截斷正態(tài)分布

??截斷正態(tài)分布(Truncated_normal_distribution)是在正態(tài)分布中界定隨機變量進而從正態(tài)分布的分布函數(shù)中導(dǎo)出概率分布灸异，在計量經(jīng)濟學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用带族。

不同參數(shù)下的正態(tài)分布概率密度函數(shù)

正態(tài)分布的累計分布函數(shù)

定義

??若 $X\sim N(\mu,\delta^2)$ ,則當 $X \in (a,b),-\infty \leq a < b \leq \infty$ 時怀挠， $X$ 的概率密度函數(shù)（PDF）為：
$f(x;\mu,\delta,a,b)=\frac{\frac{1}{\delta}\phi(\frac{x-\mu}{\delta})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\delta})-\Phi(\frac{a-\mu}{\delta})}$
其中勿她， $\phi(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\epsilon^2}$ 為標準正態(tài)分布泞歉， $\Phi(x)$ 為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)（CDF）：
$\Phi(x)=\frac{1}{2}(1+erf(\frac{x}{\sqrt2}))=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{-t^2}{2}}dt$
$erf(x)$ 為高斯誤差函數(shù)是一個非初等函數(shù)雨女，定義如下：
$erf(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-x}^{x}e^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2} dt$
在這里做一個簡短的證明：

從累計分布的幾何意義來看：
對于 $x \in (a,b),\Phi(x)$ 在區(qū)間 $(a,b)$ 的累計分布為隨機變量 $X$ 落在該區(qū)間的概率锰提，其概率值為概率密度函數(shù)在該區(qū)間的定積分曙痘，也就是概率密度曲線在該區(qū)間所圍圖形的面積。因為 $\Phi(x)=\Phi(0)+\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ 而標準正態(tài)分布的對稱軸 $\mu=0$ ,故 $\Phi(0)=\frac{1}{2}$ 立肘，且 $erf(\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\mu}e^{-({\frac{\mu}{\sqrt{2}}})^2} d\frac{\mu}{\sqrt 2}=2\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ 边坤，得證。

利用累計正態(tài)分布的性質(zhì)來看：
對于正態(tài)分布的累計分布函數(shù)有 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ 成立谅年，則 $\Phi(0)=1-\Phi(0),\Phi(0)=\frac{1}{2}$ ,借鑒上一個證明的后半部分即可得證茧痒。

直接由標準正態(tài)分布的累計分布函數(shù)進行推導(dǎo)：
$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=[\int_{-\infty}^{0}+\int_{0}^{x}]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt$
對于第二個積分 $\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=\frac{1}{2}erf(x)$ 在第一種方法中已證明,接下里著重證明第一個積分 $I_{-\infty}=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=\frac{1}{2}$ ,由于被積函數(shù)是一個偶函數(shù)，直接證明 $I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=1$ 即可融蹂，對于該無窮積分旺订，考慮其收斂性,可以構(gòu)造為二重積分進行求解：
$I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-u^2}{2}}du\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-v^2}{2}}dv=\iint_{\Omega}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-(u^2+v^2)}{2}}d\delta$
做極坐標變換 $\rho(r,\theta)$ ,即得:
$I^2=\iint_{\Omega}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-(u^2+v^2)}{2}}d\delta=\iint_{\chi}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-r^2}{2}}|J_{\rho}|d\rho$
其中弄企，極坐標變換的Jacobi行列式:
$J_{\rho}=\frac{D(x,y)}{D(r,\theta)}=r$
于是：
$I^2=\iint_{\chi}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-(r^2)}{2}}|J_{\rho}|d\rho=\iint_{\chi}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-(r^2)}{2}}|r|d\rho=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-r^2}{2}}|r|drd\theta$
簡化得：
$I^2=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\pi}d\theta \int_{0}^{+\infty}re^{\frac{-r^2}{2}}dr=-e^{\frac{-r^2}{2}} |_{0}^{+\infty}=0-(-1)=1$
得證.

由累積分步函數(shù)可以很容易得到：
$\lim_{b \to +\infty}\Phi(\frac{b-u}{\delta})=1$
$\lim_{a \to -\infty}\Phi(\frac{a-u}{\delta})=0$

最后編輯于：2018.12.19 17:04:53

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