在A中則一共有r!種排列方法，既然一個r元素的子集A的排列數(shù)量是r!, 而總的r個元素的排列數(shù)量是A(n,r). 那么也就是說有A(n,r)/r!個子集数焊，因此組合的公式：

C(n,r) = A(n,r) / r!

組合描述2

組合還可以從另外一個維度考察永淌，就是假設(shè)有n個位置，我們要取出r個位置的取法佩耳，因為每個位置可以是n中的任意一個位置遂蛀，但總共只有r個位置。你可以把總位置當做元素的總數(shù)干厚，r個位置則當做r個不同的元素李滴，因此組合還可以用在位置。也就是說如果把r個相同的元素放入到n個位置里面的方法就是C(n,r)組合蛮瞄。而把r個不同元素放入到n個位置里面的方法就是P(n,r)排列所坯。

這里再引申出重復(fù)排列的計算方法，假設(shè)有k種元素挂捅，每種元素的數(shù)量為ni (1 < i < k), 且 n1 + n2 + .. nk = n芹助。 那么他的排列方式一共有幾種？ 我們知道一共有n個位置闲先。要放置這k種元素状土。那么第一種元素a1 有n1個， 因為a1的每個元素都相同因此不考慮順序問題饵蒂，這就和上面的組合的另外一個維度的考察是一樣的声诸，因此一共有 C(n, n1)種方法。那么第二種類型a2則一共有n2個就有C(n-n1, n2)種方法退盯，這里每一步驟都是獨立的因此可以用乘法最后的結(jié)果是：

C(n,n1) * C(n-n1, n2) * C(n-n1-...nk-1, nk) = n! / (n1! * n2! * ...nk!)

而當只有2種元素a,b時那么就是 : C(n,n1) * (n-n1, n2) = (C,n1) = C(n,n2)*C(n-n2, n1) = C(n,n2) 彼乌。這個好理解就是假設(shè)只有2種元素時則每當a類型的位置確定后泻肯， b類型就只有1種方法了。因此只要確定a的就OK了慰照。

排列和組合的區(qū)別

當把r個相同的元素放入到n個位置灶挟，每個位置至多只有一個的方法就是組合C(n,r); 而把r個不同的元素放入到n個位置，每個位置至多只有一個時的方法則是排列A(n,r)

而當把n個不相同的元素放入r個位置毒租， 每個位置只放置1個的方法就是A(n,r); 而把n個相同的元素放入r個位置稚铣，每個位置只放入1個的方法就是1了。 這里的原因是組合時因為都是相同的而元素個數(shù)小于位置時因為有空位所有方法有多種墅垮，而元素個數(shù)大于位置時因為沒有空位了所以只有一種惕医。從而可以引申出的一個概念就是組合里面的放置方法其實就是空位數(shù)量的放置方法，因此有： C(n,r) = C(n, n-r)成立算色。

排列組合在實踐中的區(qū)別是抬伺，排列是把x個元素放入y個位置的計數(shù)，而組合則是x個元素中取任意y個元素的計數(shù)灾梦，因為位置是有順序的峡钓，而取出的數(shù)量則不需要考慮順序的情況。