臺灣大學林軒田機器學習基石課程學習筆記6 -- Theory of Generalization

上一節(jié)課芝加,我們主要探討了當M的數(shù)值大小對機器學習的影響。如果M很大,那么就不能保證機器學習有很好的泛化能力癞谒,所以問題轉換為驗證M有限藤滥,即最好是按照多項式成長鳖粟。然后通過引入了成長函數(shù)mH(N)和dichotomy以及break point的概念,提出2D perceptrons的成長函數(shù)mH(N)是多項式級別的猜想拙绊。這就是本節(jié)課將要深入探討和證明的內容向图。

一、Restriction of Break Point

我們先回顧一下上節(jié)課的內容标沪,四種成長函數(shù)與break point的關系:

下面引入一個例子榄攀,如果k=2,那么當N取不同值的時候金句,計算其成長函數(shù)mH(N)是多少檩赢。很明顯,當N=1時违寞,mH(N)=2,贞瞒;當N=2時偶房,由break point為2可知,任意兩點都不能被shattered(shatter的意思是對N個點憔狞,能夠分解為2^N種dichotomies)蝴悉;mH(N)最大值只能是3;當N=3時瘾敢,簡單繪圖分析可得其mH(N)=4拍冠,即最多只有4種dichotomies。

所以簇抵,我們發(fā)現(xiàn)當N>k時庆杜,break point限制了mH(N)值的大小,也就是說影響成長函數(shù)mH(N)的因素主要有兩個:

1. 抽樣數(shù)據集N

2. break point k(這個變量確定了假設的類型)

那么碟摆,如果給定N和k晃财,能夠證明其mH(N)的最大值的上界是多項式的,則根據霍夫丁不等式典蜕,就能用mH(N)代替M断盛,得到機器學習是可行的。所以愉舔,證明mH(N)的上界是poly(N)钢猛,是我們的目標。

二轩缤、Bounding Function: Basic Cases

現(xiàn)在命迈,我們引入一個新的函數(shù):bounding function,B(N,k)火的。Bound Function指的是當break point為k的時候壶愤,成長函數(shù)mH(N)可能的最大值。也就是說B(N,k)是mH(N)的上界馏鹤,對應mH(N)最多有多少種dichotomy征椒。那么,我們新的目標就是證明:

這里值得一提的是湃累,B(N,k)的引入不考慮是1D postive intrervals問題還是2D perceptrons問題勃救,而只關心成長函數(shù)的上界是多少,從而簡化了問題的復雜度脱茉。

求解B(N,k)的過程十分巧妙:

當k=1時剪芥,B(N,1)恒為1垄开。

當N < k時琴许,根據break point的定義,很容易得到B(N,k)=2^N溉躲。

當N = k時榜田,此時N是第一次出現(xiàn)不能被shatter的值益兄,所以最多只能有2^N?1個dichotomies,則B(N,k)=2^N?1箭券。

到此净捅,bounding function的表格已經填了一半了,對于最常見的N>k的情況比較復雜辩块,推導過程下一小節(jié)再詳細介紹蛔六。

三、Bounding Function: Inductive Cases

N > k的情況較為復雜废亭,下面給出推導過程:

以B(4,3)為例国章,首先想著能否構建B(4,3)與B(3,x)之間的關系。

首先豆村,把B(4,3)所有情況寫下來液兽,共有11組。也就是說再加一種dichotomy掌动,任意三點都能被shattered四啰,11是極限。

對這11種dichotomy分組粗恢,目前分成兩組柑晒,分別是orange和purple,orange的特點是适滓,x1,x2和x3是一致的敦迄,x4不同并成對,例如1和5凭迹,2和8等罚屋,purple則是單一的,x1,x2,x3都不同嗅绸,如6,7,9三組脾猛。

將Orange去掉x4后去重得到4個不同的vector并成為α,相應的purple為β鱼鸠。那么B(4,3)=2α+β猛拴,這個是直接轉化。緊接著蚀狰,由定義愉昆,B(4,3)是不能允許任意三點shatter的,所以由α和β構成的所有三點組合也不能shatter(alpha經過去重)麻蹋,即α+β≤B(3,3)跛溉。

另一方面,由于α中x4是成對存在的,且α是不能被任意三點shatter的芳室,則能推導出α是不能被任意兩點shatter的专肪。這是因為,如果α是不能被任意兩點shatter堪侯,而x4又是成對存在的嚎尤,那么x1、x2伍宦、x3芽死、x4組成的α必然能被三個點shatter。這就違背了條件的設定次洼。這個地方的推導非常巧妙收奔,也解釋了為什么會這樣分組。此處得到的結論是α≤B(3,2)

由此得出B(4,3)與B(3,x)的關系為:

最后滓玖,推導出一般公式為:

根據推導公式坪哄,下表給出B(N,K)值

根據遞推公式,推導出B(N,K)滿足下列不等式:

上述不等式的右邊是最高階為k-1的N多項式势篡,也就是說成長函數(shù)mH(N)的上界B(N,K)的上界滿足多項式分布poly(N)翩肌,這就是我們想要得到的結果。

得到了mH(N)的上界B(N,K)的上界滿足多項式分布poly(N)后禁悠,我們回過頭來看看之前介紹的幾種類型它們的mH(N)與break point的關系:

我們得到的結論是念祭,對于2D perceptrons,break point為k=4碍侦,mH(N)的上界是N^(k?1)粱坤。推廣一下,也就是說瓷产,如果能找到一個模型的break point站玄,且是有限大的,那么就能推斷出其成長函數(shù)mH(N)有界濒旦。

四株旷、A Pictorial Proof

我們已經知道了成長函數(shù)的上界是poly(N)的,下一步尔邓,如果能將mH(N)代替M晾剖,代入到Hoffding不等式中,就能得到Eout≈Ein的結論:

實際上并不是簡單的替換就可以了梯嗽,正確的表達式為:

該推導的證明比較復雜齿尽,我們可以簡單概括為三個步驟來證明:

這部分內容,我也只能聽個大概內容灯节,對具體的證明過程有興趣的童鞋可以自行研究一下循头,研究的結果記得告訴一下我哦缠俺。

最終,我們通過引入成長函數(shù)mH贷岸,得到了一個新的不等式,稱為Vapnik-Chervonenkis(VC) bound:

對于2D perceptrons磷雇,它的break point是4偿警,那么成長函數(shù)mH(N)=O(N^3)。所以唯笙,我們可以說2D perceptrons是可以進行機器學習的螟蒸,只要找到hypothesis能讓Ein≈0,就能保證Ein≈Eout崩掘。

五七嫌、總結

本節(jié)課我們主要介紹了只要存在break point,那么其成長函數(shù)mH(N)就滿足poly(N)苞慢。推導過程是先引入mH(N)的上界B(N,k)诵原,B(N,k)的上界是N的k-1階多項式,從而得到mH(N)的上界就是N的k-1階多項式挽放。然后绍赛,我們通過簡單的三步證明,將mH(N)代入了Hoffding不等式中辑畦,推導出了Vapnik-Chervonenkis(VC) bound吗蚌,最終證明了只要break point存在,那么機器學習就是可行的纯出。

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文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程蚯妇。

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