第五講一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

一元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用：三點(diǎn)(極值點(diǎn)乞旦、最值點(diǎn)和拐點(diǎn))兩性(單調(diào)性和凹凸性)一線(漸近線)

此外始藕，這一講的要求是能夠準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖形

第一部分極值與單調(diào)性

極值點(diǎn)：若存在 $x_0$ 的某個(gè)鄰域梗醇，使得該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)x，均有
$f(x)\ge f(x_0)(或者f(x) \le f(x_0))$

討論極值點(diǎn)的前提是函數(shù)在該點(diǎn)鄰域內(nèi)由定義蝠筑，即雙側(cè)有定義

如果f(x)在區(qū)間I上有最值點(diǎn) $x_0$ 唉工，并且此最大值點(diǎn) $x_0$ 不是區(qū)間I的端點(diǎn)而是區(qū)間I內(nèi)部的點(diǎn)，那么這個(gè)最大值點(diǎn)也是f(x)在區(qū)間I內(nèi)的極大值點(diǎn)

需要注意的是乏盐，間斷點(diǎn)也可以是極值點(diǎn)

一階可導(dǎo)點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件
但不是充分條件佳窑，比如 $y=x^3,y'|_{x=0}=0$ ，但此時(shí)x=0處不是極值點(diǎn)

極值點(diǎn)的第一充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處連續(xù)父能，且在 $x_0$ 的某個(gè)去心鄰域 $\dot{U}(x_0,\delta)$ 內(nèi)可導(dǎo)

若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 時(shí)神凑， $f'(x)\lt 0$ ，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 時(shí)何吝， $f'(x)\gt 0$ 溉委，則 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得最小值
若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 時(shí)， $f'(x)\gt 0$ 岔霸，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 時(shí)薛躬， $f'(x)\lt 0$ ，則 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得最大值
若 $f'(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta)$ 內(nèi)不變號(hào)呆细，則點(diǎn) $x_0$ 不是極值點(diǎn)

極值點(diǎn)的第二充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處二階可導(dǎo)型宝，且 $f'(x_0)=0,f''(x_0)\ne 0$ 八匠，則此處必為極值點(diǎn)
若 $f''(x_0)\lt 0$ ，則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極大值趴酣；若 $f''(x_0)\gt 0$ 梨树，則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極小值

$\color{red}{第一條件\Rightarrow 第二條件}$
第一種情況： $f''(x_0)\lt 0$
$f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}\lt 0$
由極限的保號(hào)性可知當(dāng) $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 時(shí)， $\frac{f'(x)}{x-x_0}\lt 0$
當(dāng) $x\in (x_0-\delta,x_0)$ 時(shí)岖寞，
$\frac{f'(x)}{x-x_0}<0$
$\therefore f'(x)>0$
當(dāng) $x\in (x_0,x_0+\delta)$ 時(shí)抡四，
$\frac{f'(x)}{x-x_0}<0$
$\therefore f'(x)\lt 0$
根據(jù)極值第一充分條件， $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極大值
第二種情況： $f''(x_0)\gt 0$ 仗谆，同理

極值點(diǎn)的第三充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處n階可導(dǎo)指巡，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,...,n-1),f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 2)$ ，則
當(dāng)n為偶數(shù)且 $f^{(n)}(x_0)\lt 0$ 時(shí)隶垮， $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極大值
當(dāng)n為奇數(shù)且 $f^{(n)}(x_0)\gt 0$ 時(shí)藻雪， $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極小值

例題：
設(shè) $f(x)$ 在 $[0,+\infty]$ 內(nèi)連續(xù)， $f'(x)$ 為 $(0,+\infty)$ 內(nèi)的單調(diào)增加函數(shù)狸吞， $f(0)=0$ 勉耀，試討論函數(shù) $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 內(nèi)的增減性
令 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，則 $g'(x)=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{f'(x)x-f(x)}{x^2}$
$\color{red}{拉格朗日中值定理:f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0),原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系}$
$\therefore g'(x)=\frac{f'(x)x-(f(x)-f(0))}{x^2}$
$=\frac{f'(x)x-f'(\xi)(x-0)}{x^2}$
$=\frac{f'(x)-f'(\xi)}{x}$
而 $0\lt\xi\lt x$ 蹋偏， $f'(x)$ 是單調(diào)增加的
$\therefore f'(x)-f'(\xi)>0$
$\therefore g'(x)>0$
故 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 是單調(diào)增加的

第二部分拐點(diǎn)與凹凸性

凹凸性：設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間 $I$ 上連續(xù)便斥，如果對(duì) $I$ 上任意兩點(diǎn) $x_1,x_2$ ，恒有
$f(\frac{x_1+x_2}{2})\lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
則稱(chēng) $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凹弧威始，
反之枢纠，若
$f(\frac{x_1+x_2}{2})\gt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
則稱(chēng) $y=f(x)$ 在 $I$ 上是凸弧，

拐點(diǎn)：連續(xù)曲線的凹弧和凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為該曲線的拐點(diǎn)字逗。
[注]：拐點(diǎn)是曲線上的一個(gè)點(diǎn)京郑，必須寫(xiě)作 $(x_0,f(x_0))$

凹凸性：設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間 $I$ 上二階可導(dǎo)，則
若在 $I$ 上 $f''(x)\gt 0$ 葫掉，則 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖像是凹的；
若在 $I$ 上 $f''(x)\lt 0$ 跟狱，則 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖像是凸的俭厚；

二階可導(dǎo)是拐點(diǎn)的必要條件
設(shè) $f''(x_0)$ 存在，且點(diǎn) $(x_0,f(x_0))$ 為曲線上的拐點(diǎn)驶臊，則 $f''(x_0)=0$

拐點(diǎn)的第一充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在點(diǎn) $x=x_0$ 處連續(xù)挪挤，在點(diǎn) $x=x_0$ 的某個(gè)去心鄰域 $\dot{U}(x_0,\delta)$ 內(nèi)二階可導(dǎo)，且二階導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的左右鄰域異號(hào)关翎，則點(diǎn) $(x_0,f(x_0))$ 為曲線上的拐點(diǎn)

拐點(diǎn)的第二充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)扛门，且 $f''(x_0)=0,f'''(x_0)\ne 0$ ，則 $(x_0,f(x_0))$ 為拐點(diǎn)

拐點(diǎn)的第三充分條件：
設(shè) $f(x)$ 在 $x_0$ 處n階可導(dǎo)纵寝，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=2,...,n-1),f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 3)$ 论寨，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， $(x_0,f(x_0))$ 為拐點(diǎn)

例題：
曲線 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐點(diǎn)
$\color{red}{對(duì)于a_1\cdots a_n的式子，需要先將其寫(xiě)為兩個(gè)式子的乘積后在進(jìn)行求導(dǎo)}$
拐點(diǎn)問(wèn)題一般考察的都是 $f''(x_0)=0,f'''(x_0)\ne 0$ 的情況
而 $(x-3)^3$ 經(jīng)過(guò)三次求導(dǎo)后恰好為一個(gè)常數(shù)葬凳，故
令 $g(x)=(x-1)(x-2)^2(x-4)^4$
則 $y=(x-3)^3\cdot g(x)$
$y'=3(x-3)^2\cdot g(x)+(x-3)^3\cdot g'(x)$
$y''=6(x-3)\cdot g(x)+3(x-3)^2\cdot g'(x)+3(x-3)^2\cdot g'(x)$
$+(x-3)^3\cdot g''(x)$
顯然 $y''|_{x=3}=0$
$y'''|_{x=3}=6\cdot g(3)+0+0+\cdots$ （后面的每一項(xiàng)都有(x=3)因式）
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f''(3)%3D0%2Cf'''(3)%5Cne%200" alt="f''(3)=0,f'''(3)\ne 0" mathimg="1">绰垂，故(3,0)是曲線y的一個(gè)拐點(diǎn)

第三部分漸近線

1.鉛垂?jié)u近線
若 $\lim_{x\to x^-}f(x)=\infty$ (或 $\lim_{x\to x^+}f(x)=\infty$ )，則 $x=x_0$ 為一條鉛垂?jié)u近線
鉛垂?jié)u進(jìn)線 $x=x_0$ 中的 $x_0$ 一般為函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)

2.水平漸近線
若 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_1$ 火焰，則 $y=y_1$ 為一條水平漸近線劲装；若 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_2$ ，則 $y=y_2$ 為一條水平漸近線昌简；

3.斜漸近線（水平漸近線和斜漸近線不可能在同一個(gè)方向同時(shí)存在）
若 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1,\lim_{x\to +\infty}[f(x)-k_1x]=b_1$ 占业，則 $y=k_1x+b_1$ 是曲線 $y=f(x)$ 的一條斜漸近線
若 $\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2,\lim_{x\to -\infty}[f(x)-k_2x]=b_2$ ，則 $y=k_2x+b_2$ 是曲線 $y=f(x)$ 的一條斜漸近線

斜漸近線的含義： $\lim_{x\to\infty}(f(x)-(kx+b))=0$
而且斜率（且不為零）和截距必須同時(shí)存在纯赎，斜漸近線才存在

例題
求 $y=x+\sin x$ 的漸近線
$\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{\sin x}{x})=1$ （有界函數(shù)與無(wú)窮小相乘為無(wú)窮星病）
$\lim_{x\to\infty}y-x=\lim_{x\to\infty}\sin x=不存在$
故曲線y不存在斜漸近線

有斜漸近線的曲線的次數(shù)最高不超過(guò)1，否則址否，任何一個(gè)高次的函數(shù)趨于無(wú)窮大的速度都遠(yuǎn)大于一次函數(shù)趨于無(wú)窮大的速度

求曲線漸近線的步驟：
第一步：先找無(wú)定義點(diǎn) $x_0$ 餐蔬，計(jì)算 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ ，若此極限不存在佑附，則 $x=x_0$ 為鉛垂?jié)u近線
第二步：計(jì)算 $\lim_{x\to\infty}f(x)$ 樊诺，若此極限等于A，則y=A為水平漸近線
第三步：若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ 音同，則

計(jì)算 $k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ 是否為非零常數(shù)词爬，若是，則
計(jì)算 $b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-kx)$ 是否存在权均，若存在顿膨，則 $y=kx+b$ 為斜漸近線

第四部分函數(shù)圖像

找分界點(diǎn)
$\begin{cases}f(x)=不存在(無(wú)定義點(diǎn))\\f'(x)=\begin{Bmatrix}0(駐點(diǎn))\\不存在(不可導(dǎo)點(diǎn))\end{Bmatrix}可疑點(diǎn)\\f''(x)=\begin{cases}0\\不存在\end{cases}\end{cases}$

區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題：計(jì)算端點(diǎn)和可疑點(diǎn)的函數(shù)值，然后進(jìn)行比較

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第五講 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

第一部分 極值與單調(diào)性

第二部分 拐點(diǎn)與凹凸性

第三部分 漸近線

第四部分 函數(shù)圖像

第五講一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

第一部分極值與單調(diào)性

第二部分拐點(diǎn)與凹凸性

第三部分漸近線

第四部分函數(shù)圖像