原子核的基本性質(zhì)

原子核的電荷葬燎、質(zhì)量與半徑

電荷

原子序數(shù)：Z研铆，電荷：Ze
元素所放出的特征X射線的頻率與原子序數(shù)之間有如下關(guān)系：
$\sqrt{v}=AZ-B$
其中 $A\approx 5.2\times10^{7}s^{-1/2}清钥，B\approx1.5\times10^8s^{-1/2}$ 。

質(zhì)量

原子的質(zhì)量非常小后众，一般是用原子質(zhì)量單位u來表示的胀糜。1u等于 $^{12}C$ 原子質(zhì)量的十二分之一颅拦。
$1u=\frac{12}{N_A}\cdot\frac{1}{12}=1.6605387\times10^{-24}g$

測量原子核質(zhì)量的方法：質(zhì)譜儀。自由質(zhì)子的質(zhì)量： $m_p=1.6726\times 10^{-27}kg$ 教藻，自由中子的質(zhì)量： $m_n=1.6749\times 10^{-27}kg$ 距帅，電子的靜止質(zhì)量為： $m_e=9.10956\times 10^{-31}kg$ ，靜止能量約為 $511keV$
<center>

fig9.png

</center>

運(yùn)用高中物理括堤，知道：
$M=\frac{qB^2R^2}{2V}$

精確的測量需要用到標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量譜(見課本p6)碌秸，測的原子質(zhì)量都接近一個整數(shù)，這個整數(shù)就是質(zhì)量數(shù)A悄窃，A=Z+N讥电，N為中子數(shù)，Z為質(zhì)子數(shù)广匙。

精確的結(jié)果并不是整數(shù)允趟，需要查表。表示一個核素的方式： $^7_3Li_4$ 鸦致，元素為Li潮剪，A=7，Z=3分唾，N=4

具有相同的質(zhì)子數(shù)Z和中子數(shù)N的一類原子核抗碰，稱為一種核素。(定位已經(jīng)很精確了)绽乔。
質(zhì)子數(shù)Z相同弧蝇，中子數(shù)N不同的核素稱為同位素。(質(zhì)子數(shù)的地位比中子數(shù)要重要一些折砸，雖然N不同看疗，但只要Z相同就還是同位的核素)
中子數(shù)N相同但是質(zhì)子數(shù)Z不同的稱為同中子素。
質(zhì)量數(shù)A相同睦授，質(zhì)子數(shù)不同的核素稱為同量異位素两芳。(具有相同的核子量，但是質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)都不相同)
質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)都相同但是處于不同的能量狀態(tài)的核素稱為同核異能素去枷。(同種核素怖辆，但是能量不一樣)
質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)互換的一對原子核，稱為鏡像核删顶。

半徑

核力作用半徑

在原子核的一定范圍內(nèi)存在強(qiáng)相互作用力即核力竖螃，這一范圍被定義為核力作用半徑，有經(jīng)驗(yàn)公式：
$R\approx r_0A^{\frac{1}{3}}\tag{1}$
式中 $r_0=(1.4-1.5)\times10^{-13}cm=(1.4-1.5)fm$

電荷分布半徑

核內(nèi)電荷的分布范圍就是電荷分布半徑逗余，核內(nèi)電荷密度分布曲線為：
$\rho = \frac{1}{1+e^{(r-R)/d}}\tag{2}$

fig10.png

</center>

下降到一半為電荷分布半徑特咆，由0.9到0.1表示邊界的厚度，一般 $t=(2.4\pm0.3)fm$ 录粱。式中 $d$ 是表征表面厚度的一個參量坚弱，它和 $t$ 的關(guān)系為：
$t=4d\ln3\tag{3}$
電荷分布半徑為：
$R\approx1.1\times A^{\frac{1}{3}}(fm)\tag{4}$

原子核的自旋

原子核自旋來自于核內(nèi)的核子的自旋角動量以及相對運(yùn)動(軌道角動量)蜀备。用量子數(shù) $I$ 來表示，原子核自旋角動量 $\boldsymbol{P_I}$ 的大小是：
$P_I=\sqrt{I(I+1)}\hbar\tag{5}$
$I$ 為整數(shù)或半整數(shù)荒叶。 $\boldsymbol{P_I}$ 在z方向的投影為：
$P_{Iz}=m_I\hbar\tag{6}$
其中 $m_I$ 為磁量子數(shù)碾阁，可以取 $2I+1$ 個值： $I$ 到 $-I$ 。

我們平常所說的粒子的自旋些楣，指的就是投影的最大值脂凶，即自旋矢量的模長。

原子核的自旋是通過原子光譜的超精細(xì)結(jié)構(gòu)來測得的愁茁。電子的自旋角動量和軌道角動量發(fā)生耦合蚕钦，電子的總角動量可取有限個離散的值，于是乎產(chǎn)生了能級的精細(xì)結(jié)構(gòu)鹅很。同理嘶居，當(dāng)原子核的角動量與電子的總角動量產(chǎn)生耦合，就會進(jìn)行進(jìn)一步的能級分裂產(chǎn)生超精細(xì)結(jié)構(gòu)促煮，由于原子核的作用較小邮屁，所以能級間的差距較小，產(chǎn)生的分裂為超精細(xì)分裂菠齿。

fig11.png

利用超精細(xì)分裂測得原子核的自旋佑吝，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

偶A核的自旋為整數(shù)。其中偶偶核的自旋為0绳匀。遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)芋忿。
奇A核的自旋為半整數(shù)。遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)疾棵。

磁矩

原子核擁有自旋戈钢，同時又帶電，自然擁有磁矩是尔。原子核的磁矩來源于自旋磁矩和軌道角動量的磁矩(自旋也分為了這兩部分)逆趣。電子的磁矩表達(dá)式如下：
自旋磁矩：
$\boldsymbol{\mu_s}=g_s(\frac{e}{2m_e})\boldsymbol{P_s}=-\frac{e}{m_e}\boldsymbol{P_s}\tag{5}$
軌道角動量的磁矩：
$\boldsymbol{\mu_l}=g_l(\frac{e}{2m_e})\boldsymbol{P_l}=-\frac{e}{2m_e}\boldsymbol{P_l}\tag{6}$

自旋的單位取 $\hbar$ ，定義玻尓磁子：
$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}=9.2740\times 10^{-24}A\cdot m^2$
對于電子來說 $g_s=-2$ 嗜历， $g_l=-1$ 。通常電子的磁矩用玻尓磁子 $\mu_B$ 作單位抖所，于是有：
$\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu_s}+\boldsymbol{\mu_l}=g_s\boldsymbol{P_s}+g_l\boldsymbol{P_l}$

與電子相似梨州，核子(質(zhì)子和中子)也有角動量，所以理應(yīng)也擁有磁矩田轧。實(shí)驗(yàn)表明暴匠，質(zhì)子的磁矩為：
$\boldsymbol{\mu_p}=g_p(\frac{e}{2m_N})\boldsymbol{P_s}\tag{7}$
中子的磁矩為：
$\boldsymbol{\mu_n}=g_n(\frac{e}{2m_N})\boldsymbol{P_s}\tag{8}$
其中 $m_N$ 為核子的質(zhì)量，理論上根據(jù)狄拉克方程傻粘，可以解得自旋二分之一費(fèi)米子的g因子為2(如果帶負(fù)電的話就是-2每窖，不帶電的話就是0)帮掉。理論上 $g_p=2$ ， $g_n=0$ 窒典，但是實(shí)際測得 $g_p=5.586$ 蟆炊， $g_n=-3.826$ 。因此瀑志，通常說質(zhì)子和中子擁有反常磁矩涩搓。

討論完電子和核子之后，進(jìn)入正題劈猪，我們討論原子核的磁矩昧甘。和前面的思路一樣，原子核的磁矩也是由原子核的自旋所產(chǎn)生的：
$\boldsymbol{\mu_I}=g_I(\frac{e}{2m_p})\boldsymbol{P_I}\tag{9}$
我們知道 $P_I$ 在z方向取 $2I+1$ 個值战得，所以磁矩也可以取 $2I+1$ 個值充边， $P_Iz=m_I\hbar$ ，所以：
$\mu_{Iz}=g_I(\frac{e\hbar}{2m_p})m_I\tag{10}$

同樣我們定義核磁子：
$\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}$
由于質(zhì)子的質(zhì)量 $m_p$ 是電子質(zhì)量 $m_e$ 的1836倍常侦，所以核磁子只有玻尓磁子的 $\frac{1}{1836}$ 浇冰，可見核的磁矩比原子中電子的磁矩要小得多，這就是為什么超精細(xì)結(jié)構(gòu)的譜線間距比精細(xì)結(jié)構(gòu)的譜線間距小得多刮吧。

磁矩在z方向投影的最大值為：
$\mu_I^{'}=g_I\mu_NI\tag{11}$
一般書籍和文獻(xiàn)中所列的核磁矩的大小就是指以 $\mu_N$ 為單位的 $\mu_I^{'}$ 的值湖饱。

電四極矩

定義 $\varepsilon\equiv\frac{\Delta R}{R}$ ， $R$ 為與橢球同體積的球的半徑杀捻， $\Delta R$ 為橢球?qū)ΨQ軸半徑 $c$ 與 $R$ 之差井厌，即 $c=R(1+\varepsilon)$ ，電四極矩 $Q$ 與形變參量 $\varepsilon$ 的關(guān)系如下：
$Q\approx\frac{6}{5}ZR^2\varepsilon\approx\frac{6}{5}Zr_0^2A^{\frac{2}{3}}\varepsilon\tag{12}$
實(shí)驗(yàn)測得 $Q$ 的值之后致讥，算的 $\varepsilon$ 仅仆，發(fā)現(xiàn)對于大部分原子核， $\varepsilon$ 的絕對值是不等于零的小數(shù)垢袱，一般為百分之幾墓拜，這說明大部分原子核是非球形的，但是脫離球形并不遠(yuǎn)请契。

fig12.png

宇稱

宇稱是微觀物理世界中特有的概念咳榜，在經(jīng)典物理之中不適用，定義宇稱算符 $\hat{P}$ 爽锥，其作用效果為進(jìn)行空間反演：
$\hat{P}\psi(x)=\psi(-x)$
對于某些特定的波函數(shù)涌韩，存在以下關(guān)系：
$\hat{P}\psi(x)=K\psi(x)$
這些波函數(shù)就是宇稱算符的本征波函數(shù)。推導(dǎo)得到 $K=\pm 1$ 氯夷，對于 $K=1$ 臣樱，有 $\psi(x)=\psi(-x)$ ，稱之為偶宇稱，對于 $K=-1$ 雇毫，則有 $\psi(x)=-\psi(-x)$ 玄捕，相應(yīng)的，稱之為奇宇稱棚放。

通常矢量具有奇宇稱枚粘，如位置 $\boldsymbol{r}$ 、動量 $\boldsymbol{p}$ 和電場 $\boldsymbol{E}$ 席吴，但是有一些矢量是偶宇稱的如自旋 $\boldsymbol{s}$ 赌结、磁場 $\boldsymbol{B}$ ，這些矢量被稱為“贗矢量”孝冒。

在電磁相互作用和強(qiáng)相互作用中柬姚，宇稱是守恒的，即 $[H,\hat{P}]=0$ 庄涡。這表明宇稱量子數(shù) $K$ 是好量子數(shù)量承，它的值不隨時間改變，物理意義為：如果物理規(guī)律在空間反演下不變穴店，則此微觀體系的宇稱將保持不變撕捍，體系內(nèi)部變化時，變化前的宇稱等于變化后的宇稱泣洞，這就是宇稱守恒定律忧风。

現(xiàn)在研究原子核的宇稱。球諧函數(shù) $P_{lm}(\cos \theta)$ 是宇稱算符的本征函數(shù)球凰，其本征值為 $(-1)^l$ 狮腿。原子核的波函數(shù)可以看做是很多核子波函數(shù)的乘積，而核子的運(yùn)動可以看做在有心場中的運(yùn)動呕诉，單個核子的波函數(shù)有如下形式：
$\psi(r,\theta,\psi)=NR(r)P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}$
原子核的宇稱 $\pi_N$ 可以看做諸核子的軌道宇稱之積：
$\pi_N=\Pi_{i=1}^{A}(-1)^{l_i}\tag{13}$

宇稱是相乘性量子數(shù)缘厢。由于宇稱守恒，所以只有當(dāng)原子核內(nèi)部的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時宇稱才會發(fā)生改變甩挫。 $l_i$ 為第 $i$ 個核子的軌道量子數(shù)贴硫。

一般把自旋和宇稱寫在一起，寫為 $j^P$ 的形式伊者，如質(zhì)子的自旋宇稱為 $\frac{1}{2}^+$

同位旋

將質(zhì)子和中子看做是核子的兩個不同的狀態(tài)英遭，引入一個新的算符 $\hat{t}$ ，稱之為同位旋矢量亦渗，其量子數(shù)為 $t=\frac{1}{2}$ 挖诸，類比角動量算符， $t_3=+\frac{1}{2}$ 的為質(zhì)子態(tài)央碟， $t_3=-\frac{1}{2}$ 的為中子態(tài)。與角動量類似，對于兩核子體系亿虽， $\hat{T}=\hat{t}(1)\pm\hat{t}(2)$ 是兩個核子的同位旋矢量和菱涤。 $T=1$ 的態(tài)為同位旋三重態(tài)， $T=0$ 的態(tài)為單態(tài)洛勉。
對于由A個核子組成的原子核粘秆，同位旋為個核子的同位旋之和。質(zhì)子的 $t_3=\frac{1}{2}$ 收毫，中子的 $t_3=-\frac{1}{2}$ 攻走，所以原子核有：
$T_3=\frac{1}{2}(Z-N)=Z-\frac{A}{2}\tag{14}$
對于同一種核素，所有能態(tài)都具有相同的 $T_3$ 的值此再，但是 $T$ 值可以不同昔搂，原子核的同位旋量子數(shù) $T$ 滿足如下關(guān)系：
$\frac{1}{2}|Z-N|\leq T\leq \frac{1}{2}(Z+N)$
原子核在基態(tài)取到 $T$ 的最小值。

對于核子數(shù)A相同输拇，自旋和宇稱相同摘符，而且同位旋量子數(shù)T也相同，只有 $T_3$ 不同的各個態(tài)策吠，稱為同位旋多重態(tài)逛裤。強(qiáng)相互作用下同位旋守恒。

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