1.三類關(guān)系趨勢

如下嘴高，在測量5個(gè)肝細(xì)胞gene x 轉(zhuǎn)錄本表達(dá)情況的基礎(chǔ)上，同時(shí)也測量這5個(gè)肝細(xì)胞gene y轉(zhuǎn)錄本表達(dá)量和屎。對來自同一細(xì)胞（sample）的兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行配對，利用其在X軸(green)和Y軸(red)上的數(shù)據(jù)在二維平面組成一個(gè)新的點(diǎn)（藍(lán)色的點(diǎn)）并用直線對其進(jìn)行擬合春瞬。
1）如果斜率為正柴信，gene x與gene y在細(xì)胞中表達(dá)成正相關(guān)。gene x表達(dá)水平隨gene Y表達(dá)水平的增加而增加宽气。利用擬合的直線随常，可以根據(jù)gene x的表達(dá)量預(yù)測gene y表達(dá)水平，也可以基于gene y的表達(dá)量預(yù)測gene x的表達(dá)水平萄涯。

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2）如果斜率為負(fù)绪氛，Gene x與gene y的表達(dá)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)趨勢。較低的gene x表達(dá)水平對應(yīng)較高的gene y表達(dá)水平涝影，較高的gene x水平對應(yīng)較低的gene y表達(dá)水平枣察。

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2. 引入?yún)f(xié)方差來描述三類關(guān)系趨勢

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注意Ｄ嫒稹！祈远！協(xié)方差本身并不容易被闡釋呆万，它不能告訴我們相關(guān)性直線的斜率（陡峭或平坦），也不能告訴我們樣本是否靠近相關(guān)性直線车份，它僅僅告訴我們兩變量之間的相關(guān)性直線的斜率是正還是負(fù)谋减。

3.協(xié)方差缺點(diǎn)：對數(shù)據(jù)的scale敏感

「協(xié)方差對數(shù)據(jù)的scale敏感，使其不能揭示數(shù)據(jù)間的相關(guān)性程度扫沼〕龅」

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4.小結(jié)：

協(xié)方差值并不能告訴我們關(guān)系強(qiáng)弱汰具，只能告訴我們是正/負(fù)相關(guān)卓鹿。

協(xié)方差值的具體大小沒有意義

協(xié)方差值對數(shù)據(jù)的波動(dòng)（方差）較為敏感

5.協(xié)方差的替代指標(biāo)：pearson相關(guān)系數(shù)

當(dāng)數(shù)據(jù)波動(dòng)變大后，數(shù)據(jù)的協(xié)方差也會(huì)變大留荔，但是我們想用一個(gè)不會(huì)受數(shù)據(jù)波動(dòng)影響的系數(shù)來反映數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性减牺。那么最簡單的辦法就是把這個(gè)波動(dòng)給去除掉就好，我們可以通過除以數(shù)據(jù)的SD（波動(dòng)程度值）來去除存谎，這樣就得到了我們的pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：

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為什么要除以SD:假設(shè)有一組數(shù)據(jù)
X1:1,2,3,4,5
Y1:1,2,3,4,5
根據(jù)協(xié)方差公式，可以計(jì)算出兩個(gè)變量的協(xié)方差為2肥隆，SD分別為√2既荚，√2
根據(jù)pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：相關(guān)系數(shù)為1
現(xiàn)在將X1,Y1同時(shí)擴(kuò)大2倍
X1:2，4栋艳，6恰聘，8，10
Y1:2吸占，4晴叨，6，8矾屯，10
根據(jù)協(xié)方差公式兼蕊，可以計(jì)算出兩個(gè)變量的協(xié)方差為8，SD分別為2√2件蚕，2√2
根據(jù)pearson相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：相關(guān)系數(shù)為1
可以看出孙技，當(dāng)數(shù)據(jù)擴(kuò)大2倍的是時(shí)候，協(xié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差都發(fā)生了變化排作，但相關(guān)系數(shù)并沒有發(fā)生改變牵啦。

6.相關(guān)系數(shù)的特性

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「（左圖）強(qiáng)相關(guān)」：如果基于gene x的表達(dá)量能夠無偏差地預(yù)測gene y的表達(dá)量盹愚，說明二者之間有很強(qiáng)的聯(lián)系栅迄；

「（右圖）弱相關(guān)」：如果基于gene x的表達(dá)量不能較準(zhǔn)確地預(yù)測gene y的表達(dá)量，說明二者之間僅有較弱的聯(lián)系皆怕。
以上涉及的是直線相關(guān)毅舆，相關(guān)系數(shù)的取值為【-1,1】:
散點(diǎn)完全在同一條直線上，預(yù)測的準(zhǔn)確性最高愈腾，相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號(hào)表示相關(guān)性的正負(fù)憋活。若x與y是同向變化，相關(guān)系數(shù)等于1虱黄，為完全正相關(guān)悦即；若x與y是反向變化，相關(guān)系數(shù)等于-1橱乱，為完全負(fù)相關(guān)辜梳。
散點(diǎn)不完全在同一直線上，沿直線分布越集中泳叠，相關(guān)系數(shù)越接近1作瞄，預(yù)測準(zhǔn)確性逐漸增加。相反危纫，沿直線分布越分散宗挥，相關(guān)系數(shù)越接近0，預(yù)測的準(zhǔn)確性逐漸減弱种蝶。

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小結(jié)

1.r 的取值范圍在 [0,1]
|r|>=0.8：高度相關(guān)

0.5<=|r|<0.8：中度相關(guān)

0.3<=|r|<0.5：低度相關(guān)

|r|<0.3：不相關(guān)
2.r 具有對稱性会傲，x與y的相關(guān)性系數(shù)和y與x的相關(guān)性系數(shù)相等
3.r 的數(shù)值與x和y的原點(diǎn)及尺度無關(guān)
4.r 僅僅表示線性關(guān)系的度量锅棕，不能用于非線性關(guān)系。例如淌山，當(dāng)r=0時(shí)只能表示兩個(gè)變量之間沒有線性相關(guān)關(guān)系裸燎，但是它們之間可能存著非線性相關(guān)關(guān)系

注意點(diǎn)：

皮爾森相關(guān)性系數(shù)對數(shù)據(jù)是有比較高的要求的：
第一， 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通常假設(shè)是成對的來自于正態(tài)分布的總體泼疑。為啥通常會(huì)假設(shè)為正態(tài)分布呢德绿？因?yàn)槲覀冊谇笃柹嚓P(guān)性系數(shù)以后，通常還會(huì)用t檢驗(yàn)之類的方法來進(jìn)行皮爾森相關(guān)性系數(shù)檢驗(yàn)，而 t檢驗(yàn)是基于數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布的假設(shè)的移稳。

第二蕴纳， 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差距不能太大，或者說皮爾森相關(guān)性系數(shù)受異常值的影響比較大个粱。比如剛才心跳與跑步的例子古毛，萬一這個(gè)人的心臟不太好，跑到一定速度后承受不了都许，突發(fā)心臟病稻薇，那這時(shí)候我們會(huì)測到一個(gè)偏離正常值的心跳（過快或者過慢，甚至為0）胶征，如果我們把這個(gè)值也放進(jìn)去進(jìn)行相關(guān)性分析塞椎，它的存在會(huì)大大干擾計(jì)算的結(jié)果的。
第三睛低，兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系案狠，都是連續(xù)數(shù)據(jù)。

7.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系

「相同點(diǎn)」：二者符號(hào)的正負(fù)代表兩變量變化趨勢是同向還是反向钱雷；
「差異點(diǎn)」：相關(guān)系數(shù)的取值與數(shù)據(jù)的scale無關(guān)骂铁，不論數(shù)據(jù)的多少，只要數(shù)據(jù)完全在同一條直線上（陡峭或者平緩）罩抗，相關(guān)系數(shù)就為1或者-1从铲；而協(xié)方差取值對數(shù)據(jù)的scale敏感。這個(gè)原因使得協(xié)方差本身的意義難以闡釋澄暮。皮爾森相關(guān)性系數(shù)是協(xié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的比值。

使用R語言對相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)阱扬，每一列代表一個(gè)樣本泣懊，每一行代表一個(gè)基因在不同樣本中的表達(dá)量

> head(a,3)#查看數(shù)據(jù)
                X1_untreated X2_untreated X3_untreated X4_untreated    X1_Dex
ENSG00000223972    -2.089725    -2.090478    -2.090475    -2.089265 -2.079351
ENSG00000227232     6.760110     6.892673     6.346646     6.739761  6.450597
ENSG00000243485     0.000000     0.000000     0.000000     0.000000  0.000000
                   X2_Dex    X3_Dex    X4_Dex
ENSG00000223972 -2.087724 -2.091304 -2.089408
ENSG00000227232  6.749787  6.623112  6.524621
ENSG00000243485  0.000000  0.000000  0.000000
> cor_a = cor(a)使用cor函數(shù)計(jì)算相關(guān)性
> cor_a查看相關(guān)系數(shù)

8.Pearson（皮爾遜）相關(guān)系數(shù)與Spearman Rank（斯皮爾曼等級(jí)）相關(guān)系數(shù)區(qū)別

斯皮爾曼相關(guān)性系數(shù)，通常也叫斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)麻惶，這是一種無參數(shù)（與分布無關(guān)）檢驗(yàn)方法馍刮，要求數(shù)據(jù)具有同升或同降變化趨勢，但明顯不具有線性相關(guān)關(guān)系窃蹋。

“秩”卡啰，可以理解成就是一種順序或者排序，那么它就是根據(jù)原始數(shù)據(jù)的排序位置進(jìn)行求解警没，這種表征形式就沒有了求皮爾森相關(guān)性系數(shù)時(shí)那些限制匈辱。

也就是說，我們不用管X和Y這兩個(gè)變量具體的值到底差了多少杀迹，只需要算一下它們每個(gè)值所處的排列位置的差值亡脸，就可以求出相關(guān)性系數(shù)了。

另外，即使出現(xiàn)異常值浅碾，由于異常值的秩次通常不會(huì)有明顯的變化（比如過大或者過小大州，那要么排第一，要么排最后）垂谢，所以對斯皮爾曼相關(guān)性系數(shù)的影響也非常邢没！

用“秩”的概念滥朱，一方面可以解決異常值的問題根暑，但是有好就有壞，這在另外一方面焚虱，也說明购裙，這種方法的檢驗(yàn)效力沒有pearson相關(guān)系數(shù)強(qiáng)，因?yàn)樗雎粤讼嚓P(guān)性的具體大小鹃栽，而只保留了大小關(guān)系躏率。