摘要：“微商之碗，微分之商也蝙眶。“微分和微商是高數(shù)的基本名詞褪那，它們的變化構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)入門的基礎(chǔ)內(nèi)容幽纷。因此，深入探究微分與微商是學(xué)好高數(shù)的關(guān)鍵博敬，對微分與微商掌握的熟練程度也成為了劃分高數(shù)學(xué)習(xí)的分水嶺友浸。豐富的嬗變形式是否有規(guī)可循？玄妙的解題思路背后幾何的意義何在偏窝？相似的結(jié)構(gòu)是否隱藏著“血緣關(guān)系”收恢？數(shù)學(xué)從不乏樂趣武学，數(shù)字之間，算法之中藏匿著許多不為人知的秘密等待我們探索伦意。同時這一部分的復(fù)雜思路也是困擾筆者多時火窒，讓我們“剪不斷，理還亂”驮肉。經(jīng)過仔細的分析熏矿，我認為從維度來看待各種變化具有很好的條理性。旨在為大家提供新的思路离钝，其實技巧實際也是乏善可陳票编。下面，請讀者跟隨我的腳步卵渴，一起探索微分與微商的奧秘栏妖。****
關(guān)鍵字：微分 微商 維度

目錄
1.1 微分與微商
1.1.1 微分的定義
1.1.2 微分的幾何意義
1.1.3 關(guān)于A的說明
1.2 維度
1.2.1 維度的概念
1.2.2 維度的可行性
1.2.2.1邏輯可行
1.2.2.2 數(shù)學(xué)可行
1.2.2.3 物理可行
1.2.2.4 小結(jié)
1.3 研究略圖
1.4 R1維度下的多級運算
1.4.1多個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)
1.4.2 多個函數(shù)相乘的微分
1.5R2維度下的多級運算
1.5.1 多級復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.5.2 多級復(fù)合函數(shù)的微分
1.6 R3維度下的多級運算
1.6.1函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
1.6.2 函數(shù)的高階微分
1.7 維度復(fù)合
1.7.1 牛萊公式的普適性
1.7.2 復(fù)合維度的運算
1.8 維度概念的拓展
1.8.1 一個可能存在的R引發(fā)的思考
1.8.1 對于維度的劃分
1.9 總結(jié)
1.10 參考
1.1 微分與微商
1.1.1 微分的定義
設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + Δx在此區(qū)間內(nèi)奖恰。如果函數(shù)的改變量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)）吊趾，而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎瑟啃，希臘字母论泛，o(Δx)的值為n(Δx)=Δy/Δx - f’(x)），那么稱函數(shù)f(x)在點x是可微的蛹屿，且AΔx稱作函數(shù)在點x相應(yīng)于自變量增量Δx的微分屁奏，記作dy，即dy = AΔx错负。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分坟瓢，且是Δx的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△x→0）犹撒。
這里注意折联，雖然微商和導(dǎo)數(shù)是等價的，并且可導(dǎo)是可微的充分必要條件识颊，但是兩者從概念上來說是不同的诚镰。
微商和導(dǎo)數(shù)的定義并不完全相同。導(dǎo)數(shù)從定義上來說是函數(shù)值隨著自變量變化的變化率祥款，即Δy/Δx清笨；微商起源于微量分析，可以分解成為AΔx 和o(Δx)兩個主要部分刃跛，而前一部分就是微分抠艾，它是函數(shù)值變化的主要部分，并不是全部桨昙。
另外检号，兩者的幾何意義也存在差異首懈。導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)在某一個點的斜率；而微商則是沿切線方向縱坐標(biāo)的變化量比橫坐標(biāo)的變化量谨敛，它只是函數(shù)變化的主要部分究履。
最重要的是對于非一元函數(shù)兩者并不等價。由于能力所限脸狸，以后將會做詳細分析最仑。
1.1.2 微分的幾何意義
微分的幾何意義圖如下

微分的幾何意義

由圖，對于自變量函數(shù)的增量Δy炊甲，有兩部分組成泥彤。ON段就是AΔx，而MN段是o(Δx)卿啡，由于Δx相當(dāng)?shù)男∫髁撸襇N的變化相對ON更低階，所以可以忽略颈娜。所以微商也可以解釋成Δy/Δx剑逃，或者是說圖中直線的正切值。
這就是微分的幾何意義官辽。
1.1.3 關(guān)于A的說明
也許初學(xué)者也會像筆者一樣迷惑蛹磺，A一定等于所在點的導(dǎo)數(shù)嗎？
其實是這樣的同仆。A其實是一個常數(shù)萤捆，此外A = limΔy/Δx。因為俗批，在微分的基本概念中有說明（△x→0）俗或，這一條件限定決定這個命題是正確的。
1.2 維度
1.2.1 維度的概念
從廣義上講岁忘，維度是事物“有聯(lián)系”的抽象概念的數(shù)量 辛慰，“有聯(lián)系”的抽象概念指的是由多個抽象概念聯(lián)系而成的抽象概念，和任何一個組成它的抽象概念都有聯(lián)系臭觉，組成它的抽象概念的個數(shù)就是它變化的維度昆雀，如面積。此概念成立的基礎(chǔ)是一切事物都有相對聯(lián)系 蝠筑。

1.2.2 維度的可行性
筆者反復(fù)思忖，認為維度觀解決微商和微分的多級運算具有很好的層次結(jié)構(gòu)揩懒，以便讓讀者理清思緒什乙。另外用這種立體的思維解決抽象的問題并不是無稽之談，具有一定的可行性已球。我暫時將函數(shù)化為三個維度臣镣。R_1表示f(x)辅愿、g(x)、h(x)……多個函數(shù)的基本四則運算忆某；R_2表示h(g(f(……)))多級復(fù)合函數(shù)函數(shù); R_3表示f^((n))或者dn即多階運算点待。我將從邏輯、數(shù)學(xué)弃舒、物理角度進行解釋癞埠。
1.2.2.1邏輯可行
從邏輯角度來看，維度的定義大抵是用低階的元素項目聋呢，來組成更具有豐盈感的多階項目苗踪。
觀賞過影片《盜夢空間》的讀者一定知道，主人公和他的團隊構(gòu)建了多層的夢境：低層次的夢是構(gòu)筑高層次夢境的基石削锰，每一個低層次的干擾會體現(xiàn)為一個更大的擾動反饋在高階夢里通铲。低階夢里的人無法進入高階世界，但可以影響他們器贩。簡而言之颅夺，低階元素“筑造”高階元素，影響著高階世界蛹稍，高階世界無法影響低階碗啄。低階元素?zé)o法進入高階，進入高階世界必須要通過低階世界稳摄。

推廣到此問題的研究和探討稚字，發(fā)現(xiàn)這樣看待無可厚非。每一個低階運算都影響著高階運算厦酬。階級之間有嚴(yán)密等級胆描，卻也存有關(guān)系。這樣說也許不具有說服力仗阅，而且會存在漏階級的可能性昌讲。但是出于研究層次的分明性，和利用科技黑洞（思維抽象性）的便利性减噪，這樣研究未嘗不可短绸。有人說，人類的思維無法同時掌控七個方面筹裕。我們剝離開不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆矫娲妆眨瑥姆爆嵉淖C明中抽離，先把研究函數(shù)作為目標(biāo)朝卒，這樣也許會收到奇效证逻。當(dāng)然數(shù)學(xué)的美也在于它的嚴(yán)謹(jǐn)，筆者能力有限抗斤，現(xiàn)階段還無法完成此證明囚企。日后若能領(lǐng)悟丈咐，將會繼續(xù)深究。
1.2.2.2 數(shù)學(xué)可行
雖然R_1無法從嚴(yán)格意義的角度上來看成為線性組合span來組成R_2龙宏，但是基本的四則運算一定是函數(shù)思維的基石棵逊。由于加減運算可以分離開，除法運算可以看成特殊的乘法（非零元素的乘法）银酗，所以我將會主要解釋乘法作為研究R_1的一般準(zhǔn)則辆影。

有的讀者也許會考慮到函數(shù)本身非線性，我認為可以把一個函數(shù)看成一個元素花吟。還有讀者會說即使看成一個元素秸歧，幾個函數(shù)之積也并非線性。筆者只是把四則運算作為一種運算法則歸結(jié)為R_1衅澈。需要說明的是键菱，筆者由于能力有限，無法證明出R_2組成的線性空間是或者可以構(gòu)成R_3今布，或者這其中還有其他的維度经备。不過看似無關(guān)的時間與機會，不也構(gòu)成了四維和五維關(guān)系嗎部默？
1.2.2.3 物理可行
數(shù)學(xué)的立體幾何本身就是物理模型的數(shù)學(xué)體現(xiàn)侵蒙。因此數(shù)學(xué)可行本身就是物理可行的理論論證。讀者可以將數(shù)學(xué)可行翻譯成物理模型傅蹂，就能直觀的感受到三個維度的分離與聯(lián)系纷闺。
1.2.2.4 小結(jié)
正如上文所述，這種研究有很大的漏洞份蝴，缺少嚴(yán)格證明犁功。但是筆者只是想給初學(xué)者一個清晰的條理。就如同量子力學(xué)的不確定性婚夫，為了獲得更輕松的研究方式浸卦，我們不得不失去了一定的準(zhǔn)確性，但可以暫時從中得到抽象案糙，進一步研究限嫌。
1.3 研究略圖

框架圖示

這是我進行研究的總框架圖，分為縱向和橫向兩個部分时捌。按照這條路線怒医，讀者的思路將會很清晰。事實上匣椰，我也是按照這條思路來寫的這篇論文裆熙。
1.4 R_1維度下的多級運算
1.4.1多個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，f_1(x)?f_2(x) = f_1^'(x)?f_2(x) + f_2^'(x)?f_1(x)
[f_1(x)?f_2(x)?f_3(x)] ^'
= f_1^'(x)?f_2(x)?f_3(x) + f_1(x)?f_2^'(x)?f_3(x) + f_1(x)?f_2(x)?f_3^'(x)
我們發(fā)現(xiàn)禽笑，每一次只有一個函數(shù)被導(dǎo)入录，其他的是原型，所以我們猜測有以下規(guī)律
[f_1(x)?f_2(x)???f_n(x)] ^'
= f_1^'(x)?f_2(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_n^'(x)
用歸納總結(jié)法進行如下證明
當(dāng)n = 1 時佳镜，顯然成立僚稿；
當(dāng) n = k-1 時，設(shè)有如下式子成立
[f_1(x)?f_2(x)???f_(k-1)(x)] ^'
= f_1^'(x)?f_2(x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_(k-1)^'(x)
當(dāng) n = k 時蟀伸，則
[f_1(x)?f_2(x)???f_k(x)] ^'
= [f_1^'(x)?f_2(x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_(k-1)^'(x)]?f_k(x) + f_k^'(x)?[f_1 (x)?f_2(x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2^ (x)???f_(k-1)(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_(k-1)^ (x)]
= f_1^'(x)?f_2(x)???f_k(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_k(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_k^'(x)
所以式子[f_1(x)?f_2(x)???f_n(x)] ^'
= f_1^'(x)?f_2(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_n^'(x)
得證
1.4.2 多個函數(shù)相乘的微分
類似地蚀同，我們也可以用歸納總結(jié)的方法得出多個函數(shù)相乘的微分表達式：
d[f_1(x)?f_2(x)???f_n(x)]
= [f_1(x)?f_2(x)???f_n(x)] ^'?△x
= [f_1^'(x)?f_2(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2^'(x)???f_n(x) + f_1(x)?f_2(x)???f_n^'(x)]?△x
1.5R_2維度下的多級運算
1.5.1 多級復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
f(g(x))〖^'〗 = f’(g(x)) ?f’(x)
f(g(h(x))) = f’(g(h(x))) ?g’(h(x))?h’(x)
就這樣我們又可以通過歸納總結(jié)找到規(guī)律并證明，也就是：
f_1^'(f_2'???f_n^' (x)) = f_1^'(f_2 ???f_n^ (x))?f_2^ (???f_n^' (x))???f_n^' (x)
筆者不再贅述啊掏。
1.5.2 多級復(fù)合函數(shù)的微分
首先我先介紹一下一階微分形式的不變性蠢络。
設(shè)函數(shù)為:y=f(u)。
這時:如果u是自變量,則函數(shù)y=f(u)的微分形式為:
dy=y'du=f'(u)du
如果u是中間變量,即u=g(x),函數(shù)就為復(fù)合函數(shù),自變量是x,即y=f[g(x)],復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得:y'=f'[g(x)]?g'(x),那么復(fù)合函
y=fg(x)的微分形式為:
dy=y'dx=f'[g(x)]?g'(x)dx,
因為u=g(x),g'(x)dx=du,帶入式得:
dy=f'(u)du.
這個定理的實質(zhì)是用微分的基本概念迟蜜。微商與△x的乘積等于微分刹孔，然后將展開后的元素進行等效替代，最后得出結(jié)論娜睛，發(fā)現(xiàn)無論在d 之后接什么樣的函數(shù)髓霞，無非就是將該函數(shù)求導(dǎo)然后與△x相乘。特別要注意畦戒，一階微分才有不變性方库，對于高階的微分，不變性并不適用障斋。當(dāng)然纵潦，維度復(fù)合在之后會有討論，我們現(xiàn)在大可不必在意垃环，只是知道好了邀层。因此又可以將上面的結(jié)論借用一下了
d f_1^ (f_2^ ???f_n^ (x))
=f_1^'(f_2'???f_n^' (x)) dx
= f_1^'(f_2 ???f_n^ (x))?f_2^ (???f_n^' (x))???f_n^' (x)?dx
1.6 R_3維度下的多級運算
1.6.1函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
由于每個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不同，形式差異很大晴裹，所以無法在這里一一列舉出所有函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)通式被济，但是方法是固定的，還是那個我們熟悉的歸納總結(jié)涧团。我在這里僅僅是列幾個幾個常見的高階導(dǎo)數(shù)
（sin或cos?x） ^n = 〖sin或cos(〗?〖x+〗 nπ/2)
(1/x) ^n = (-1) ^n?n! / x ^(n+1)
( ln (1 + x)) ^n = (-1) ^(n-1)?(n-1)! / (x+1) ^n
1.6.2 函數(shù)的高階微分
讀到這里只磷，我想，認真的讀者一定發(fā)現(xiàn)了規(guī)律泌绣。每一個R里面的微分總會和導(dǎo)數(shù)建立類似的關(guān)系钮追。是啊阿迈！畢竟微分?jǐn)?shù)值上等于導(dǎo)數(shù)與一個無窮小量之積元媚。但是，也要保持細心的態(tài)度，因為在某種情況下刊棕、出于一定原因它們可能會出現(xiàn)差錯炭晒。但是在這個例子里，剛才的結(jié)果還是適用的甥角。對于 d^nf(x) = f^n(x)?dx
1.7 維度復(fù)合
1.7.1 牛萊公式的普適性
一般的网严，如果函數(shù)u=u(x)與函數(shù)v=v(x)在點x處都具有n階導(dǎo)數(shù)，那么此時有

類似于上面的歸納總結(jié)方法進行證明嗤无，可以給中學(xué)生用于聯(lián)系歸納總結(jié)法震束，筆者不愿意再在這里浪費篇幅。我想為大家提供一個新的思路当犯。
這里我想回憶一下牛頓二項式定理(x+a)^n=∑_(k=0)n?〖(n|k) x^k a^(n-k) 〗這個定理想必大家都很熟悉了垢村。細心的讀者會發(fā)現(xiàn)，這個公式實質(zhì)上是對兩個項目的進行的排列組合算數(shù)嚎卫〖嗡ǎ可以把左邊的項目看作是有n個括號相乘，然后從中取得x和a進行的組合驰凛。同樣胸懈，函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)也是如此。通過第一次求導(dǎo)恰响，兩個相乘的函數(shù)被劃分成f_1^{'(x)?f_2(x)和f_2}'(x)?f_1(x)這兩部分趣钱，然后繼續(xù)求導(dǎo)會得出類似的結(jié)論。其實胚宦，這兩個操作并沒有什么差異首有，實質(zhì)上都是無序的組合。只不過牛頓二項式是選擇項目進行指數(shù)累加枢劝，牛頓萊布尼茲公式（以后寫作牛萊公式）選擇項目進行求多導(dǎo)井联。可以剝離出兩個步驟：第一步您旁，選擇項目烙常；第二步，操作鹤盒。兩者第一步相同蚕脏，都是從n個項目里進行選擇，自然會有相似的形式和結(jié)構(gòu)侦锯。因此驼鞭，筆者認為，牛頓萊布尼茲公式具有一定的普遍適用性尺碰。
我再把兩者放到一起挣棕，供大家對比译隘。
(x+a)^n=∑_(k=0)n?〖(n|k) x^k a^(n-k) 〗

1.7.2 復(fù)合維度的運算
一階微分具有形式不變性，那么高階微分具有不變性嗎洛心？
這個問題很好解答固耘，在二階微分的環(huán)境下，如果真的具有形式不變性皂甘，那么應(yīng)該使得f(x) 的二階倒數(shù)為兩個自變量為子函數(shù)的母函數(shù)的積玻驻，也就是讓f’(g(x)) = f’(x) 悼凑，需要讓g(x)=x偿枕，但是這種情況不能概述總體，所以户辫，二階微分不具有形式不變形渐夸。推廣到高階微分也同樣不具有，除非子函數(shù)全等于x 渔欢。
仔細研究這個過程墓塌，我們先使用 d^nf(x) = f^n(x)? dx ，也就是R_3奥额；再用求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法苫幢，也就是R_2；最后垫挨，如果有函數(shù)的四則運算韩肝，就再求R_1。也就是說九榔，運算的時候哀峻，應(yīng)該先從高維度開始。
當(dāng)然哲泊，實際上我們可以把這三個維度進行任意組合剩蟀。但運算的順序是不變的。
1.8 維度概念的拓展
1.8.1 一個可能存在的R引發(fā)的思考
筆者之所以對以上運算關(guān)系進行了維度劃分切威，就是因為看到了牛萊公式的普適性育特。其實牛頓二項式的存在也讓我曾有過這樣的想法：會不會存在一個R_x，讓n作為次方出現(xiàn)在維度的概念中先朦？
可能存在缰冤，也可能不在……
當(dāng)我系統(tǒng)的挖掘了維度觀念在數(shù)學(xué)微分微商中的應(yīng)用后，我突然發(fā)現(xiàn)烙无。我們無法真正確切地窮舉出所有的維度锋谐。這些維度像許多異世界，它們實際和我們存在這某種關(guān)聯(lián)截酷，我們卻無法察覺涮拗。人類的視覺是三維的，大多數(shù)人只能理解到四維或者五維的世界。我們劃分維度三热，是為了更簡潔地思考鼓择。就像計算機有核心信息、硬件就漾、軟件等等呐能，每個群體研究不同的層次，才使得信息行業(yè)蓬勃發(fā)展抑堡。
學(xué)過《線性代數(shù)》的同學(xué)一定知道摆出，映射的概念不僅存在于數(shù)字之間，一次線性變換后首妖，甚至維度都可以發(fā)生改變偎漫。我于是思考，我們?yōu)槭裁床荒芡卣咕S度的定義有缆，反而要糾結(jié)于準(zhǔn)確的維度定義而約束我們的思考呢象踊？
維度，其實也是我們思考的彼此相互關(guān)聯(lián)的角度……

1.8.2 對于維度的劃分
如剛才所言棚壁，維度其實界限并不是那么明顯杯矩。就如同直線、射線袖外、線段雖然都歸為二維平面內(nèi)的項目史隆，但實際上也有可能做進一步的類別劃分。因為直線可以看作是無限個趨向于兩個無窮的線段在刺；而射線可以看成是無限個趨向于一個無窮的線段逆害。并且線段是組成直線和射線的基本元素，卻永遠無法真正意義到達它們的層次蚣驼。難道魄幕，從這個角度看，不能把它們進一步做層次劃分嗎颖杏？
我們也許可以把每個維度進行進一步離散纯陨。而且離散維度本身意義不大，因為現(xiàn)實世界很多物體和信號是連續(xù)的留储，難以離散完全翼抠，我們劃分維度是為了思考的層次。就如同溫度計的水銀获讳，它的變化值是連續(xù)的阴颖，而反饋在我們眼里的往往是一位小數(shù)。我們不需要太精確丐膝，因為量愧，我們的目標(biāo)是利用這一工具來解決問題钾菊。這點還可以從最小二分法得證，我們永遠不會取中點到盡頭偎肃，只取到我們需要研究的層次即可煞烫。所以，我認為累颂，這種新穎的辦法無可厚非滞详。

最小二分法

1.9 總結(jié)
數(shù)學(xué)充滿和諧莽使、簡練和奇巧之美搪柑。數(shù)學(xué)大千世界,使人流連忘返,欲罷不能。而探索知識的漫漫長路上匣缘，從來都不乏假說瘦棋。那些被演繹的思維精粹稀火，積淀下來，成為歷史寶庫的珍寶赌朋；那些失敗的假想，有的成為重要的思維財富篇裁，有的則成為數(shù)學(xué)家們談笑風(fēng)生的素材彰顯著數(shù)學(xué)獨特的魅力沛慢。無論是累累果實還是傷痕瘡疤，它們都目視著人類對真理一步步的探索达布。

數(shù)學(xué)的魅力

無論用維度來解釋微分微商是否合理团甲，我都認為本文帶給讀者一點思考、激發(fā)一些靈感黍聂，開拓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新方式躺苦。
1.10 參考
《高等數(shù)學(xué)》，北京大學(xué)出版社产还，李忠匹厘、周建瑩編著
注明
由于簡書和office的兼容性問題，有一些符號并不如您所見脐区。如下標(biāo)會在簡書中體現(xiàn)成為下劃線加項目愈诚；導(dǎo)數(shù)和上標(biāo)會插進 ^ ，如果讀者對于格式有嚴(yán)格的要求牛隅，可以聯(lián)系筆者炕柔，下載office版本。
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