一藻治、背景知識：回顧梳理

《數(shù)學課程標準（ 2011 ）》中碘勉，把數(shù)學課程目標分為總目標與學段目標，并分別從知識技能桩卵、數(shù)學思考验靡、問題解決、情感態(tài)度四個方面加以闡述雏节。 可見胜嗓，“問題解決”是數(shù)學課程目標。 就“問題解決”的課程目標而言钩乍，具體的要求是：要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題辞州、提出問題的能力，綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力寥粹，獲得分析問題变过、解決問題的一些基本方法，發(fā)展創(chuàng)新意識等涝涤。

過去媚狰，歸一問題屬于應用題教學。多數(shù)采用綜合法妄痪、分析法等幫助學生分析題目中的數(shù)量關系哈雏，以找到“解題方法”為目標。 而“解決問題”教學時衫生，則沒有現(xiàn)成的類型和解法來套用裳瘪，需要學生運用所學知識，并通過個人或小組合作的形式探索和實踐來解決罪针，具有挑戰(zhàn)性彭羹，這樣就更有助于通過“解決問題”，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識泪酱，發(fā)展其實踐能力和合作精神派殷。

二还最、理性思考：數(shù)量關系

2019年4月7日凌晨，我聆聽了吳正憲老師的《歸一問題解決問題》毡惜，我久久不能睡著拓轻。一方面，吳老師動情地與兒童交流经伙，吳老師從“1”和“多”之間的關系扶叉，建構了數(shù)量關系為本質(zhì)的問題解決。

吳正憲老師執(zhí)教的《問題解決（歸一問題）》從數(shù)量關系出發(fā)帕膜，收尾呼應枣氧。吳老師從問題出發(fā)，讓兒童回顧問題解決的全過程是閱讀理解-分析解答-回顧反思垮刹。比如达吞，開課之后，吳老師以一系列問題荒典，指明一個同學酪劫，幫助吳老師在黑板上板書。吳老師的問題是這樣的寺董，她讓學生不斷提出問題契耿。

1.從多到1，從1到多螃征，明晰數(shù)量關系

第一個問題：12件衣服需要多少個小珠子？（你會馬上問我透敌？）

學生記錄：一件盯滚。

第二問題：買8個碗需要多少錢？

學生記錄

第三問題：6小時行駛多少千米酗电？

吳老師在黑板上圈出了1件魄藕、1個、1小時的撵术，邊圈邊說背率，假如我們能知道了一件的，就可以求12件嫩与，還能求......

【思考：為什么吳老師這樣設計寝姿，吳老師把知識系統(tǒng)化，抓住了不同的類型的問題解決的關鍵之處划滋，本質(zhì)的是從多到1饵筑，從1到多。我以為处坪，吳老師果斷的讓學生思考根资，你會馬上問我架专？喚醒了學生的已有的問題解決過程⌒粒】

2.從數(shù)據(jù)到關系：多元表征部脚，溝通本質(zhì)

出示問題：

吳老師：同學們發(fā)現(xiàn)了重要數(shù)據(jù)，像4件裤纹、12件委刘、24，還有要求的問題服傍。這些數(shù)量之間有怎么樣的關系钱雷，我們解決問題就是研究數(shù)量和數(shù)量之間的關系。我相信已經(jīng)有人有答案了吹零。你能求出12件衣服有多少個扣子罩抗。或許你現(xiàn)在就知道了灿椅，但是我想套蒂，讓同學們把手放下來，如果僅僅要數(shù)據(jù)茫蛹，5分鐘就解決了操刀。吳老師給你新的收獲。

你有什么辦法解決婴洼？你還能通過畫圖骨坑？或者四個數(shù)量組合組合，讓其他小朋友理解你柬采。

【思考：問題解決需要借助直觀圖欢唾，比如3號同學直接畫衣服，1號同學畫三角形粉捻，2號同學畫線段圖礁遣，4號同學的圓形圖。吳老師在溝通不同計算表征過程中肩刃，并沒有先呈現(xiàn)線段圖的方式祟霍，也不是出示畫衣服的圖片，而是對比了1和3的作品盈包。這樣的做法沸呐，我想是吳老師的基于兒童的經(jīng)驗或者兒童的理解，并且尊重了兒童的理解過程续语，但是垂谢，這個過程中，吳老師不斷啟發(fā)兒童之間要讀懂作品疮茄，她適時退后滥朱，讓兒童之間互相發(fā)問根暑，讓兒童說出懂或者不懂。當孩子不懂的時候徙邻，她主動讓兒童之間互相提出問題排嫌。她總是這樣說：“沒事兒。沒看懂的缰犁，我們一起讀懂這個同學的想法淳地。”】

3.從現(xiàn)實到未來：建構模型思想

接下來的環(huán)節(jié)里帅容，吳老師讓學生把數(shù)學的數(shù)量關系進行梳理颇象，并且把這樣的對應關系板書到黑板上，可以看到并徘，

24? ? 遣钳？個

4? ? ?12件

吳老師這樣說：“假如我們有了第二個問題，來不及解決了麦乞。你們自己能夠獨立解決嗎蕴茴？同學們，你們經(jīng)常說的姐直，1就是每份數(shù)倦淀，多就是總數(shù)。有了每份數(shù)和總數(shù)声畏，他們之間的關系撞叽。我們就用每份數(shù)乘份數(shù)=總數(shù)〔辶洌總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)能扒。

馬上問一個碗多少錢，已經(jīng)不是困難辫狼。這里的每份數(shù)就可以叫做單價，總價辛润，數(shù)量膨处。又有了這樣的數(shù)量關系。

馬上想到砂竖，一小時行駛了多少真椿。60，每份數(shù)有了速度乎澄，一共是多少就是路程突硝，時間。同學們置济，不需要記憶解恰，未來锋八，哦，這就是1和多的關系的那位老師护盈。再遇到速度挟纱、時間、路程的事兒腐宋。課已經(jīng)到了尾聲紊服。但是我告訴你們。你們已經(jīng)順利拿下來了胸竞。今天這幾課重點研究的是歸一問題欺嗤。”

【思考：收尾呼應卫枝，提升模型思想煎饼。歸一數(shù)量關系，基本結構是b分之a(chǎn)=x分之c剃盾，吳老師提升了對知識的整體建構腺占。從開始的問題出發(fā)回歸到了整個問題解決的過程，甚至是一類型的問題的提升痒谴∷ゲ】’

三、課堂實錄：細微之處

我們吳正憲：一會兒积蔚，講的時候聲音大一點兒意鲸。不管哪位同學回答問題，說不定在她的眼神里尽爆，能讀懂怎顾。我們的眼睛都看著她。說不定在手勢中漱贱，理解她的表示槐雾。

今天，吳老師和大家繼續(xù)聊一個話題幅狮。這個話題叫解決問題募强。

吳老師：一年級學習了加減乘除的運算。這些運算幫助我們解決問題崇摄。

你們還記得解決問題擎值，大致要經(jīng)歷哪些過程？

生：看問題

吳老師：閱讀理解逐抑。第二步呢鸠儿？

生：分析

真好，吳老師說厕氨。

吳老師：進一步分析和解答进每，最后一步是檢查

最后一步就是回顧與反思汹粤。

吳老師：我們下面，我提完問題之后品追，大家可以不斷提出你的問題玄括。

吳老師：出示第一個問題：12件衣服需要多少個小珠子？

生1：一件衣服有幾顆珠子肉瓦。

吳老師：能解決

生：指明學生遭京，板書：一件衣服

師：我繼續(xù)問，如果我想泞莉，買8個碗需要多少錢哪雕？

生：一個碗

6小時行駛了多少千米

生：1小時多少千米？

吳老師（圈出來）

孩子圈出來1小時

吳老師：假如鲫趁，我們知道1件衣服斯嚎，我們知道了12件衣服，還能求幾件的挨厚？

生 20

生100

生18

生50

生各種數(shù)字堡僻，就是很多很大的

吳老師：我知道了，只要知道了一件疫剃，就能求12件钉疫，50件的，很多件巢价，很大件牲阁。我聽懂了（板書：1，板書多標出箭頭）有的時候壤躲，一件偏偏做個玩笑城菊。

出示【ppt】

藝術節(jié)要到了，學校舞蹈隊的孩子們要進行表揚碉克，老師們決定在孩子們演出服上釘一些

生：4件衣服釘了24個珠子

師：

生：照這樣凌唬，12件衣服需要多少個珠子？

師：還有沒有重要的數(shù)據(jù)漏麦？

生：4件 法瑟，12個珠子。 12件衣服唁奢，

還有嗎？

還有沒有不知道數(shù)據(jù)窝剖？

一件衣服可以釘幾個珠子麻掸？

生：一件衣服要釘6個珠子？

師：我們要求的問題是什么赐纱？

師：我聽懂了脊奋。

同學們發(fā)現(xiàn)了重要的數(shù)據(jù)熬北。

師：板書4件 24 個 12件 ？我們解決問題就是研究數(shù)量和數(shù)量之間的關系诚隙。你能求出12件事情有多少個扣子讶隐，這件事情不急，不急久又。你們就僅僅要數(shù)據(jù)巫延。真的想通過這幾課，有點新的收獲地消。就是這些信息和數(shù)據(jù)炉峰，你能不能獨立思考，你有什么辦法解決這個問題脉执，不僅僅自己看明白疼阔，比如畫畫圖，比如組合組合半夷，讓其他小朋友理解婆廊。

我們先不討論，開始吧巫橄。

吳老師巡視淘邻，觀察兒童的思考過程。師：做完的小朋友嗦随，說一說你們是怎么想的列荔？一會兒去集體交流。

吳老師：想法一樣的就不要了枚尼。討論討論贴浙，能不能理解別人的想法。

一會兒看看署恍，老師要展示的幾位崎溃。

你們剛才做了一個簡短的交流。吳老師呈現(xiàn)幾位同學的解答過程盯质。我問一下結果袁串，最后釘多少個小珠子。

72顆

師：你不72.

還有不72的嗎呼巷？沒事的

師：這樣啊囱修，我們一起來看一看。這個都弄明白了王悍。

問：一個三角形表示多少

生：表示一件衣服破镰。

師：一件一件 有4件衣服。

看懂了嗎？

一畫衣服看懂了

生：12里面有3個24

一個三角形表示4件衣服鲜漩。

師：三號同學就一件衣服表示一件衣服源譬。道理是一樣。同學們孕似，你想說什么踩娘？

生：3號，因為她畫是衣服喉祭，畫清楚养渴。

師：要是買冰箱，你們還笑嗎

生：那樣太麻煩了

生：如果數(shù)量很多臂拓，實體物品厚脉，用簡單的物品表示。

吳老師：畫衣服就懂了胶惰。我們有一個約定傻工，我們可以用三角形、圓和線段圖孵滞，幫助解決問題中捆。

師：你們看看2號同學，你們看懂了嗎坊饶？

生：看懂了嗎泄伪？

4件24，老師涂黑匿级，一件衣服多少個蟋滴，再用一件的乘12，我們知道了1就可以知道許多許多痘绎。剛才的一件沒有直接告訴你津函。我們知道4件衣服訂了24，知道許多件釘了許多扣子孤页，我們能知道1尔苦，我們找到許多，我們還能找到1.正是三角形的圖行施，2號的圖多么簡潔允坚。3號圖也好，衣服一朵多蛾号，怎么多稠项。

生：可以乘法。

吳:4號同學在哪里鲜结？你看懂了我的想法展运？斩芭、

師：看懂的舉手。不急不急

你真的沒看懂乐疆。

師：沒事兒。沒看懂的贬养，我們一起讀懂這個同學的想法挤土。

這是幾？

生：4件衣服

生：12件衣服

師：為什么用12÷4＝3误算？

解鈴還須系鈴人仰美。請你解釋解釋

你們看看他講的你能不能聽懂。

因為72有3個24.

你應當是問題儿礼。修改圖

問題是：為什么咖杂？

生：12件衣服，

生：明明3份蚊夫，為什么說3件诉字？3件從哪里來的？理解別人挺難的事兒知纷。你知道嗎壤圃？

不知道。

誰知道琅轧。

生：快過年伍绳。我領著你。同學們一定要保護視力乍桂。

生：3件是冲杀，4件這樣的3組。一組一組睹酌，這里有3組

生：一組权谁，一組，又一組忍疾。一共是3組闯传。一組標出24顆，下一組24卤妒，下一組24甥绿，所以3個24，就有3個24.就出來24+24+24=72.真的讀懂別人则披，需要我們認真思考挨约。

生：我的意識是12÷4=3,12是4件衣服的3倍，可以所成3份宽档，也就是3組票渠。你知道你的意思為什么沒看看懂翩活。

生：他們不知道為什么，圖上怎么樣讓我們看明白便贵。

生：4件衣服菠镇，24，怎么看出12里面有3個4呢承璃？

4件一組利耍，可是圖上卻沒有圈、沒有畫盔粹。圈上3個圈隘梨，讓小朋友看3個圈，我們就找到了舷嗡。讓別人讀懂自己轴猎，如果填上3個圈，就更好了进萄。

師：讀懂了捻脖。這就是學習過程。我們不僅僅滿足結果垮斯，讓別人理解自己郎仆，還得下點功夫。同學們兜蠕，剛才我們研究的都是4個數(shù)之間的關系扰肌，誰愿意到前面來，誰和誰一組比較合適熊杨？

生：我想把4件和24顆珠子房子一起曙旭，12件放在下面，代表晶府。你覺得哪兩個數(shù)據(jù)最近桂躏。能把數(shù)據(jù)分開一點兒嗎？

師：4件和24有對應關系川陆。老師演示下剂习，

24? ? ？個

4? ? ?12件

知道了許多较沪，能求1件鳞绕，知道1件，能求許多尸曼。

24? ? 72

4? ? ?12件

一件衣服的珠子们何，兩組數(shù)量的結果是相同的，用什么數(shù)學符號控轿？

這個等號冤竹，很有力量拂封。

師:這兩邊是相等的。

12÷4=3

72÷24=3

數(shù)量從豎著鹦蠕、橫著看一看冒签，知道1和多的關系。

假如我們有了第二個問題钟病，來不及解決了镣衡。你們自己能夠獨立解決嗎？同學們档悠，你們經(jīng)常說的，1就是每份數(shù)望浩，多就是總數(shù)辖所。有了每份數(shù)和總數(shù)，他們之間的關系磨德。我們就用每份數(shù)乘份數(shù)=總數(shù)缘回。總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)典挑。

馬上問一個碗多少錢酥宴，已經(jīng)不是困難。這里的每份數(shù)就可以叫做單價您觉，總價拙寡，數(shù)量。又有了這樣的數(shù)量關系琳水。

馬上想到肆糕，一小時行駛了多少。60在孝，每份數(shù)有了速度诚啃，一共是多少就是路程，時間私沮。同學們始赎，不需要記憶，未來仔燕，哦造垛，這就是1和多的關系的那位老師。再遇到速度涨享、時間筋搏、路程的事兒。課已經(jīng)到了尾聲厕隧。但是我告訴你們奔脐。你們已經(jīng)順利拿下來了俄周。今天這幾課重點研究的是歸一問題。

師：解決這個問題重點是每份數(shù)和多份數(shù)的關系髓迎。知道了老一峦朗，就知道老多。有了老多排龄，就能推出老多波势。我們還會推出許多這樣特點的題。

吳老師：歸一問題橄维，原來形式化尺铣、11簡單應用題，加上典型應用題争舞。課改之后變成了問題解決凛忿，或者解決問題。我們本來是加強的竞川。特別是新老師店溢，反而淡化了。解決問題最重要的是研究數(shù)量關系委乌。歸一問題有了重要特點床牧。我想，研究的是數(shù)量之間的關系遭贸，研究的是1和多之間的關系戈咳，這是一種辯證的關系。主要的關系壕吹，每份數(shù)除秀，份數(shù)和總數(shù)的關系。沒有抓手了算利，我們解決問題可不能虛化册踩，我們?nèi)绾螏椭鷮W生提高學生的能力，它就長在課里效拭。誰也繞不開暂吉。一日三餐的數(shù)學課，不是茶余飯后缎患，喝點咖啡慕的。核心知識，它是小學數(shù)學教學中挤渔，培養(yǎng)核心能力之重肮街。讓學生理解1和多。孩子做題判导，沒有問題嫉父。孩子們已經(jīng)走向了比例沛硅，函數(shù)思想的重要的，正比例的圖像绕辖。我們歸一問題摇肌，從1走向多，我們走向比例仪际。你的1和我的1相等围小，72變成了x，這就是一個重要的比例树碱。到底有怎么的關系肯适。我做了嘗試。一會兒人教版教材的指導成榜，小學數(shù)學界的曹老師疹娶。

曹培英：各位老師，觀摩了吳老師的精彩演繹伦连。

首先：一如既往的親和，名副其實的兒童數(shù)學钳垮，傳統(tǒng)內(nèi)容的與時俱進惑淳，模型思想的生動體現(xiàn)。知道多-明白一饺窿，到了六年級歧焦，正反比例列出一個表格，除了歸一還有倍比的關系肚医。為什么關系“照這樣”吳老師的啟發(fā)绢馍，學生個個性化表征，為后續(xù)學習做出了鋪墊肠套？

為什么學習歸一問題

北師大舰涌，增加了這個內(nèi)容

數(shù)量關系看：正比例關系-為學習比例做出鋪墊

遷移，分數(shù)乘除的中國思路

18÷三分之二 你稚，18的三分之二瓷耙。

實際意義，一份是多少刁赖。剛才是整數(shù)乘分數(shù)搁痛，分數(shù)乘分數(shù)， 十九分之十八

已知一個數(shù)的三分之二是18宇弛，求這個數(shù)鸡典。我們看到了。

從文化差異看：不同的讀寫順序枪芒，三分之二：分數(shù)線彻况，分母-分子

不同順序的影響谁尸。各有利弊。

國外學者之所有疗垛，分數(shù)的第五種意義症汹。算子。