問題的描述

RSEM 是典型的基于轉(zhuǎn)錄本定量的方法页藻，它的比對(duì)需要下載參考轉(zhuǎn)錄本的fa序列，與基因組比對(duì)不同沸毁，轉(zhuǎn)錄本比對(duì)往往是一個(gè)基因?qū)?yīng)多個(gè)轉(zhuǎn)錄本序列殿漠，因此相同基因的不同轉(zhuǎn)錄本之間有很大的overlap

如上圖所示，當(dāng)reads比對(duì)到這些isoform的overlap區(qū)卤妒，如何確定每個(gè)isoform上的reads數(shù)呢甥绿？換句話來(lái)說有的reads可以mapping到isoform 1上，而有一些可以mapping到isoform 2上则披，所以需要解決的問題是確定isoform 1和isoform 2上reads的相對(duì)比例

類比雙硬幣模型來(lái)理解RSEM

假設(shè)在已知reads可以mapping到isoform的條件下共缕， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 ；而在已知reads可以mapping到isoform的條件下士复， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（針對(duì)于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap區(qū)）

假設(shè)我們一共有5組觀測(cè)值图谷，每組10個(gè)值，并且我們所觀測(cè)到的值只是是否mapping到isoform上，而并不清楚是mapping到 isoform 1 還是 isoform 2 上便贵，并且mapping到 isoform 上了的用 Y 表示隅茎，沒有mapping上的用 N 表示：

step 1

隨機(jī)設(shè)定初始值嫉沽，θ1=0.6辟犀，θ2=0.5，假設(shè)在已知reads可以mapping到isoform的條件下绸硕， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 堂竟；而在已知reads可以mapping到isoform的條件下， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（針對(duì)于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap區(qū)）

step 2

對(duì)于第一組數(shù)據(jù)玻佩，設(shè)某reads分配給 isoform 1 的概率為0.45出嘹，記為p1：

其中，指數(shù) θ₁⁵ 5次方代表有5條reads mapping到 isoform 1 上咬崔；那么某reads分配給 isoform 1 的概率為0.45（分配但不一定mapping）税稼； (1-θ₁)⁵ 代表有5條reads 沒有 mapping 到 isoform 1 上 。同理可理解 θ₂

那么垮斯，該reads分配（分配但不一定mapping）給 isoform 2 的概率為0.55郎仆，記為p2
這里的"分配"作為隱含變量，在實(shí)際的意義中可以表示start position 等一些潛在變量兜蠕，分配可以這樣理解扰肌，reads會(huì)分配給isoform 1（或isoform 2），分配完成后會(huì)有兩種可能性熊杨，一種是mapping到該isoform上曙旭，另一種是沒有mapping到該isoform上

其中，指數(shù) θ₁⁹ 9次方代表有5條reads mapping到 isoform 1 上晶府；那么某reads分配給 isoform 1 的概率為0.8（分配但不一定mapping）桂躏； (1-θ₁)¹ 代表有1條reads 沒有 mapping 到 isoform 1 上 。同理可理解 θ₂

同理川陆，依次計(jì)算第3到第5組：

step 3

由step 2計(jì)算的第一組剂习，reads分配給isoform 1（isoform 2）的概率為p1=0.45（p2=0.55）

那么對(duì)于第一組的 isoform 1 ：
mapping：5 × 0.45 = 2.25（mapping 到 isoform 的有5條reads，其中有2.25條分配給 isoform 1）书劝； unmapping： 5 × 0.45 = 2.25（沒有mapping 到 isoform 的也有5條reads进倍，其中有2.25條分配給 isoform 1）

對(duì)于第一組的 isoform 2 ：
mapping：5 × 0.55 = 2.75（mapping 到 isoform 的有5條reads，其中有2.75條分配給 isoform 2）购对； unmapping： 5 × 0.55 = 2.75（沒有mapping 到 isoform 的也有5條reads猾昆，其中有2.75條分配給 isoform 2）

同理對(duì)于第二組：
那么對(duì)于第二組的 isoform 1 ：
mapping：9 × 0.8 = 7.2（mapping 到 isoform 的有9條reads，其中有7.2條分配給 isoform 1）骡苞； unmapping： 1 × 0.8 = 0.8（沒有mapping 到 isoform 的也有1條reads垂蜗，其中有0.8條分配給 isoform 1）

那么對(duì)于第二組的 isoform 2 ：
mapping：9 × 0.2 = 1.8（mapping 到 isoform 的有9條reads楷扬，其中有1.8條分配給 isoform 2）； unmapping： 1 × 0.2 = 0.2（沒有mapping 到 isoform 的也有1條reads贴见，其中有0.2條分配給 isoform 2）

并且依次計(jì)算第3-5組的：

e.g：
以第三組為例：
對(duì)于第三組的 isoform 1 ：
mapping：8 × 0.73 = 5.86（mapping 到 isoform 的有8條reads烘苹，其中有5.86條分配給 isoform 1）； unmapping： 2 × 0.73 = 1.47（沒有mapping 到 isoform 的有2條reads片部，其中有1.47條分配給 isoform 1）
對(duì)于第二組的 isoform 2 ：
mapping：8 × 0.27 = 2.13（mapping 到 isoform 的有8條reads镣衡，其中有2.13條分配給 isoform 2）； unmapping： 2 × 0.27 = 0.53（沒有mapping 到 isoform 的有2條reads档悠，其中有0.53條分配給 isoform 2）

step 4

重新定義θ1 和 θ2
θ1 = 21.30 / (21.30 + 8.57) =0.713廊鸥；θ2 = 11.70 / (11.70+8.43) =0.581

將重新定義的θ1 和 θ2返回step 1—step 4，直至算法收斂辖所，即θ1 和 θ2收斂惰说，那么θ1 和 θ2就分別代表 isoform 1 和 isoform 2 的表達(dá)量

假設(shè)在已知reads可以mapping到isoform的條件下， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 缘回；而在已知reads可以mapping到isoform的條件下吆视， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（針對(duì)于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap區(qū)）。換句話說酥宴，當(dāng)有1條 reads mapping 到對(duì)應(yīng)位置啦吧，那么有 θ1 條來(lái)自于 isoform 1，有 θ2 條來(lái)自于 isoform 2