近世代數(shù)理論基礎(chǔ)2：映射

映射

定義

給定非空集合A,B,從A到B的映射是指一個(gè)對應(yīng)法則,通過該法則,對于A中任一元a,有B中唯一的一個(gè)元b與之對應(yīng)

記作 $f:A\to B$ 或 $A\overset{f}{\to}B$ ,其中A稱為映射f的定義域,B稱為值域,b稱為a在映射f下的像,a稱為b在映射f下的原像,記作 $b=f(a)$ 或 $f:a\mapsto b$

映射三要素

定義域,值域,對應(yīng)法則f

映射相等

設(shè)f,g是從集合A到集合B的兩個(gè)映射,若 $\forall x\in A$ ,有 $f(a)=g(a)$ ,則稱這兩個(gè)映射相等,記作 $f=g$

集合上的映射

若映射f的定義域A和值域B相同,即 $A=B$ ,則稱映射f是定義在集合A上的映射

像的唯一性(良性定義)

對于任意 $a\in A$ ,存在唯一 $b\in B$ 與之對應(yīng),在定義映射時(shí),若元a有不同的表示形式,則 $b=f(a)$ 必須與a的表示形式?jīng)]有關(guān)系

例

令 $A=B=Z/5Z=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}$ ,定義對應(yīng)法則 $f:A\to B$ 如下：

$f([x])=\begin{cases}[x/2]\qquad 若x為偶數(shù)\\ [x]\qquad 若x為奇數(shù)\end{cases}$

則f不是從A到B的映射

顯然 $[1]=[6],[1]=f([1])=f([6])=[3]$ 矛盾

特殊映射

單射：若 $\forall a_1,a_2\in A$ , $a_1\neq a_2$ 時(shí)有 $f(a_1)\neq f(a_2)$ ,則稱f是單射

滿射：若 $\forall b\in B$ , $\exists a\in A$ 使 $b=f(a)$ ,則稱f是滿射

雙射：若f既是單射又是滿射,則稱f為一一映射,也稱雙射

限制：給定映射 $f:A\to B$ , $C\subseteq A$ ,則f誘導(dǎo)一個(gè)映射 $f_1:C\to B$ , $\forall a\in C$ , $f_1(a)=f(a)$ ,稱映射 $f_1$ 為映射f在集合C上的限制,記作 $f_1=f|C$

擴(kuò)張(開拓)：給定映射 $f_1:C\to B$ , $C\subseteq A$ ,設(shè) $f:A\to B$ ,若 $\forall x\in C$ ,有 $f(x)=f_1(x)$ ,則稱映射f為 $f_1?$ 在集合A上的擴(kuò)張

(注：限制是唯一的,擴(kuò)張可能不是唯一的)

注：一個(gè)給定映射 $f:X\to Y$ ,僅存在一個(gè)對于X的給定子集A的限制,一個(gè)映射 $g:A\to Y$ ,到一個(gè)包含A的集合X上的開拓通常是很多的

例：設(shè)y為Y中任一點(diǎn),定義映射 $e_y:X\to Y$

$e_y(x)\begin{cases}g(x)\qquad x\in A\\y\qquad x\in X\backslash A\end{cases}$

為給定映射 $g:A\to Y$ 在X上的一個(gè)開拓

注：上述給定映射 $e_y:X\to Y$ 的定義為組合映射構(gòu)造的一個(gè)特殊情況

合成：給定映射 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ ,則由f和g可誘導(dǎo)出一個(gè)映射 $h:A\to C$ , $\forall a\in A,h(a)=g(f(a))$ ,稱h為映射g與f的合成,記作 $h=g\circ f$

恒等映射：給定映射 $f:A\to A$ ,若 $\forall x\in A$ 有 $f(x)=x$ ,則稱f為恒等映射,記作 $I_A$

(注：恒等映射也稱為單位映射, $f\circ I_A=f,I_B\circ f=f$ )

包含函數(shù)： $X\subset Y$ , $\forall x\in X$ , $i(x)=x\in Y$ ,記作 $i:X\subset Y$

定理

定理：給定三個(gè)映射 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ , $h:C\to D$ ,則 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$

證明：

$顯然,(h\circ g)\circ f,h\circ(g\circ f)都是從A到D的映射$

$\forall a\in A,有?$

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$

$即(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理： $\phi=g\circ f?$ 表示 $f:X\to Y?$ , $g:Y\to Z?$ 的合成

$\forall A\subset X,\phi(A)=g(f(X))$

$\forall C\in Y,\phi^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(x))$

注：滿射函數(shù)的合成是滿射函數(shù),單射函數(shù)的合成是單射函數(shù)

定理： $\phi=g\circ f$ 表示 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 的合成

若 $\phi$ 是滿射,則g也是滿射

若 $\phi$ 是單射,則f也是單射

證明：

$設(shè)\phi是滿射,由定義,$

$Z=\phi(X)=g(f(X))\subset g(Y)\subset Z?$

$\therefore g(Y)=Z$

$\therefore g為滿射$

$設(shè)\phi是單射,由定義,$

$令a,b為X中使f(a)=f(b)的任意兩點(diǎn)$

$\therefore \phi(a)=g(f(a))=g(f(b))=\phi(b)$

$\because \phi為單射$

$\therefore a=b\qquad\mathcal{Q.E.D}$

像與原像

給定映射 $f:A\to B?$

像： $\forall S\subseteq A?$ ,令 $f(S)=\{f(a)|a\in S\}?$ ,稱 $f(S)?$ 為S在映射f下的像

原像：令 $f^{-1}(T)=\{a\in A|f(a)\in T\}$ ,稱 $f^{-1}(T)$ 為T在映射f下的原像

注：整個(gè)定義域A在f下的像稱為f的像,并表示為 $Im(f)$

定理：給定映射 $f:A\to B$ ,則

(1) $\forall S\subseteq A$ ,有 $S\subseteq f^{-1}(f(S))$

(2) $\forall T\subseteq B$ ,有 $f(f^{-1}(T))\subseteq T$ ,當(dāng)f為滿射時(shí),等號成立

定理：對映射 $f:X\to Y$ 的定義域X的任意兩個(gè)子集A與B

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

例： $X=\{a,b\},A=\{a\},B=\{b\},Y=\{y\}$

令 $f:X\to Y$ 表示唯一的映射

$f(A\cap B)=f(\varnothing)=\varnothing$

$f(A)\cap f(B)=Y$

定理：對于映射 $f:X\to Y$ 的值域Y的任意兩個(gè)子集A與B

$f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\backslash B)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

注：逆像的特性較像的特性好,因而逆像的概念使用的多

判斷單射盈电、滿射和雙射

定理：給定映射 $f:A\to B$ ,則

(1)f是單射 $\Leftrightarrow?$$\exists g:B\to A?$ 使 $g\circ f=I_A?$

(2)f是滿射 $\Leftrightarrow?$$\exists g:B\to A?$ 使 $f\circ g=I_B?$

(3)f是雙射 $\Leftrightarrow$$\exists g:B\to A$ 使 $g\circ f=I_A,f\circ g=I_B$ ,且 $g$ 唯一,記作 $f^{-1}$

(注：g稱為映射f的逆映射,當(dāng)A與B之間存在一個(gè)雙射時(shí),這兩個(gè)集合含有一樣多的元,即|A|=|B|,稱為他們?yōu)榈葎莸?

證明：

$(1)f是單射\Leftrightarrow \exists g:B\to A使g\circ f=I_A?$

$必要性?$

$若f為單射,即\forall x_1,x_2\in A$

$若x_1\neq x_2,則f(x_1)\neq f(x_2)$

$\therefore 定義映射g:B\to A?$

$g(b)=\begin{cases}a\qquad 若存在a\in A使f(a)=b\\a_0\qquad 若不存在a\in A使f(a)=b\end{cases}$

$其中a_0為A中任一固定元$

$則有$

$(\mathrm{i})g是映射$

$即\forall b\in B,\exists ! a\in A使g(b)=a$

$(\mathrm{ii})g\circ f=I_A$

$\forall a\in A,令b=f(a)$

$則g\circ f(a)=g(f(a))=g(b)=a$

$\therefore g\circ f=I_A$

$充分性$

$\forall x_1,x_2\in A,若f(x_1)=f(x_2)?$

$I_A=g\circ f$

$\therefore x_1=I_A(x_1)=g\circ f(x_1)=g(f(x_1))$

$=g(f(x_2))=g\circ f(x_2)=x_2$

$\therefore f是單射\qquad \mathcal{Q.E.D}?$

$(2)f是滿射\Leftrightarrow\exists g:B\to A使f\circ g=I_B$

設(shè) $X=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 為n元集合,令 $S_n=\{從X到X上所有的一一映射\}$ ,則 $\forall \sigma \in S_n$ , $\sigma$ 可如下表示

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n\\i_1&i_2&i_3&\cdots&i_n\end{pmatrix}$

其中 $i_1,i_2,\cdots,i_n$ 是元 $1,2,\cdots,n$ 的一個(gè)置換,這個(gè)映射表示 $\sigma(1)=i_1,\sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n?$

函數(shù)族

設(shè)F為X的給定的子集族,假設(shè)F復(fù)蓋X,即X等于在F中的集的并,且假設(shè) $\forall A\in F$ ,有 $f_A:A\to Y$ ,可得以族F的元素為函數(shù)標(biāo)號的函數(shù)族 $\phi=\{f_A|A\in F\}$

$\forall A,B\in F$ , $f_A:A\to Y$ 與 $f_B:B\to Y$ 在 $A\cap B$ 上相等,則稱族 $\phi$ 可組合,即 $f_A|A\cap B=f_B|A\cap B$

若函數(shù)族 $\phi$ 可組合,則 $\phi$ 可唯一確定一函數(shù) $f:X\to Y,f(x)=f_A(x)$ ,若 $x\in A\in F$ ,函數(shù)f稱為函數(shù)族 $\phi$ 的組合函數(shù)

序列

一個(gè)從自然數(shù)集N到給定集X的函數(shù) $f:N\to X$ 稱為在X中(點(diǎn)的)序列, $\forall n\in N$ ,像 $x_n=f(n)$ 稱為序列f的第n項(xiàng),序列f寫成 $f=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}$

注：若X為實(shí)數(shù)集R,則稱f為實(shí)數(shù)列,若X為整數(shù)集Z,則稱f為整數(shù)列

特征函數(shù)

給定集X, $\forall A\subset X$ ,定義函數(shù) $\mathcal{X_A}:X\to R$

$\mathcal{X_A}=\begin{cases}1\qquad x\in A\\0\qquad x\in X\backslash A\end{cases}$

稱為在X中的子集A的特征函數(shù)

帶標(biāo)集族

令 $2^X$ 表示給定集X的所有子集的集,對任一函數(shù) $f:M\to 2^X$ , $\forall \alpha\in M$ ,像 $E_\alpha=f(\alpha)$ 為X的一個(gè)子集,函數(shù)f可寫成 $f=\{E_\alpha\subset X|\alpha\in M\}$

稱為以集M作為標(biāo)號的帶標(biāo)集族

若M為自然數(shù)集N,則稱f為集序列

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