數(shù)列與級(jí)數(shù)

等差級(jí)數(shù)（arithmetic series）

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和稱(chēng)為一個(gè)等差級(jí)數(shù)兼贸，也稱(chēng)算術(shù)級(jí)數(shù)忍宋。例：1,3,5,7,9為一個(gè)等差數(shù)列咧党，而1+3+5+7+9則為一個(gè)等差級(jí)數(shù)。

$\sum_{n=1}^{m} n= \frac{m\times (m+1)}{2}$
推導(dǎo)：
$S=\sum_{n=1}^{m} n= 1+2+3+...+(m-1)+m$
$S=m+(m-1)+...+3+2+1$
$2S=(m+1)+(m+1)+...+(m+1)=(m+1)\times m$
$S=\frac{(m+1)\times m}{2}$
$\sum_{n=1}^{m} n= 1+2+3+...+(m-1)+m$

等比級(jí)數(shù)（geometric series）

等比級(jí)數(shù)市怎，表示等比數(shù)列的前n項(xiàng)和岁忘，又稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù)。
$\sum_{k=0}^na^k = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$
推導(dǎo)：

$S=\sum_{k=0}^na^k = a^0+a^1+...+a^{n-1}+a^n$
$aS=a^1+a^2+a^3+a^n+a^{n+1}$
$aS-S=-a^0+a^{n+1}=a^{n+1}-1$
$S(a-1)=a^{n+1}-1$
$S=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$
$S=\sum_{k=0}^na^k = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

無(wú)窮級(jí)數(shù)

只有當(dāng)值是收斂時(shí)区匠，無(wú)窮級(jí)數(shù)的結(jié)果才是有限的臭觉。
$\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^n = \frac{\frac{1}{2}^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1}$
$\lim\limits_{n\to\infty}= \frac{\frac{1}{2}^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1} =\frac{0-1}{-0.5} =2$
所以：
$\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^n =2$

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