學(xué)生姓名：陸文龍
班級：14級材料班
學(xué)號：2014301020044
一、摘要
本次作業(yè)以第7章（random systems）為主,探究了以下問題
1、每次隨機(jī)行走等單位長度1的粒子的隨機(jī)行走演示车要，并計(jì)算了一維情況下粒子與原點(diǎn)距離的方均根隨時(shí)間的變化情況
2、每次行走隨機(jī)單位長度（-1,1）粒子的演示和方均根情況
3朗和、自回避隨機(jī)行走（self-avoiding walks）的有趣問題
4馁痴、分別用“隨機(jī)行走”的方法和“公式演化”的方法模擬擴(kuò)散現(xiàn)象谊娇，并且拓展到二維情況
5、畫散點(diǎn)圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運(yùn)動(dòng)情況
6弥搞、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的模擬
7邮绿、順便探究了一下11章的開頭，更深入探究了吉他弦的振動(dòng)情況
二攀例、背景
隨機(jī)行走的產(chǎn)生主要靠調(diào)用Python里的random函數(shù)
擴(kuò)散問題的公式演化是一直用的模擬演化手段
三船逮、引言
隨機(jī)行走（random walk）是指基于過去的表現(xiàn)，無法預(yù)測將來的發(fā)展步驟和方向粤铭。核心概念是指任何無規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對應(yīng)著一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律 挖胃，對于我們解決熱力學(xué)問題有很好的輔助作用，梆惯，它接近于布朗運(yùn)動(dòng)酱鸭，是布朗運(yùn)動(dòng)理想的數(shù)學(xué)狀態(tài)
上圖布朗運(yùn)動(dòng)的模擬調(diào)用了threading，是參考的網(wǎng)上別人的代碼 ：布朗運(yùn)動(dòng)
四垛吗、主體
? 1凹髓、單位長度的隨機(jī)行走 ? ?代碼1:單位長度隨機(jī)行走演示
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼2：<x^2>隨時(shí)間變化
由于是隨機(jī)行走，再運(yùn)行一次怯屉，結(jié)果將完全不同
<x^2>隨時(shí)間的關(guān)系圖 ?
用計(jì)算機(jī)擬合的曲線是0.9994 x + 0.2927
2蔚舀、（-1,1）隨機(jī)距離的隨機(jī)行走 ? 代碼1：隨機(jī)距離的隨機(jī)行走
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代碼2：<x^2>（隨機(jī)距離的隨機(jī)行走）
這種情況某一次實(shí)驗(yàn)擬合出來的直線是0.3239 x + 0.3302 ? 斜率比單位距離小，約3倍關(guān)系
3锨络、自回避隨機(jī)行走（self-avoiding walks）的有趣問題
代碼：自回避行走
我們可以將自回避行走問題放在具體情境中考慮
? ?假設(shè)我們把一條狗放置在一個(gè)大城市的中心位置赌躺，大城市的街道構(gòu)成我們所熟悉的網(wǎng)格模式。假設(shè)城市包括n條南北走向的街道和n條東西走向的街道羡儿，所有的街道均勻分布交叉構(gòu)成一個(gè)網(wǎng)格礼患。這條狗試圖逃出城市，在每個(gè)交叉路口隨機(jī)選擇方向掠归，但通過狗的靈敏嗅覺不走重復(fù)的路缅叠。有時(shí)候這條狗會(huì)走入死胡同，即在某些交叉路口沒有選擇虏冻，必須重走已經(jīng)走過的交叉路口痪署，請問走入死胡同的概率是多大？（摘自網(wǎng)絡(luò)）
我將問題稍微簡化一下兄旬，假設(shè)路口選擇方向是隨機(jī)的狼犯，一旦選擇了已經(jīng)走過的地點(diǎn)，則為deadend（即“狗的靈敏嗅覺不走重復(fù)的路”這種選擇條件弱化去掉）
我選擇21*21的網(wǎng)格领铐，狗一開始處于網(wǎng)格中點(diǎn)（10,10）處悯森，運(yùn)行程序會(huì)分解步驟畫出成功脫逃的路線選擇，顯示我運(yùn)行的成功出逃的結(jié)果
4绪撵、用“隨機(jī)行走”的方法和“公式演化”的方法模擬擴(kuò)散現(xiàn)象瓢姻，并且拓展到二維情況
代碼1：一維擴(kuò)散（隨機(jī)行走法解決）
代碼2：一維擴(kuò)散（計(jì)算推演解決）
代碼3：二維擴(kuò)散演示
相比于隨機(jī)行走法，計(jì)算法還是較好音诈，得出來的圖像較為平滑
二維擴(kuò)散圖演示
5幻碱、散點(diǎn)圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運(yùn)動(dòng)情況
? ? ? ?代碼：cream in coffee
將一幅幅圖集合成GIF動(dòng)圖結(jié)果和分開圖如下
6绎狭、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的模擬
代碼1：Eden clusters
代碼2：DLA clusters
PS：為了避免不必要的版面浪費(fèi)，接下來都將幾幅圖和成了GIF動(dòng)圖褥傍，按時(shí)間順序更直觀演示（雖然隨機(jī)過程每次重復(fù)結(jié)果都不同儡嘶，合成動(dòng)圖也都是分多次運(yùn)行的程序，但還是有一定直觀性）
上面是按Eden 模型模擬的結(jié)果恍风，可以看出粒子是基本以中心為基礎(chǔ)向外展開蹦狂，逐漸擴(kuò)展邊界（圖形內(nèi)部雖然會(huì)出現(xiàn)空洞，但馬上會(huì)被填滿）
下面演示DLA clusters模型比較簡陋朋贬，僅僅演示了單一分支的情況
7凯楔、附帶進(jìn)一步延續(xù)第六章探究的吉他弦的問題
代碼：吉他弦
吉他附帶都有一個(gè)soundboard，它的作用相當(dāng)于一個(gè)放大器锦募，弦振動(dòng)引起它的振動(dòng)摆屯，它激蕩空氣，產(chǎn)生聲波
弦線的一端通過bridge糠亩，而bridge與soundboard緊緊連在一起鸥拧，弦振動(dòng)的力量直接傳到soundboard上，作用在其上的力為
根據(jù)以上所述知識削解，我們在1/5L處拉弦（pluck）即此時(shí)“plucking ratio”β=1/5? ? L=0.65m,T=149N,c=320m/s,弦線分成1000份富弦，dx=0.65mm
Fbridge與x=0處的斜率成正比，上圖顯示x=0處斜率確實(shí)在兩個(gè)值間擺動(dòng)氛驮，
頻譜分析：傅里葉分析會(huì)有一系列峰值腕柜，f1,2f1,3f1,4f1...... ，nf1即為harmonics,在n=1/β矫废，2/β......
時(shí)峰值歸零盏缤，
我的β=1/5，在n=5,10,15......時(shí)峰值歸零蓖扑，從上圖可以看出程序模擬的滿足理論唉铜。
PS：當(dāng)把弦分成100分時(shí)，弦振動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)鋸齒狀
這是我們所用公式的固有特征律杠，當(dāng)我們起始是急劇的拉一下潭流，使斜率在起始plucking point不連續(xù) ，我們用上面的公式將總是演化出鋸齒狀的圖形
五柜去、實(shí)驗(yàn)結(jié)論
1灰嫉、對于一維的單位長度隨機(jī)行走，粒子在原點(diǎn)附近擺動(dòng)嗓奢，<x^2>隨時(shí)間線性增加讼撒。（<x^2>=0.9994 x + 0.2927）隨機(jī)距離（-1~1）時(shí)，結(jié)論不變，<x^2>隨時(shí)間線性增加速度降低(<x^2>=0.3239 x + 0.3302)根盒。
2钳幅、自回避運(yùn)動(dòng)很有趣，在高分子材料研究和游戲開發(fā)方面很有用炎滞。
3敢艰、“隨機(jī)行走”的方法和“公式演化”的方法都可以模擬擴(kuò)散現(xiàn)象，但公式法顯然精準(zhǔn)一些厂榛，但隨著樣本數(shù)量上升盖矫，隨機(jī)模擬的方法也會(huì)越來越準(zhǔn)確丽惭，并且击奶，后者思想簡單，在較高運(yùn)算條件下能解決的問題更多
4责掏、散點(diǎn)圖模擬“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子運(yùn)動(dòng)情況柜砾，十分直觀顯示了粒子群體的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)
5、Eden cluster 和 DLA cluster兩種模型的擴(kuò)散方法不同换衬，直觀見上面的圖
6痰驱、吉他弦加在琴橋上的力Fbridge的傅里葉分析會(huì)有一系列峰值，f1,2f1,3f1,4f1...... 瞳浦，nf1即為harmonics,在n=1/β担映，2/β......時(shí)峰值歸零
六、致謝
1叫潦、計(jì)算物理
2蝇完、百度百科
