一寻定、摘要
1狼速、研究了簡單的太陽向胡、木星（Jupiter）和地球的三體運(yùn)動問題，由于相對而言处硬，木星質(zhì)量在八大行星里是最大的荷辕，所以它經(jīng)過地球時件豌，可能對地球運(yùn)動造成一定影響茧彤，于是我用書上的步驟模擬繪制出來他們的運(yùn)動軌跡棘街，并假設(shè)計算方法不變，木星質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?0倍石挂、1000倍時痹愚，看運(yùn)動軌跡變化
2、模擬了木星對處于它的共振帶的小行星運(yùn)動影響（我畫的是處于2/1 Kirkwood gap的小行星）
3窖式、探究了Hyperion的運(yùn)動狀態(tài)萝喘。Hyperion 是土星（Saturn）的一顆衛(wèi)星琼懊，它是一顆形狀奇怪的衛(wèi)星（啞鈴狀）哼丈，我繪制了它的自轉(zhuǎn)角度Θ和角速度ω隨時間的變曲線醉旦，探究了它的初始化改變帶來的混沌狀態(tài)，探究了書上習(xí)題problem 4.19檬输、4.20
二褪猛、背景介紹
1900年羹饰，數(shù)學(xué)家希爾伯特在他著名的演講中提出了23個困難的數(shù)學(xué)問題以及兩個典型例子队秩，第一個是費(fèi)爾馬猜想馍资，第二個就是所要介紹的N體問題的特例——三體問題关噪。對于20世紀(jì)數(shù)學(xué)的整體發(fā)展使兔，這兩個例子所起的作用要比23個問題中的任何一個都更加巨大虐沥。最終泽艘，費(fèi)爾馬猜想在1994年被美國的懷爾斯解決匹涮，而三體問題卻仍然是數(shù)學(xué)大廈上的一朵烏云然低，揮之不去宏粤。
一般的三體問題绍哎，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下崇堰，其運(yùn)動方程都可以表示成6個一階的常微分方程。因此繁莹，一般三體問題的運(yùn)動方程為十八階方程咨演，必須得到18個積分才能得到完全解薄风。然而拍嵌，現(xiàn)階段還只能得到三體問題的10個初積分横辆，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以解決三體問題狈蚤。
我們常說的“三體問題無解”脆侮，準(zhǔn)確地來說，是無解析解蹋绽，意思是三體問題沒有規(guī)律性答案卸耘，不能用解析式表達(dá)出來蚣抗，只能算數(shù)值解，沒有辦法得出精確值钝域。然而對于三體問題的數(shù)值解例证，時間會無限放大初始的微小誤差织咧，因此數(shù)值法幾乎沒有辦法預(yù)測當(dāng)時間趨于無窮時笙蒙，三體軌道的最終命運(yùn)庆锦。而這種對于軌道的長時間行為的不確定性搂抒，就被稱為“混沌”現(xiàn)象燕耿。三體問題理論上是不可解的姜胖，只能發(fā)現(xiàn)一些特解右莱，
人類耗費(fèi)多少實際解決這個問題慢蜓，終究是證明自己在上帝面前是多么的渺小與愚蠢
晨抡。氛悬。。棍现。己肮。谎僻。
但誰叫我們是人類呢！
這里討論及其簡單粗暴的對于太陽康嘉、木星（Jupiter）和地球的三體運(yùn)動問題侥猩，木星受到的沿x軸方向的力和沿x軸方向的加速度代數(shù)表達(dá)如下
沿y軸方向的力和加速度同樣形式
地球所受的力和加速度一樣可以這樣求出來，再運(yùn)用我們已經(jīng)運(yùn)用多次的Euler-Cromer方法鞍盗，我們可以一步一步模擬出運(yùn)動軌跡，具體參數(shù)為
Kirkwood Gaps 產(chǎn)生的原因是該軌道上運(yùn)動的行星會與周期木星“共振”跳昼，由于木星質(zhì)量較大般甲，對其他行星運(yùn)動產(chǎn)生影響較大，特別是共振態(tài)上的鹅颊，運(yùn)行一段時間后會飛出去。
我取的小行星處于2/1 gap處堪伍，參數(shù)為a=3.276 AU,v=3.471 AU/yr
Hyperion繞著土星（Saturn）運(yùn)動锚烦，我們模擬時可看做用一根無質(zhì)量硬桿連接的啞鈴狀物體，作用在質(zhì)點m1上的力可以寫成
以質(zhì)心為原點帝雇，作用在m1上的力矩和由此推出的近似角速度為
據(jù)此一步步運(yùn)算涮俄，作圖
三、主體
1尸闸、太陽彻亲、木星（Jupiter）和地球的三體運(yùn)動問題
代碼：三體軌跡
當(dāng)我們把Jupiter的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?0倍甚至1000倍時，變化產(chǎn)生了
質(zhì)量變?yōu)?0倍時吮廉，地球運(yùn)動軌跡變化還無法察覺
變?yōu)?000倍時苞尝，雖然Jupiter相對太陽的質(zhì)量不可以忽略，太陽運(yùn)動也會顯著變化宦芦，理論上我們的算法將要改變宙址，但若不變算法，我們依然可以定性的探究一下调卑，可以見到地球運(yùn)動變得混沌抡砂，然后突然一下飛了出去大咱，可怕！
不會用vpython注益，所以可恥地借用別人的3Dvpython圖徽级，可以更直觀的展現(xiàn)這種變化
2、Resonance ? ?木星對處于它的共振帶的小行星運(yùn)動影響
可見影響還是有的聊浅，軌跡不再重合餐抢，據(jù)書上所說，小行星將處于共振態(tài)很長一段時間低匙，然后突然劇變旷痕， 最終偏離原軌道。
3顽冶、Hyperion的混沌狀態(tài)
當(dāng)軌道為圓形即初始的vy=2π HU/Hyperion-year時
軌跡為圓時運(yùn)動是相當(dāng)規(guī)律的
若改變初始vy=5HU/Hyperion-year,軌跡變成橢圓
混沌運(yùn)動產(chǎn)生，我們進(jìn)一步探究强重，改變初始條件绞呈，使兩個運(yùn)動的初始角度Θ差0.01，即dΘ=0.01
并作出dΘ隨時間的變化圖
我取的初始值統(tǒng)一x=1,y=0,vx=0,所以取不同初始vy,可以使橢圓離心率發(fā)生變化（其中vy=2π時是圓）间景，為探究不同離心率e對Lyapunov ?exponent的影響佃声，我取了vy=4、5倘要、2π圾亏、7
當(dāng)我把對角度的限制去掉以后，即角度不再是限制于-π~+π時封拧，志鹃，同樣條件得出的圖是（PS：縱坐標(biāo)不再取log值）
四泽西、結(jié)論
1曹铃、三體運(yùn)動是復(fù)雜無解的，但只考慮非常簡化的太陽捧杉、木星（Jupiter）和地球的三體運(yùn)動時陕见，可以看出木星對地球的影響十分小，但如果把木星的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?000倍糠溜，那影響將十分巨大淳玩，地球也將不再是現(xiàn)在這個樣子
2直撤、木星對處于它的共振帶的小行星運(yùn)動有較大影響非竿，小行星將處于共振態(tài)很長一段時間，然后突然短時間內(nèi)劇變谋竖， 最終偏離原軌道红柱。
3承匣、Hyperion繞著土星公轉(zhuǎn)，但它的自轉(zhuǎn)角速度是混沌的锤悄，若軌道是圓形軌道韧骗，Θ、ω都是周期的零聚，軌道變?yōu)闄E圓袍暴，混沌現(xiàn)象出現(xiàn)。去掉角度的限制后隶症，圖中還有一些谷政模，是因為當(dāng)角度大的一方的角速度從正變?yōu)樨?fù)的時候，角度差會減小所致蚂会。
五淋样、致謝
1、計算物理課本
2胁住、百度百科
3趁猴、郭瀟同學(xué)的v-python圖
