相似度的本質(zhì)
推薦系統(tǒng)中淋袖，推薦算法分為兩個(gè)門派，一個(gè)是機(jī)器學(xué)習(xí)派锯梁，另一個(gè)就是相似度門派即碗。機(jī)器學(xué)習(xí)派是后起之秀，而相似度派則是泰山北斗陌凳，以致?lián)纹饋硗扑]系統(tǒng)的半壁江山剥懒。
近鄰?fù)扑]顧名思義就是在地理位置上住得近。如果用戶有個(gè)鄰居合敦，那么社交軟件上把鄰居推薦給他在直觀上就很合理初橘，當(dāng)然，如果鄰居姓王的話充岛，就不要推薦了保檐。
這里說的近鄰，并不一定只是在三維空間下的地理位置的近鄰崔梗，在任意高維空間都可以找到近鄰夜只，尤其是當(dāng)用戶和物品的特征維度都很高時(shí)，要找到用戶隔壁的鄰居蒜魄，就不是那么直觀盐肃，需要選擇好用適合的相似度度量辦法。
近鄰?fù)扑]的核心就是相似度計(jì)算方法的選擇权悟，由于近鄰?fù)扑]并沒有采用最優(yōu)化思路砸王，所以效果通常取決于矩陣的量化方式和相似度的選擇。
相似度峦阁，與之配套的還有另一個(gè)概念就是距離谦铃，兩者都是用來量化兩個(gè)物體在高維空間中的親疏程度的，它們是硬幣的兩面榔昔。
推薦算法中的相似度門派驹闰，實(shí)際上有這么一個(gè)潛在假設(shè)：如果兩個(gè)物體很相似瘪菌，也就是距離很近，那么這兩個(gè)物體就很容易產(chǎn)生一樣的動(dòng)作嘹朗。
如果兩篇新聞很相似师妙，那么他們很容易被同一個(gè)人先后點(diǎn)擊閱讀，如果兩個(gè)用戶很相似屹培，那么他們就很容易點(diǎn)擊同一個(gè)新聞默穴。這種符合直覺的假設(shè)，大部分時(shí)候很奏效褪秀。
其實(shí)屬于另一門派的推薦算法——機(jī)器學(xué)習(xí)中蓄诽，也有很多算法在某種角度看做是相似度度量。
例如媒吗，邏輯回歸或者線性回歸中仑氛，一邊是特征向量，另一邊是模型參數(shù)向量闸英，兩者的點(diǎn)積運(yùn)算锯岖，就可以看做是相似度計(jì)算，只不過其中的模型參數(shù)向量值并不是人肉指定的甫何，而是從數(shù)據(jù)中由優(yōu)化算法自動(dòng)總結(jié)出來的出吹。
在近鄰?fù)扑]中，最常用的相似度是余弦相似度沛豌。然而可以選用的相似度并不只是余弦相似度，還有歐氏距離赃额、皮爾遜相關(guān)度加派、自適應(yīng)的余弦相似度、局部敏感哈希等跳芳。使用場景各不相同芍锦，今天，我會(huì)分別一一介紹如下飞盆。
相似度的計(jì)算方法
數(shù)據(jù)分類
在真正開始巡視相似度計(jì)算方法前娄琉，我先給你把度量對(duì)象做個(gè)簡單分類。相似度計(jì)算對(duì)象是向量吓歇，或者叫做高維空間下的坐標(biāo)孽水，一個(gè)意思。那表示這個(gè)向量的數(shù)值就有兩種：
- 實(shí)數(shù)值城看；
- 布爾值女气，也就是 0 或者 1。
下面介紹的不同計(jì)算方法適用于不同的數(shù)據(jù)種類测柠。
1 歐氏距離
歐氏距離炼鞠，如名字所料缘滥，是一個(gè)歐式空間下度量距離的方法。兩個(gè)物體谒主，都在同一個(gè)空間下表示為兩個(gè)點(diǎn)朝扼，假如叫做 p 和 q，分別都是 n 個(gè)坐標(biāo)霎肯。那么歐式距離就是衡量這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離擎颖，從 p 到 q 移動(dòng)要經(jīng)過的距離。歐式距離不適合布爾向量之間姿现。
計(jì)算方式可以表示如下肠仪，我在文稿中放了一個(gè)公式，你可以點(diǎn)擊查看备典。
這個(gè)公式就是异旧，每一個(gè)坐標(biāo)上的取值相減，求平方和提佣，最后輸出方根吮蛹。
顯然，歐式距離得到的值是一個(gè)非負(fù)數(shù)拌屏，最大值是正無窮潮针。通常相似度計(jì)算度量結(jié)果希望是[-1，1]或者[0倚喂，1]之間每篷，所以歐式距離要么無法直接使用到這個(gè)場景中，要么需要經(jīng)過二次轉(zhuǎn)化得到端圈，我在文稿中放了一個(gè)最常用的轉(zhuǎn)化公式焦读，你可以點(diǎn)擊查看。
距離加一后取倒數(shù)舱权。這個(gè)公式能夠把范圍為 0 到正無窮的歐式距離轉(zhuǎn)換為 0 到 1 的相似度矗晃。
歐式距離度量的是空間中兩個(gè)點(diǎn)的絕對(duì)差異，適用于分析用戶能力模型之間的差異宴倍，比如消費(fèi)能力张症、貢獻(xiàn)內(nèi)容的能力等。
當(dāng)然鸵贬，雖然歐式距離計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的距離俗他，實(shí)際上，點(diǎn)的坐標(biāo)表示和我們常說的向量表示是同一回事阔逼，希望這句話是廢話拯辙，你早已懂得。
2 余弦相似度
大名鼎鼎的余弦相似度，度量的是兩個(gè)向量之間的夾角涯保，其實(shí)就是用夾角的余弦值來度量诉濒，所以名字叫余弦相似度。當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為 0 度時(shí)夕春，余弦值為 1未荒，當(dāng)夾角為 90 度時(shí)，余弦值為 0及志，為 180 度時(shí)片排，余弦值則為 -1。
余弦相似度在度量文本相似度速侈、用戶相似度率寡、物品相似度的時(shí)候都較為常用；但是在這里需要提醒你一點(diǎn)倚搬，余弦相似度的特點(diǎn)：它與向量的長度無關(guān)冶共。因?yàn)橛嘞蚁嗨贫扔?jì)算需要對(duì)向量長度做歸一化：
經(jīng)過向量長度歸一化后的相似度量方式，背后潛藏著這樣一種思想：兩個(gè)向量每界，只要方向一致捅僵，無論程度強(qiáng)弱，都可以視為“相似”眨层。
這簡直就是：招聘人才時(shí)只看價(jià)值觀庙楚，不考核代碼能力，只要肯干趴樱，搬磚嘛馒闷，誰搬不是搬。這樣做錯(cuò)不錯(cuò)呢叁征？很顯然纳账，有非常大的合理性。
比如航揉，我用 140 字的微博摘要了一篇 5000 字的博客內(nèi)容塞祈，兩者得到的文本向量可以認(rèn)為方向一致金刁，詞頻等程度不同帅涂，但是余弦相似度仍然認(rèn)為他們是相似的。
在協(xié)同過濾中尤蛮，如果選擇余弦相似度媳友，某種程度上更加依賴兩個(gè)物品的共同評(píng)價(jià)用戶數(shù)，而不是用戶給予的評(píng)分多少产捞。這就是由于余弦相似度被向量長度歸一化后的結(jié)果醇锚。
余弦相似度對(duì)絕對(duì)值大小不敏感這件事，在某些應(yīng)用上仍然有些問題。
舉個(gè)小例子焊唬，用戶 A 對(duì)兩部電影評(píng)分分別是 1 分和 2 分恋昼，用戶 B 對(duì)同樣這兩部電影評(píng)分是 4 分和 5 分。用余弦相似度計(jì)算出來赶促，兩個(gè)用戶的相似度達(dá)到 0.98液肌。這和實(shí)際直覺不符，用戶 A 明顯不喜歡這兩部電影鸥滨。
針對(duì)這個(gè)問題嗦哆，對(duì)余弦相似度有個(gè)改進(jìn)，改進(jìn)的算法叫做調(diào)整的余弦相似度（Adjusted Cosine Similarity）婿滓。調(diào)整的方法很簡單老速，就是先計(jì)算向量每個(gè)維度上的均值，然后每個(gè)向量在各個(gè)維度上都減去均值后凸主，再計(jì)算余弦相似度橘券。
前面這個(gè)小例子，用調(diào)整的余弦相似度計(jì)算得到的相似度是 -0.1秕铛，呈現(xiàn)出兩個(gè)用戶口味相反约郁，和直覺相符。
3 皮爾遜相關(guān)度
皮爾遜相關(guān)度但两，實(shí)際上也是一種余弦相似度鬓梅，不過先對(duì)向量做了中心化，向量 p 和 q 各自減去向量的均值后谨湘，再計(jì)算余弦相似度绽快。
皮爾遜相關(guān)度計(jì)算結(jié)果范圍在 -1 到 1。-1 表示負(fù)相關(guān)紧阔，1 比表示正相關(guān)坊罢。皮爾遜相關(guān)度其實(shí)度量的是兩個(gè)隨機(jī)變量是不是在同增同減。
如果同時(shí)對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量采樣擅耽，當(dāng)其中一個(gè)得到較大的值另一也較大活孩，其中一個(gè)較小時(shí)另一個(gè)也較小時(shí)，這就是正相關(guān)乖仇，計(jì)算出來的相關(guān)度就接近 1憾儒，這種情況屬于沆瀣一氣，反之就接近 -1乃沙。
由于皮爾遜相關(guān)度度量的時(shí)兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)是否一致起趾，所以不適合用作計(jì)算布爾值向量之間相關(guān)度，因?yàn)閮蓚€(gè)布爾向量也就是對(duì)應(yīng)兩個(gè) 0-1 分布的隨機(jī)變量警儒，這樣的隨機(jī)變量變化只有有限的兩個(gè)取值训裆，根本沒有“變化趨勢(shì)，高低起伏”這一說。
4 杰卡德（Jaccard）相似度
杰卡德相似度边琉，是兩個(gè)集合的交集元素個(gè)數(shù)在并集中所占的比例属百。由于集合非常適用于布爾向量表示，所以杰卡德相似度簡直就是為布爾值向量私人定做的变姨。對(duì)應(yīng)的計(jì)算方式是：
- 分子是兩個(gè)布爾向量做點(diǎn)積計(jì)算诸老，得到的就是交集元素個(gè)數(shù)；
- 分母是兩個(gè)布爾向量做或運(yùn)算钳恕，再求元素和别伏。
余弦相似度適用于評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，杰卡德相似度適合用于隱式反饋數(shù)據(jù)忧额。例如厘肮，使用用戶的收藏行為，計(jì)算用戶之間的相似度睦番，杰卡德相似度就適合來承擔(dān)這個(gè)任務(wù)类茂。
總結(jié)
今天，我介紹了常用的幾種相似度計(jì)算方法托嚣，以及其各自的使用場景巩检。
這里的場景是按照數(shù)據(jù)形式劃分的，按照向量維度取值是否是布爾值來看示启，杰卡德相似度就只適合布爾值向量兢哭，余弦相似度彈性略大，適合兩種向量夫嗓。歐式距離度量的是絕對(duì)差異迟螺，余弦相似度度量的是方向差異，但是調(diào)整的余弦相似度則可以避免這個(gè)弱點(diǎn)舍咖。
現(xiàn)在留給你一個(gè)問題：如果在一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)中矩父，要計(jì)算好友的相似度，你會(huì)選擇哪種相似度來做排霉？
