高中教材中概率統(tǒng)計(jì)的缺失與改造

本文來源于網(wǎng)絡(luò)，我整理了一下臭猜，這篇文章很值得學(xué)習(xí)躺酒！

在高中數(shù)學(xué)課綱之機(jī)率統(tǒng)計(jì)新教材中, 其課程設(shè)計(jì)和教材編寫不但忽視學(xué)生的認(rèn)知, 甚至在教科書上仍然存在一些錯(cuò)誤的概念。例如, 在介紹二項(xiàng)分配前對(duì)超幾何分配只字不提, 導(dǎo)致優(yōu)秀學(xué)生把簡(jiǎn)單的超幾何分配問題利用二項(xiàng)分配來處理, 教師在課堂教學(xué)時(shí)如何改進(jìn)這項(xiàng)缺失? 其次, 在提到中央極限定理的時(shí)候, 每本教科書都指出它是非常重要的定理, 但卻又認(rèn)為超出高中范圍不宜多作說明, 難道就沒有通俗簡(jiǎn)單的方式讓學(xué)生理解嗎? 至于錯(cuò)誤的觀念部分, 有些教科書將信心水準(zhǔn)定義為母體百分比 p 會(huì)落在信賴區(qū)間的機(jī)率蔑歌。這種錯(cuò)誤之統(tǒng)計(jì)概念竟然會(huì)出現(xiàn)在經(jīng)過審核的教科書上, 也難怪在學(xué)測(cè)中一道有關(guān)信心水準(zhǔn)的試題,不但學(xué)生看了以后感到一頭霧水, 甚至連老師都不知道要如何選擇正確答案羹应。雖然到目前為止數(shù)學(xué)教育研究還沒有建立一套標(biāo)準(zhǔn), 但經(jīng)過各方討論初步有一點(diǎn)已達(dá)成共識(shí), 那就是: 數(shù)學(xué)教育研究必須走進(jìn)課堂解決教與學(xué)的實(shí)際問題。本文將透過臺(tái)北市一所高中在課堂中進(jìn)行實(shí)際教學(xué), 針對(duì)以上的缺失與錯(cuò)誤盡量用通俗易懂的方式提出解決之道, 以提供給有興趣的學(xué)生與教師作為參考與改進(jìn)的依據(jù), 以嘉惠于廣大青年學(xué)子為幸丐膝。

一. 超幾何分配與二項(xiàng)分配的關(guān)系

筆者翻遍高中教科書的機(jī)率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容, 發(fā)現(xiàn)每一本都只提到二項(xiàng)分配, 而對(duì)于更簡(jiǎn)單的超幾何分配卻只字不提量愧。或許有學(xué)者會(huì)認(rèn)為在實(shí)務(wù)上所面臨超幾何分配可被二項(xiàng)分配作極佳的逼近, 但站在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)是不能這樣處理的, 就像常態(tài)分配可以很好的近似于二項(xiàng)分配, 難道我們也不需要學(xué)習(xí)二項(xiàng)分配了嗎? 為了暸解新教材的這種內(nèi)容安排對(duì)學(xué)生有什么影向, 筆者曾經(jīng)對(duì)學(xué)過高三機(jī)率統(tǒng)計(jì)的自然組學(xué)生提出下列問題:

年終為了替孤兒院的孩子募集壓歲錢, 百貨公司印制了100張彩券義賣, 已知彩券中50% 是有獎(jiǎng)品的。今某人購買了3張彩券, 問恰有2張中獎(jiǎng)之機(jī)率?==?

在全班48人的答案中, 有39人之答案為 $C^2_3\Big(\dfrac 12\Big)^2\dfrac 12=\dfrac 38$ , 有6人答案為? $\displaystyle{\frac{C^{2}_{50}C^{1}_{50}}{C^{3}_{100}}}=\frac{25}{66}$

有2人計(jì)算出其他答案, 有1人空白未予以作答帅矗。本題從調(diào)查資料結(jié)果顯示, 竟然有高達(dá) 81% 學(xué)生直觀的將之視為二項(xiàng)分配問題, 研究中為了進(jìn)一步追蹤比較不同程度的學(xué)生反應(yīng), 又再度對(duì)已學(xué)過高三機(jī)率統(tǒng)計(jì)的社會(huì)組學(xué)生, 在一份問卷中同時(shí)提出下列兩個(gè)問題:

1.????年終為了替孤兒院的孩子募集壓歲錢, 百貨公司印制了一批彩券義賣。己知彩券中50%是有獎(jiǎng)品的煞烫。今某人購買了3張彩券, 問恰有2張中獎(jiǎng)之機(jī)率?==?

2.????年終為了替孤兒院的孩子募集壓歲錢, 百貨公司印制了100張彩券義賣, 已知彩券中 50% 是有獎(jiǎng)品的浑此。今某人購買了3張彩券, 問恰有2張中獎(jiǎng)之機(jī)率 =?

班上32人答案中, 第一題有31人答案為 $C^2_3\Big(\dfrac 12\Big)^2\dfrac 12=\dfrac 38$ ,

?有1人之答案為 $1-(0.125\times 2)-(0.375)=0.375$

第二題有19人的答案為 $C^2_3\Big(\dfrac 12\Big)^2\dfrac 12=\dfrac 38$ , 有12人的答案為 $\displaystyle{\frac{C^{2}_{50}C^{1}_{50}}{C^{3}_{100}}}=\frac{25}{66}$ , 有1人空白未予以作答。從這兩次的問卷結(jié)果可以看出, 把兩個(gè)不同問題同時(shí)并列提出讓學(xué)生作答, 對(duì)于一般平均數(shù)學(xué)程度較差的社會(huì)組, 有大約 38% 學(xué)生意識(shí)到兩個(gè)問題的差異性, 轉(zhuǎn)而更仔細(xì)的去思考問題的意義, 因而做出了較高比率的正確答案, 使得藉由直觀所產(chǎn)生的錯(cuò)誤降為 59%滞详。由此可以證實(shí)教學(xué)過程中之問題經(jīng)由適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì), 確實(shí)可以降低學(xué)生在學(xué)習(xí)機(jī)率概念的一些直觀錯(cuò)誤凛俱。

上述所提兩個(gè)問題其實(shí)就是二項(xiàng)分配 (Binomial distribution) 與超幾何分配 (Hypergeometic distribution) 的概念, 從問卷結(jié)果中顯示它們是學(xué)生極易產(chǎn)生混淆的兩個(gè)觀念。為了厘清這兩種分配所呈現(xiàn)問題的差異, 教學(xué)時(shí)筆者采取了鷹架教學(xué) (Scaffolding instruction) 的方法, 讓學(xué)生透過師生對(duì)話討論出正確的想法料饥。課堂上提出下列問題與學(xué)生作對(duì)話式討論:

百貨公司年終印制彩券義賣, 已知彩券中有一半是有獎(jiǎng)品的, 請(qǐng)問購買3張有2張中獎(jiǎng)之機(jī)率?==?

學(xué)生A: 買3張有2張中獎(jiǎng)之機(jī)率 $P=C^2_3\Big(\dfrac 12\Big)^2\dfrac 12=\dfrac 38$ 蒲犬。

學(xué)生B: 我認(rèn)為不能確定其機(jī)率, 因?yàn)槲覀兏静恢拦居×藥讖埐嗜?

學(xué)生C: 憑直覺我認(rèn)為不管印幾張都沒關(guān)系, 每種情況中獎(jiǎng)機(jī)率應(yīng)該都是 $\dfrac 12$ 。

學(xué)生D: 若印4張彩券時(shí), 買3張恰中2張之機(jī)率 $P=\dfrac{C^2_2C^1_2}{C^3_4}=\dfrac 12$ , 若印6張彩券時(shí), 買3張恰中2張之機(jī)率 $P=\dfrac{C^2_3C^1_3}{C^3_6}=\dfrac 9{20}$ , 所以我贊成B同學(xué)的想法岸啡。

筆者: 既然我們不知道彩券印幾張, 那同學(xué)不妨假設(shè)印了? $2n$ 張, 再計(jì)算取3張恰中2張的機(jī)率看看嘛!

學(xué)生D: 照老師的講法從? $2n$ 張中取 3 張恰中 2 張之機(jī)率 $P_n=\dfrac{C^1_nC^2_n}{C^{3}_{2n}}=\dfrac {3n^3-3n^2}{8n^3-12n^2+4n}$ , 會(huì)隨著? $n$ 不同而得到不同答案原叮。

筆者: 同學(xué)想一想當(dāng)?nn?趨近于無限大時(shí), 你們有沒有發(fā)現(xiàn)? $P_n$ 的值會(huì)趨近于多少呢?

學(xué)生A: 好奇怪喔！ $\lim\limits_{n\to\infty} P_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac {3n^3-3n^2}{8n^3-12n^2+4n}=\dfrac 38$ , 答案竟然跟我利用 $C^2_3\Big(\dfrac 12\Big)^2\dfrac 12=\dfrac 38$ 一樣耶!

至此, 學(xué)生已經(jīng)開始慢慢體會(huì)出本題已不是單純的二項(xiàng)分配問題巡蘸。由于考慮學(xué)生相關(guān)先備知識(shí) (Preknowledge)之不足, 在證明超幾何分配與二項(xiàng)分配關(guān)系前, 筆者先提出下面基本問題讓學(xué)生作為比較其差異性的鷹架:

袋中有紅球6個(gè)和白球3個(gè), 今由袋中每次任取一球, 請(qǐng)問 (1) 在取后不放回的情況下, 連取 5 次得 3 紅球之機(jī)率?==? (2)在取后又放回的情況下, 連取 5 次得 3 紅球之機(jī)率?==?

這時(shí)有學(xué)生求出情形(1)的機(jī)率 $P=\dfrac{5!}{3!2!}\cdot \dfrac{6}{9}\cdot \dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{21}$ 奋隶，筆者告訴學(xué)生取后不放回，使得每次取到紅球或白球之機(jī)率不恒相同, 這種機(jī)率模型稱為超幾何分配 (Hypergeometic distribution), 超幾何分配之每次試驗(yàn)并非獨(dú)立悦荒。也有學(xué)生求出情形(2)的機(jī)率 $P=C^3_5\Big(\dfrac 69\Big)^3\Big(\dfrac 39\Big)^2=\dfrac {80}{243}$ ?, 筆者此時(shí)特別強(qiáng)調(diào)取后再放回可視為袋中有無限多個(gè)球, 使得每次取到紅球之機(jī)率恒

為? $\dfrac 69$ 而取到白球之機(jī)率恒為 $\dfrac 39$ , 這種機(jī)率模型為二項(xiàng)分配 (Binomial distribution), 二項(xiàng)分配之每次試驗(yàn)都是獨(dú)立的唯欣。

經(jīng)過上面一連串的討論與說明之后, 才正式提出兩種機(jī)率分配的定義, 并證明超幾何分配之極限是二項(xiàng)分配的事實(shí)(丁村成, 1997)。

1. 若?N件產(chǎn)品中有 M?件不良品, 在取后不放回的情形下, 則取? $n$ ?件恰有 $r$ 件不良品之機(jī)率 $P=\dfrac{C^r_MC^{n-r}_{N-M}}{C^n_N}$ , 此為超幾何分配 (Hypergeometic distribution)搬味。

2.若?N 件產(chǎn)品中有 M?件不良品, 在取后又放回的情形下, 則取 $n$ 件恰有? $r$ 件不良品之機(jī)率 $P=C^r_n\Big(\dfrac MN\Big)^r\Big(1-\dfrac MN\Big)^{n-r}$ 境氢，此為二項(xiàng)分配 (Binomial distribution)蟀拷。

底下進(jìn)一步向?qū)W生證明 : 當(dāng)? $N\to \infty$ 時(shí)

$\dfrac{C^M_rC^{N-M}_{n-r}}{C^N_n}\to C^n_r\Big(\dfrac MN\Big)^r\Big(1-\dfrac MN\Big)^{n-r}\hbox{。}$

$\begin{eqnarray*}\dfrac{C^r_MC^{n-r}_{N-M}}{C^n_N}&=&\displaystyle\dfrac{\dfrac{M!}{(M-r)!r!}\cdot \dfrac{(N-M)!}{(N-M-n+r)!(n-r)!}}{\dfrac{N!}{(N-n)!n!}}\\[5pt]&=&\frac{M!}{(M-r)!r!}\cdot \frac{(N-M)!}{(N-M-n+r)!(n-r)!}\cdot\frac{(N-n)!n!}{N!}\\[5pt]&=&\frac{n!}{(n-r)!r!}\cdot \frac{M\cdots(M-r+1)}{N^r}\cdot\frac{(N-M)\cdots (N-M-(n-r)+1)}{N^{n-r}}\\[5pt]&&\cdot \frac{N^n}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}\\[5pt]&=&\frac{n!}{(n-r)!r!}\Big(\frac MN\cdots \frac{M-r+1}N\Big)\Big(\frac {N-M}N\cdots \frac{N-M-(n-r)+1}N\Big)\\[5pt]&&\cdot \Big(\frac NN\frac N{N-1}\cdots \frac N{N-n+1}\Big)\end{eqnarray*}$

當(dāng) $n$ ,? $r$ 固定時(shí)因?yàn)?/p>

$\begin{eqnarray*}\lim_{N\to\infty}\frac{M}{N}\cdot \frac{M-1}{N}\cdots \frac{M-r+1}{N}&=&\lim_{N\to\infty}\frac{M}{N}\cdot \lim_{N\to\infty}\frac{M-1}{N}\cdots\lim_{N\to\infty}\frac{M-r+1}{N}\\[5pt]&=&\lim_{N\to\infty}\frac{M}{N}\cdot \lim_{N\to\infty}\Big(\frac{M}{N}-\frac 1N\Big)\cdots\lim_{N\to\infty}\Big(\frac{M}{N}-\frac{r-1}{N}\Big)\\[5pt]&=&\lim_{N\to\infty}\Big(\frac{M}{N}\Big)^r\end{eqnarray*}$

而且

$\begin{eqnarray*}&&\hskip -10pt \lim_{N\to\infty}\frac{(N-M)(N-M-1)\cdots(N-M-(n-r)+1)}{N^{n-r}}\\[5pt]&=&\lim_{N\to\infty}\frac{N-M}{N}\cdot \lim_{N\to\infty}\frac{N-M-1}{N}\cdots\lim_{N\to\infty}\frac{N-M-(n-r)+1}{N}\\[5pt]&=&\lim_{N\to\infty}\Big(1-\frac{M}{N}\Big)\cdot \lim_{N\to\infty}\Big(1-\frac{M}{N}-\frac 1N\Big)\cdots\lim_{N\to\infty}\Big(1-\frac{M}{N}-\frac{n-r-1}{N}\Big)\\[5pt]&=&\lim_{N\to\infty}\Big(1-\frac{M}{N}\Big)^{n-r}\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}\lim_{N\to\infty}\frac{N^n}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}&=&\lim_{N\to\infty}\frac{N}{N}\cdot \lim_{N\to\infty}\frac{N}{N-1}\cdots\lim_{N\to\infty}\frac{N}{N-n-1}\\[5pt]&=&1\cdot 1\cdots 1=1\end{eqnarray*}$

因此得到當(dāng) $N\to \infty$ 時(shí) $\dfrac{C^r_MC^{n-r}_{N-M}}{C^n_N}\to C^r_n\Big(\dfrac MN\Big)^r\Big(1-\dfrac MN\Big)^{n-r}$

最后, 筆者舉了一道生活中的應(yīng)用問題, 讓學(xué)生瞭解上述結(jié)論在實(shí)際上的應(yīng)用: 工廠之 1000個(gè)產(chǎn)品中的不良品比率為0.1, 從其中任意抽取 3 個(gè)產(chǎn)品出來,請(qǐng)問恰有一個(gè)不良品之機(jī)率?==?

由超幾何分配得其機(jī)率 $P\!=\!\dfrac{C^{1}_{100}\cdot C^{2}_{900}}{C^{3}_{1000}}\fallingdotseq 0.2434598$ , 但產(chǎn)品的樣本數(shù)量頗大而不易

計(jì)算, 若用二項(xiàng)分配近似于超幾何分配, 可得其機(jī)率 $P=C^1_3(0.1)(0.9)^2=0.243$ 萍聊。因此, 可以看出在?NN?很大的情況下, 利用二項(xiàng)分配算出的機(jī)率與超幾何分配非常接近匹厘。

二. 二項(xiàng)分配近似于常態(tài)分配之教學(xué)

自然界有許多事物的分布情形都有一個(gè)特征, 就是數(shù)值資料大多集中于其平均數(shù)附近, 而位在兩個(gè)極端的資料數(shù)量并不多, 且它們都會(huì)均勻分布在平均數(shù)的左右兩邊。例如: 某一地區(qū)居民的總收入, 某一學(xué)校學(xué)生之?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)? $\cdots\cdots$ 等等, 其分布曲線都是呈現(xiàn)單一高峰的左右對(duì)稱曲線, 這種曲線稱為常態(tài)曲線 (Normal curve)脐区。常態(tài)曲線有一個(gè)最高點(diǎn), 此點(diǎn)的橫座標(biāo)就是資料的平均數(shù) $\mu$ , 曲線的左右兩端會(huì)對(duì)稱于 $x=\mu$ , 而資料的離散程度可以用標(biāo)準(zhǔn)差 $\sigma$ 描述愈诚。一般只要我們知道了平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差, 整個(gè)資料的常態(tài)曲線就完全被確定了, 其中的平均數(shù)決定了曲線的中心, 而標(biāo)準(zhǔn)差確定了曲線的形狀。在統(tǒng)計(jì)上只要樣本資料符合常態(tài)曲線, 這些樣本分布在范圍 $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$ 牛隅， $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$ 炕柔， $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$ 之比率大約為 68.3%、 95.4%媒佣、 99.7%, 我們稱之為常態(tài)分配的經(jīng)驗(yàn)法則 (Empirical rule), 亦即約有 68.3% 的資料會(huì)落在距平均數(shù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi); 約有 95.4% 的資料會(huì)落在距離平均數(shù)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi); 約有99.7% 的資料會(huì)落在距平均數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi), 如下圖匕累。

在 1733 年棣美弗 (De Moivre) 首先由二項(xiàng)分配 (Bionomial distribution) 的逼近推出了常態(tài)分配 (Normal distribution) 之表達(dá)式 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ ?(王幼軍, 2007)。

但他當(dāng)時(shí)二項(xiàng)逼近的工作并未引起人們的重視, 使得常態(tài)分配也僅停留于數(shù)學(xué)表達(dá)的層面, 在實(shí)際應(yīng)用中也沒有找到適合存活的土壤默伍。陳希孺認(rèn)為,?棣美弗本人并不是一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家, 他并未從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)去考慮這項(xiàng)逼近工作的意義, 其出發(fā)點(diǎn)僅把?pp?作為已知數(shù)去研究如何用二項(xiàng)分配逼近常態(tài)分配, 而不是將?pp?看作未知數(shù)并通過觀察結(jié)果對(duì)它進(jìn)行推論 (陳希孺, 2005)欢嘿。因此, 在?棣美弗時(shí)代要使常態(tài)分配成為一種機(jī)率模型的時(shí)機(jī)尚不成熟, 但他對(duì)二項(xiàng)分配與常態(tài)分配的研究成果讓中央極限定理之發(fā)展有著承先啟后的作用。正是在此基礎(chǔ)上拉普拉斯?(Laplace)于1780年對(duì)棣美弗的結(jié)果進(jìn)行推廣, 并建立了棣美弗??拉普拉斯極限定理 (De Moivre-Laplace Limit Theorem)(Hald, 1998)也糊。進(jìn)入十八世紀(jì)數(shù)學(xué)出現(xiàn)一個(gè)很重要的特征, 那就是數(shù)學(xué)研究的目標(biāo)在于處理人類碰到之實(shí)際問題, 生活中無論對(duì)自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè), 總會(huì)產(chǎn)生誤差這一點(diǎn)在很早以前人們就注意到了, 但是對(duì)于其觀測(cè)值所呈現(xiàn)的隨機(jī)性人們卻認(rèn)識(shí)模糊炼蹦。雖然歷史上有很多天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家曾對(duì)誤差理論作過研究, 但都沒有從棣美弗的著作中得到任何有關(guān)常態(tài)分配的啟發(fā)。直到1809年高斯(Gauss)在研究測(cè)量誤差之機(jī)率分配時(shí), 才讓棣美弗所發(fā)表的常態(tài)分配表達(dá)式得到了機(jī)率分配的身份, 又因高斯對(duì)常態(tài)分配所作的研究對(duì)后世的影向極大, 使得后人對(duì)于常態(tài)分配又有高斯分配的稱呼 (Hald, 1998)狸剃。?德國(guó)10馬克的紙鈔上曾印有高斯肖像與常態(tài)分配的圖案, 這表示數(shù)學(xué)王子高斯一生中在科學(xué)上, 對(duì)于全人類最大的貢獻(xiàn)就是常態(tài)分配掐隐。

在二項(xiàng)分配近似于常態(tài)分配的高中教材中, 有教科書是利用投均勻硬幣20次中會(huì)出現(xiàn)幾次正面, 然后讓全班每位同學(xué)投一硬幣20次, 可能有人會(huì)擲出 8次正面也有人可能擲出12次正面, 如果將每人所擲出的正面次數(shù)記錄下來, 那么這些次數(shù)之平均數(shù)就相當(dāng)接近10次, 最后就直接得出結(jié)論: 機(jī)率里的期望值就是統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)中大量數(shù)據(jù)的平均值。也有教科書先利用EXCEL計(jì)算二項(xiàng)分配再寫一些連老師都看不下去的計(jì)算式子, 然后利用二項(xiàng)分配的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差求比率? $p$ 的 95% 信賴區(qū)間, 我真不知道編者有沒有考慮到教與學(xué)之問題钞馁。至于在教導(dǎo)高中學(xué)生的時(shí)候要如何來表達(dá)這個(gè)概念呢? 以下是個(gè)人在課堂中之教學(xué)片斷, 首先介紹二項(xiàng)分配的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差虑省。

對(duì)于每次只有成功與失敗兩種結(jié)果的試驗(yàn)中, 若繼續(xù)重復(fù)作 $n$ 次試驗(yàn)且每次試驗(yàn)是獨(dú)立的, 則在? $n$ 次中恰有 $k$ 次成功的機(jī)率為 $P=C^k_np^k(1-p)^{n-k}$ , 這種機(jī)率分配我們稱之為具有參數(shù)? $(n,p)$ 的二項(xiàng)分配。在具有參數(shù) $(n,p)$ 的二項(xiàng)分配中若令? $X$ 表示其成功次數(shù), 則有下列結(jié)論:

1.? X?的期望值 $\mu=E(X)=np$ ,

2.? X?的標(biāo)準(zhǔn)差 $\sigma=S_X=\sqrt{np(1-p)}$ 僧凰。

證明如下:

$\begin{eqnarray*}\hbox{$X$ 的期望值} \mu&=&E(X)=\sum_{k=0}^n kC^k_np^k(1-p)^{n-k}\\&=&\sum_{k=0}^n \dfrac{k\cdot n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\\&=&\sum_{k=1}^n \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\\&=&np\cdot \sum_{k=1}^n \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}\cdot(1-p)^{n-k}\\&=&np[p+(1-p)]^{n-1}\\&=&np\\[5pt]\hbox{$X^2$ 的期望值} E(X^2)&=&\sum_{k=0}^n k^2\cdot C^k_n\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\\&=&\sum_{k=0}^n k(k-1)\cdot C^n_k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}+\sum_{k=0}^n k\cdot C^n_k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\\&=&\sum_{k=0}^n \dfrac{k(k-1)\cdot n!}{k!(n-k)!} p^k\cdot (1-p)^{n-k}+np\\&=&\sum_{k=2}^n \dfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!} p^k\cdot (1-p)^{n-k}+np\\&=&n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n \dfrac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!} p^{k-2}\cdot (1-p)^{n-k}+np\\&=&n(n-1)p^2[p+(1-p)]^{n-2}+np\\&=&n(n-1)p^2+np\end{eqnarray*}$

因此我們得到

$\begin{eqnarray*}\hbox{$X$ 的標(biāo)準(zhǔn)差} \sigma&=&S_X=\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}\\&=&\sqrt{n(n-1)p^2+np-(np)^2}\\&=&\sqrt{np(1-p)}\end{eqnarray*}$

關(guān)于常態(tài)分配是二項(xiàng)分配的近似, 為了讓學(xué)生很快的瞭解這個(gè)重要的概念, 筆者在上課中簡(jiǎn)單提出了一個(gè) $p=\dfrac 12$ 與? $p\not=\dfrac 12$ 的例子說明如下:

一. 投擲一公正硬幣 4 次, 令?X表示在 4 次試驗(yàn)出現(xiàn)的正面次數(shù), 求P(X=k)=?

并作其二項(xiàng)分配機(jī)率圖形如右:

$\begin{eqnarray*}P(X=0)&=&C^0_4(\dfrac 12)^0(\dfrac 12)^4=\dfrac 1{16}\hskip 7cm~\\[5pt]P(X=1)&=&C^1_4(\dfrac 12)^1(\dfrac 12)^3=\dfrac 4{16}\\[5pt]P(X=2)&=&C^2_4(\dfrac 12)^2(\dfrac 12)^2=\dfrac 6{16}\\[5pt]P(X=3)&=&C^3_4(\dfrac 12)^3(\dfrac 12)^1=\dfrac 4{16}\\[5pt]P(X=4)&=&C^4_4(\dfrac 12)^4(\dfrac 12)^0=\dfrac 1{16}\end{eqnarray*}$

由上面例題我們可以告訴學(xué)生, 當(dāng)具有參數(shù) (n,p)?之二項(xiàng)分配中的 n?足夠大時(shí)?(n≥30)(n≥30), 它會(huì)近似于平均數(shù) $\mu=np$ , 標(biāo)準(zhǔn)差 $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ 之常態(tài)分配, 課堂上只要對(duì)? $n$ 逐漸增大加以說明或配合計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn), 根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)學(xué)生很容易接受這個(gè)事實(shí)探颈。此一觀念是機(jī)率中計(jì)算繁瑣二項(xiàng)機(jī)率的重要依據(jù), 但由于其機(jī)率牽涉到近似的概念, 所以在評(píng)量學(xué)生問題的時(shí)候, 最好采選擇型式并配合近似的觀念來命題。例如: 投擲一枚不公正銅板72次, 其出現(xiàn)正面的機(jī)率為 $\frac 13$ , 則此硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)介于 16 次與 32 次之間的機(jī)率最接近下列何者? (A) 0.64 (B) 0.68 (C) 0.80 (D) 0.95 (E) 0.99

解:?令? $X$ ?表示出現(xiàn)正面之次數(shù), 則出現(xiàn)正面次數(shù)介于 16～～32 次之機(jī)率為

$\begin{eqnarray*}P(16\lt X\lt 32)&=&P(X=17)+P(X=18)+\cdots+P(X=31)\\&=&C^{17}_{72}\Big(\frac 13\Big)^{17}\Big(\frac 23\Big)^{55}+C^{18}_{72}\Big(\frac 13\Big)^{18}\Big(\frac 23\Big)^{54}+\cdots+C^{31}_{72}\Big(\frac 13\Big)^{31}\Big(\frac 23\Big)^{41}\end{eqnarray*}$

這是一個(gè)非常繁瑣的式子, 我們必須另謀其他方法求機(jī)率值训措。但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)?n 足夠大時(shí)二項(xiàng)分配會(huì)近似于常態(tài)分配, 本題出現(xiàn)正面的次數(shù)?X近似于 $\mu=np=72\Big(\frac 13\Big)=24$ , $\sigma=\sqrt{72(\frac13)(\frac 23)}=4$ 之常態(tài)分配, 因此可以得到其機(jī)率 $\begin{eqnarray*}P(16\lt X\lt 32)&=&P(\mu-2\sigma\lt X\lt \mu+2\sigma)\\&=&0.954 \hbox{最接近上述答案中的} 0.95\end{eqnarray*}$

有關(guān)二項(xiàng)分配近似于常態(tài)分配就是歷史上的棣美弗??拉普拉斯極限定理, 它告訴我們當(dāng)二項(xiàng)分配的參數(shù)? $n$ 足夠大時(shí), 可利用常態(tài)分配來求其近似值伪节。此定理首先由棣美弗在1733年證明出 $p=\frac 12$ 的情形, 后來才由拉普拉斯將其結(jié)果推廣到一般的 $p$ , 其中 $0\lt p\lt 1$ 。此定理敘述如下(丁村成, 1997):

De Moivre-Laplace Limit Theorem設(shè) $S_n$ 表示進(jìn)行 n?次獨(dú)立試驗(yàn)的成功次數(shù), 且每次試驗(yàn)成功的機(jī)率為 $p$ , 則當(dāng) $n\to\infty$ 可得到

$P\Big(a\le \frac{S_n-np}{np(1-p)}\le b\Big)=\int_a^b \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}dx$ ? ?

三. 中央極限定理通俗的表達(dá)方式

中央極限定理(Central Limit Theorem)是連接機(jī)率與統(tǒng)計(jì)之重要橋梁, 它指出: 從具有平均數(shù)?μ 與標(biāo)準(zhǔn)差 σ?的母體 (Population) 中隨機(jī)取出?nn?個(gè)樣本 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , 當(dāng) n?足夠大時(shí) $\bar X=\frac 1n\sum_{i=1}^n X_i$ 的抽樣分配會(huì)近似于平均數(shù) μ?而標(biāo)準(zhǔn)差? $\frac \sigma{\sqrt{n}}$ 之常態(tài)分配隙弛。至于樣本數(shù)?n 要多大才能使得常態(tài)分配給 $\bar X$ 之抽樣分配提供更良好的近似呢? 其答案依賴于被抽樣的母體而定, 但一般對(duì)于大多數(shù)母體取樣本數(shù)? $n\ge 30$ 是足夠的 (Mc Clave et al. 2008)架馋。目前的高中教科書介紹這個(gè)定理大都采取了計(jì)算機(jī)摸擬加以說明, 但這并無助于學(xué)生對(duì)此一重要定理的瞭解, 因?yàn)閷W(xué)生從計(jì)算機(jī)模擬中無法親自體會(huì)? $\bar X$ 抽樣分配之隨機(jī)性。上課中為加深同學(xué)對(duì) $\bar X$ 這個(gè)分配之個(gè)數(shù)及變化, 我特別設(shè)計(jì)了下面問題來說明全闷。

從母體 0, 3, 6, 9, 12 中任意抽取三個(gè)樣本 $X_1,X_2,X_3$ , 求出所有可能樣本平均數(shù)? $\bar X=\frac 13\sum_{i=1}^n X_i$ 之抽樣分配并繪出其抽樣分配機(jī)率圖形為何?

首先可由 $C^5_3=10$ 得知我們共可抽出十組不同的樣本, 因此也會(huì)得到十種 $\bar X$ 的不同情形, 將之列表并計(jì)算每一組之 $\bar X$ 如下:

若將? $\bar X$ 按大小順序排列可得到其對(duì)應(yīng)的機(jī)率分配如下表:

因此, 可以繪出? $\bar{X}$ 抽樣分配之機(jī)率圖形于下:

此抽樣分配 $\bar{X}$ 之平均數(shù)

$\begin{eqnarray*}E(\bar X)&=&\frac 1{10}(3+4+5+6+7+8+9)=\frac 1{10}(60)=6\end{eqnarray*}$

若利用除以? $n$ 的公式得? $\bar{X}$ 的標(biāo)準(zhǔn)差

$\begin{eqnarray*}S_{\bar X}&=&\sqrt{\frac 1{10}[(3\!-\!6)^2+(4\!-\!6)^2+(5\!-\!6)^2+\cdots+(8\!-\!6)^2+(9\!-\!6)^2)]}\\&=&\sqrt{\frac 1{10}(9+4+1+1+0+1+0+1+4+9)}=\sqrt{\frac 1{10}(30)}=\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73\\\end{eqnarray*}$

這個(gè)例子不但可讓學(xué)生瞭解? $\bar{X}$ 抽樣分配的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差不易求得, 亦可使他們體會(huì)到 $\bar{X}$ 抽樣分配對(duì)于?n=3的情形已具有常態(tài)分配之趨向, 這就是給予中央極限定理很直觀的視覺化 (Visualization) 表達(dá)方式

要證明 $\bar{X}$ ?的平均數(shù) $E(X)=\mu$ 與標(biāo)準(zhǔn)差 $S_{\bar X}=\frac \sigma{\sqrt{n}}$ ?并不難, 因?yàn)?/p>

$\begin{eqnarray*}E(\bar X)&=&E\Big(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}n\Big)=\frac 1n\sum_{i=1}^n E(X_i)\\&=&\frac 1n\sum_{i=1}^n \mu=\frac 1n\cdot n\mu=\mu\\[5pt]S_{\bar X}&=&\sqrt{Var\Big(\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}n\Big)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum_{i=1}^n Var(X_i)}\\&=&\sqrt{\frac 1{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}\cdot n \sigma^2}=\sqrt{\frac{\sigma^2}n}=\frac\sigma{\sqrt{n}}\end{eqnarray*}$

最后再提出中央極限定理的結(jié)論: 從具有平均數(shù)?μ及標(biāo)準(zhǔn)差?σ 之母體中隨機(jī)取出 n?個(gè)樣本, 當(dāng) n?足夠大時(shí)樣本平均數(shù) $\bar{X}$ 的抽樣分配會(huì)近似于平均數(shù) μ?及標(biāo)準(zhǔn)差 $\frac\sigma{\sqrt{n}}$ 之常態(tài)分配叉寂。個(gè)人透過實(shí)際教學(xué)大部分學(xué)生都能清楚此定理的意義, 此一教法更有助于讓學(xué)生正確掌握信心水準(zhǔn)的觀念。至于比較一般的中央極限定理之形式如下(Ross, 2006):

The Central Limit TheoremLet $X_1,X_2,\ldots,X_n$ ?be a sequence of independent and identically distributed random variables each having mean?μμ?and variance $\sigma ^2$ . Then the disrtibution of? $\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ ?tends to the standard normal as $n\to\infty$ . That is, for? $-\infty\lt a\lt \infty$ ,

$\lim_{n\to\infty}P\Big(\dfrac{\sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le a\Big)=\frac 1{\sqrt2\pi} \int_{-\infty}^a e^{-\frac{x^2}2}dx$

這是拉普拉斯最早所提出的一般形式, 但他本人對(duì)此定理的證明并不十分嚴(yán)格总珠。真正嚴(yán)格的證明是李雅普諾夫(Lyapunov)在1901～～1902年之間所完成, 并在證明中首創(chuàng)利用了嶄新的特征函數(shù) (Characteristic function), 透過特征函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)了機(jī)率分析的革新, 才使得機(jī)率中有關(guān)極限定理的證明得到更大的發(fā)展(Adams, 2009)屏鳍。中央極限定理早期的應(yīng)用顯示測(cè)量誤差近似于常態(tài)分配, 這在科學(xué)上發(fā)展出很多非常重要的貢獻(xiàn), 所以十七世紀(jì)至十八世紀(jì)它通常被稱為誤差頻率定律 (Law of frequency of errors)勘纯。至于「The Central Limit Theorem」這個(gè)名稱, 是由波利亞(Polya)于 1920 年在其博士論文中所提出的。

四. 信賴區(qū)間與信心水準(zhǔn)之正確解讀

在選舉前有民調(diào)中心想要調(diào)查某位候選人的支持度, 最準(zhǔn)確的方法當(dāng)然是調(diào)查所有合格選民, 若在?N個(gè)會(huì)去投票者中有?M 個(gè)支持該候選人, 則其真正的支持度? $p=\frac MN$ 即為母體支持率钓瞭。但是這樣的調(diào)查方法往往耗費(fèi)太多的人力與物力, 根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)一般會(huì)采取隨機(jī)的方式進(jìn)行抽樣調(diào)查驳遵。為估計(jì)未知的母體支持度 p, 民調(diào)中心隨機(jī)抽取了一份 n?個(gè)人的樣本, 若調(diào)查結(jié)果有 m?個(gè)人支持這位候選人, 則其樣本之支持率? $\hat p=\frac mn$ , 這只是對(duì)該候選人支持率的一個(gè)估計(jì)。如果重新隨機(jī)再抽取 n?個(gè)人的樣本, 由于組成另一個(gè)樣本的人不一定與上次相同, 使得對(duì)該候選人的支持率 $\hat p$ 也可能隨之改變山涡。因此, 在抽取?nn?個(gè)樣本的抽樣中可產(chǎn)生 $C_n^N$ ?組不同的樣本, 則對(duì)該候選人的樣本支持率? $\hat p$ ?就可能有 $\frac 0n, \frac 1n, \frac 2n,\ldots, \frac nn$ ?不同變化, 其發(fā)生的機(jī)率分別列表如下:

因此可得到

$\begin{eqnarray*}\hat p \,\hbox{期望值}\, E(\hat p)&=&\sum_{k=0}^n \frac kn C^k_np^k(1-p)^{n-k}=\frac 1n\sum_{k=0}^n kC^k_np^k(1-p)^{n-k}\\&=&\frac 1n \cdot np=p\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}{\hat p}^2 \,\hbox{期望值}\, E({\hat p}^2)&=&\sum_{k=0}^n \Big(\frac kn\Big)^2 C^k_np^k(1-p)^{n-k}=\frac 1{n^2}\sum_{k=0}^n k^2 C^k_np^k(1-p)^{n-k}\\&=&\frac{1}{n^2}[n(n-1)p^2+np]=\frac{(n-1)p^2+p}n\\[5pt]\therefore\ \hat p \,\hbox{的標(biāo)準(zhǔn)差}\,\sigma&=&\sqrt{E({\hat p}^2)-[E(\hat p)]^2}=\sqrt{\frac{(n-1)p^2+p}{n}-p^2}\\&=&\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\end{eqnarray*}$

根據(jù)中央極限定理當(dāng)?nn?足夠大時(shí), $\hat{p}$ 產(chǎn)生的分配會(huì)趨近于平均數(shù)?p 與標(biāo)準(zhǔn)差? $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 之常態(tài)分配, 再由常態(tài)分配的經(jīng)驗(yàn)法則可得知? $\hat{p}$ ?值有大約95% 的比例會(huì)落在 $\Big[p-1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\Big]$ 堤结。　一般在抽樣時(shí)我們并不知道母體真正值　p, 但當(dāng)抽取樣本數(shù) n?足夠大時(shí), 　每一組樣本所產(chǎn)生的? $\hat{p}$ ?都會(huì)近似于 p, 所以也可以利用 $\hat{p}$ 來估計(jì) p, 我們稱? $\Big[\hat p-1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\hat p+1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\Big]$ 為 p?的 95% 信賴區(qū)間 (Confidence interval)鸭丛。因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)家有某種程度的信心認(rèn)為該區(qū)間會(huì)包含 p, 所以給它取名為信賴區(qū)間, 其理由是當(dāng)我們收集了許多不同的樣本, 并對(duì)每個(gè)樣本都得到了一個(gè)信賴區(qū)間, 這些信賴區(qū)間有足夠的信心使其中的 95% 包含了母體之真正值, 則 95% 這個(gè)值就被稱為信心水準(zhǔn) (Confidence level)(Iversen, et al.~1997)竞穷。 95% 這個(gè)值在統(tǒng)計(jì)是比較常用的, 當(dāng)然你也可以使用其他值 90% 或 99% 來作信心水準(zhǔn)。

在大多數(shù)情況下, 調(diào)查人員收集數(shù)據(jù)時(shí)都只取一組樣本, 可是沒有人能夠知道這組樣本所產(chǎn)生的信賴區(qū)間是否包含 p鳞溉。至于這個(gè)區(qū)間是否包含 p?呢? 注意! 它只有兩種答案, 即它包含 p?或不包含 p, 采用機(jī)率的觀點(diǎn)來看就是 $P\Big(p\in \Big[\hat p-1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\hat p+1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\Big]\Big)=1$ 或 0, 亦即信心水準(zhǔn) 95% 并不是一個(gè)機(jī)率值, 所以不可以將之解讀為真正?p 值會(huì)落在此信賴區(qū)間的機(jī)率是 0.95瘾带。因此, 統(tǒng)計(jì)學(xué)上才假設(shè)做了足夠多次抽樣后, 借助其近似于常態(tài)分配的經(jīng)驗(yàn)法則來探討信心水準(zhǔn), 并創(chuàng)造出信賴區(qū)間這樣的名詞來描述它。我們之所以用這種拐彎抹角的表達(dá)方式, 其原因在于母體真正值是未知的固定數(shù), 而抽樣比率? $\hat{p}$ ?所得到的信賴區(qū)間卻是變動(dòng)的, 若重復(fù)這個(gè)作法會(huì)得到一些不同的信賴區(qū)間, 在這個(gè)意義下信賴區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間, 此區(qū)間會(huì)隨著所取樣本的不同而不同熟菲。一個(gè)區(qū)間就像為了捕獲未知的 p?而撒出去的網(wǎng), 并非每一次撒網(wǎng)的地點(diǎn)都能捕獲真正值p看政。因此, 信心水準(zhǔn) 95% 的意義是多次抽樣中大約有 95% 的信賴區(qū)間會(huì)包含未知的母體真正值 p, 或通俗的解讀為我們大約有 95% 的「信心」確定這次調(diào)查得到的信賴區(qū)間會(huì)包未知的母體真正值 p。在98年學(xué)測(cè)考試有一道題目:

某廠商委托民調(diào)機(jī)構(gòu)在甲乙兩地調(diào)查聽過某項(xiàng)產(chǎn)品的居民占當(dāng)?shù)鼐用裰俜直?(以下簡(jiǎn)稱為「知名度」), 結(jié)果如下: 在 95% 信心水準(zhǔn)之下, 該產(chǎn)品在甲抄罕、乙兩地的知名度之信賴區(qū)間分別為? $[0.50, 0.58]$ 允蚣、 $[0.08,0.16]$ 。試問下列哪些選項(xiàng)是正確的? (1) 甲地本次的參訪者中有54%的人聽過該產(chǎn)品 (2) 此次民調(diào)在乙地的參訪人數(shù)少于在甲地的參訪人數(shù) (3) 此次調(diào)查結(jié)果可解讀為: 甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產(chǎn)品的機(jī)率大于 95% (4) 若在乙地以同樣方式進(jìn)行多次民調(diào), 所得知名度有 95% 的機(jī)會(huì)落在區(qū)間 $[0.08, 0.16]$ ? (5) 經(jīng)密集廣告宣傳后在乙地再次進(jìn)行民調(diào), 并增加參訪人數(shù)達(dá)原人數(shù)的四倍, 則在 95% 信心水準(zhǔn)之下該產(chǎn)品的知名度之信賴區(qū)間寬度會(huì)減半贞绵。

本題大考中心公布的正確答案為選項(xiàng)(1)(2), 并統(tǒng)計(jì)全體考生答對(duì)率只有 7% 而鑒別度為 ?0.01厉萝。雖然題目在敘述上之用字遣詞不是非常完美, 但個(gè)人對(duì)于這題的命題委員之用心表示欽佩, 因?yàn)樗谶x項(xiàng)(4)中點(diǎn)到了未知?dú)⑹?p, 也在選項(xiàng) (5) 中考慮到了? $\hat{p}$ 的隨機(jī)性。如果學(xué)生未能瞭解?p 的未知性與 $\hat{p}$ ?之隨機(jī)性, 那就無法對(duì)這兩個(gè)選項(xiàng)作出是否正確的判斷, 這也是個(gè)人一再強(qiáng)調(diào)教師在使用中央極限定理之前, 必須對(duì)抽樣分配? $\bar{X}$ ?的隨機(jī)性作一番解說, 才能讓學(xué)生對(duì)于理解 $\hat{p}$ ?的隨機(jī)性有所幫助榨崩。在目前各版本教科書對(duì)此觀念都語焉不詳?shù)那闆r下, 我實(shí)在不敢指望學(xué)生能夠瞭解選項(xiàng)(4)與(5)的意義。筆者建議教師在課堂中將本題改成下面題目, 對(duì)于學(xué)生在理解此一概念會(huì)有更好的效果:

某廠商委托民調(diào)機(jī)構(gòu)在甲地調(diào)查聽過某項(xiàng)產(chǎn)品的居民占當(dāng)?shù)鼐用裰俜直?以下簡(jiǎn)稱為「知名度」), 其結(jié)果如下: 在 95%信心水準(zhǔn)下該產(chǎn)品在甲地的知名度之信賴區(qū)間為?[0.50,0.58][0.50,0.58]章母。試問下列哪些選項(xiàng)是正確的? (1) 此次調(diào)查在甲地參訪者中有 54% 的人聽過該產(chǎn)品, 且其抽樣誤差為正負(fù) 4 個(gè)百分點(diǎn) (2) 此次調(diào)查有 95% 信心可確定甲地全體居民中, 聽過該項(xiàng)產(chǎn)品的比率為會(huì)落在 0.50～～0.58　 (3) 若在甲地再次進(jìn)行民調(diào)并增加參訪人數(shù)達(dá)原人數(shù)的四倍, 得到在 95% 信心水準(zhǔn)下該產(chǎn)品知名度之信賴區(qū)間寬度會(huì)減半 (4) 若在甲地以同樣方式進(jìn)行多次民調(diào), 所得到信賴區(qū)間中大約有 95% 會(huì)包含其真正的知名度 (5) 若在甲地以同樣方式進(jìn)行多次民調(diào), 所得的知名度會(huì)落在其信賴區(qū)間之機(jī)會(huì)大約為 95%母蛛。

本題筆者設(shè)計(jì)其正確選項(xiàng)為(1)(2)(4)。切記! 計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)教學(xué)上只是一種幫助瞭解與計(jì)算的輔助工具, 如果在教學(xué)的過程中處處依賴計(jì)算機(jī)而不深入思考, 根據(jù)數(shù)學(xué)教育一些相關(guān)研究結(jié)果已經(jīng)表明, 這對(duì)于學(xué)習(xí)抽象與推理能力將是有害無益的, 這也是為什么有教科書趕時(shí)髦附上隨機(jī)區(qū)間計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn), 卻又在書上寫出「p?落在信賴區(qū)間的機(jī)率稱為信心水準(zhǔn)」這種不合理的定義了乳怎。在這次修訂版的定義下雖加注了「信心水準(zhǔn)與機(jī)率兩者有不同涵義」, 卻于同書241頁又作了一些和此定義自相矛盾的說明, 令人不解與遺憾彩郊。)

最后編輯于：2020.05.26 21:00:48

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文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼蜗元！你這毒婦竟也來了或渤？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
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萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤奕扣，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎薪鹦，沒想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體成畦，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,717評(píng)論 1贊 315
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡距芬，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年涝开，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片框仔。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,021評(píng)論 1贊 350
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡舀武，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出离斩，到底是詐尸還是另有隱情银舱，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 35,735評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布跛梗，位于F島的核電站寻馏，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏核偿。R本人自食惡果不足惜诚欠，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,354評(píng)論 3贊 330
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望漾岳。院中可真熱鬧轰绵，春花似錦、人聲如沸尼荆。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽捅儒。三九已至液样，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間巧还，已是汗流浹背鞭莽。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國(guó)打工，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留麸祷，地道東北人撮抓。一個(gè)月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像摇锋，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子站超，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,974評(píng)論 2贊 355