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2.2.2 數(shù)組及矩陣元素操作

對(duì)矩陣元素的操作是矩陣操作的基本技巧裹赴，下面將介紹矩陣元素的表示方式、子矩陣塊的尋訪和賦值以及矩陣的特殊操作等一些基本操作诀浪。

（1）矩陣元素的表示方式
矩陣和多維數(shù)組都是由多個(gè)元素組成的棋返，每個(gè)元素通過下標(biāo)來(lái)標(biāo)識(shí)。元素的標(biāo)示方式有兩種：全下標(biāo)方式和單下標(biāo)方式雷猪。

全下標(biāo)方式是指由行下標(biāo)和列下標(biāo)表示矩陣的元素睛竣，即指明是“第幾行，第幾列”位置上的元素求摇。使用該標(biāo)識(shí)方法比較直觀射沟，幾何概念比較清晰，是最常使用的一種標(biāo)識(shí)方式与境。例如一個(gè)m×n的A矩陣的第i行第j列的元素表示為A（i,j）验夯。

單下標(biāo)方式是指只用一個(gè)下標(biāo)來(lái)指明元素在數(shù)組中的位置。通過單下標(biāo)方式表示矩陣元素首先要把元素進(jìn)行一維編號(hào)摔刁。對(duì)于二維數(shù)組挥转，首先把二維數(shù)組的所有列按先左后右的次序首尾相接排成一維長(zhǎng)列，然后自上往下對(duì)元素位置進(jìn)行編號(hào)共屈。通過該編號(hào)就可以直接獲得指定位置的數(shù)組或矩陣元素绑谣。以m×n的矩陣A為例，若元素A（i,j）則對(duì)應(yīng)的“單下標(biāo)”為s=（j-1）×m＋i拗引。如果對(duì)于只有１行或１列的向量借宵，直接用A（i）來(lái)表示該向量中第i個(gè)元素。

【例2.8】矩陣元素的提取
>> A=rand(4) %生成一個(gè)4×4的隨機(jī)分布的矩陣A
上述語(yǔ)句生成一個(gè)（4×4）的隨機(jī)分布的矩陣A矾削，具體如下：
A = 0.9501 0.8913 0.8214 0.9218 0.2311 0.7621 0.4447 0.7382 0.6068 0.4565 0.6154 0.1763 0.4860 0.0185 0.7919 0.4057
①若要雙下標(biāo)方式提取矩陣A的第2行第3列對(duì)應(yīng)的元素壤玫，可在命令窗口輸入：
>> A(2,3) %雙下標(biāo)方式提取矩陣A的第2行第3列對(duì)應(yīng)的元素
則提取到的矩陣A中的元素顯示如下豁护，讀者可以對(duì)照上面的矩陣檢查提取到的元素是否是對(duì)應(yīng)位置上的元素。
ans = 0.4447
②若要單下標(biāo)方式提取第1行第3列對(duì)應(yīng)的元素欲间，可在命令窗口輸入：
>> A(15)
則提取到的矩陣A中的元素為：
ans = 0.1763

注意：（1）如果在提取矩陣元素值時(shí)择镇，矩陣元素的下標(biāo)行或列(i,j)大于矩陣的大小(m,n)，MATLAB會(huì)提示出錯(cuò)括改；
（2）在給矩陣元素賦值時(shí)腻豌，如果行或列(i,j)超出矩陣的大小(m,n)，MATLAB會(huì)自動(dòng)擴(kuò)充矩陣嘱能，擴(kuò)充部分以0填充吝梅。

（2）子矩陣塊的尋訪和賦值
在理解和掌握了對(duì)矩陣元素標(biāo)識(shí)的方法后，就很容易理解和掌握子矩陣的尋訪和賦值操作惹骂。子矩陣是從對(duì)應(yīng)矩陣中取出一部分元素構(gòu)成苏携，用全下標(biāo)或單下標(biāo)方式提取子矩陣或進(jìn)行重新賦值，具體參見表2.3对粪。

【例2.9】對(duì)矩陣A控乾，以不同的方式進(jìn)行尋訪操作示例
>> A=magic(4); %創(chuàng)建4×4的魔方矩陣A
下面將對(duì)魔方矩陣A以不同的方式進(jìn)行尋訪操作么介，讀者可以將下面各語(yǔ)句執(zhí)行的結(jié)果與矩陣A中的元素進(jìn)行比較，以加深對(duì)矩陣元素尋訪操作的理解蜕衡。
①若以單下標(biāo)方式尋訪矩陣A中編號(hào)為1和4對(duì)應(yīng)的元素壤短，可在命令窗口輸入：
>> B=A([1,4])
結(jié)果顯示如下：
B = 16 4
②若以雙下標(biāo)方式尋訪矩陣A中第1、3行和第2慨仿、3列對(duì)應(yīng)的元素久脯，可在命令窗口輸入：
>> B1=A([1 3],[2 3])
尋訪到的矩陣A中的元素如下：
B1 = 2 3 7 6
若以雙下標(biāo)方式尋訪矩陣A中第1到3行和第2到3列上對(duì)應(yīng)的元素，可在命令窗口輸入：
>> B2=A(1:3,2:3)
尋訪到的矩陣A中的元素如下：
B2 = 2 3 11 10 7 6
④若要尋訪矩陣A的第3列對(duì)應(yīng)的所有元素镰吆，可在命令窗口輸入：
>> B3=A(:,3)
結(jié)果顯示如下：
B3 = 3 10 6 15
⑤若要尋訪矩陣A第1至3行的最后一個(gè)元素帘撰，可在命令窗口輸入：
>> B4=A(1:3,end) %end表示最后行或者列
提取到的矩陣的元素顯示如下：
B4 = 13 8 12

在實(shí)際使用過程中，經(jīng)常會(huì)遇到尋找矩陣中大于某個(gè)值的元素等類似的問題万皿，當(dāng)遇到此類問題時(shí)采用邏輯矩陣的方法來(lái)提取子矩陣或進(jìn)行重新賦值操作就很方便摧找。所謂的邏輯矩陣就是該矩陣對(duì)應(yīng)的各元素取值只能為1或0。使用邏輯矩陣尋訪矩陣時(shí)牢硅，邏輯矩陣的大小和將要尋訪矩陣的大小相同蹬耘，可以用A(L)來(lái)提取矩陣A中的子矩陣，其中L為邏輯向量或邏輯矩陣减余，當(dāng)L的元素為0時(shí)則不取該位置元素婆赠，為1則取該位置的元素。

【例2.10】利用邏輯矩陣來(lái)提取矩陣
>> A=rand(4) 生成一個(gè)4×4的隨機(jī)矩陣A
上述語(yǔ)句生成一個(gè)（4×4）的如下隨機(jī)矩陣A：
A = 0.9355 0.0579 0.1389 0.2722 0.9169 0.3529 0.2028 0.1988 0.4103 0.8132 0.1987 0.0153 0.8936 0.0099 0.6038 0.7468
下面將利用邏輯矩陣對(duì)隨機(jī)矩陣A進(jìn)行尋訪操作佳励，讀者可以將下面各語(yǔ)句執(zhí)行的結(jié)果與矩陣A中的元素進(jìn)行比較休里，以加深對(duì)利用邏輯矩陣對(duì)矩陣尋訪操作的理解。
①若要提取矩陣A第一列上L1向量的值為1對(duì)應(yīng)的元素赃承，首先在命令窗口輸入邏輯向量L1：
>>L1=logical([1 0 1 1]) %生成行邏輯向量
然后在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> A(L1)
通過L1提取到的矩陣中的元素如下：
ans = 0.9355 0.4103 0.8936
②利用矩陣B提取矩陣A中所有>0.5的元素妙黍。
首生成矩陣B，可以在命令窗口輸入以下內(nèi)容：
>> B=A>0.5;
上述語(yǔ)句判斷矩陣A中所有元素是否>0.5瞧剖，如果該元素>0.5則返回矩陣對(duì)應(yīng)的該位置顯示1拭嫁，否則顯示0。然后利用矩陣B提取矩陣A中所有>0.5的元素抓于。在命令窗口輸入：
>> A(B)’ %為了方便顯示做粤，轉(zhuǎn)化為行向量
結(jié)果顯示如下：
ans = 0.9355 0.9169 0.8936 0.8132 0.6038 0.7468

【例2.11】矩陣的賦值
可以采用單下標(biāo)方式和雙下標(biāo)方式對(duì)矩陣的元素賦值，通過下面的操作可以看出捉撮，采用雙下標(biāo)方式比較直觀和容易操作怕品，仍然采用例2.10所示的隨機(jī)矩陣A。
①采用雙下標(biāo)方式將矩陣A第1到2行和第1到3列對(duì)應(yīng)的元素賦值為1巾遭。在命令窗口輸入：
>> A(1:2,1:3)=[1 1 1;1 1 1] %將A矩陣的1肉康，2兩行闯估，1到3列對(duì)應(yīng)元素賦值為1
上述語(yǔ)句執(zhí)行的結(jié)果如下，對(duì)比上面的矩陣A觀察賦值后的變化吼和。
A = 1.0000 1.0000 1.0000 0.2722 1.0000 1.0000 1.0000 0.1988 0.4103 0.8132 0.1987 0.0153 0.8936 0.0099 0.6038 0.7468
②采用單下標(biāo)方式將矩陣A的編號(hào)為12至15的四個(gè)元素賦值為1涨薪。對(duì)應(yīng)為A矩陣的第4行第3列元素以及第4列的1到3行元素。在命令窗口輸入：
>> A(12:15)=[1 1 1 1] %將A矩陣的第12到15個(gè)位置賦值為1炫乓。
上述語(yǔ)句執(zhí)行的結(jié)果如下刚夺，對(duì)比上面的矩陣A觀察賦值后的變化。
A = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4103 0.8132 0.1987 1.0000 0.8936 0.0099 1.0000 0.7468
③采用單下標(biāo)方式A(:)=B的形式給矩陣A的所有元素賦值時(shí)末捣，矩陣B的元素總數(shù)必須等于矩陣A的元素總數(shù)光督，但行列數(shù)不一定相等。例如：
>> A=[1 2;3 4;5 6] %生成A矩陣
>> B=[1 2 3;4 5 6] %生成B矩陣
在命令窗口輸入以下內(nèi)容塔粒，利用矩陣B對(duì)矩陣A進(jìn)行賦值结借。
>> A(:)=B %用B對(duì)A進(jìn)行賦值
上述語(yǔ)句的執(zhí)行結(jié)果如下：
A = 1 5 4 3 2 6

【例2.12】矩陣元素的刪除
刪除操作就是把選定的矩陣元素賦值為空矩陣(用[]表示)。首先在MATLAB工作空間創(chuàng)建一個(gè)四階的魔方陣卒茬，使用magic命令如下所示：
>> A=magic(4) %生成四階的魔方陣
下面將對(duì)矩陣A進(jìn)行刪除操作船老，可以將以下各語(yǔ)句的執(zhí)行結(jié)果與矩陣A進(jìn)行比較，理解矩陣刪除操作的執(zhí)行情況圃酵。
①將矩陣A的第三列用空陣代替柳畔，即刪除第三列上的元素」停可在命令窗口輸入：
>> A(:,3)=[] %刪除矩陣A的第三列元素
刪除第三列上所有元素后薪韩，矩陣如下：A = 16 2 13 5 11 8 9 7 12 4 14 1
②使用單下標(biāo)刪除矩陣相關(guān)操作和賦值語(yǔ)句基本相同，在命令窗口中輸入：
>> A=magic(4) %生成四階的魔方陣
>> A(15)=[] %刪除A矩陣的第15個(gè)元素捌锭，此時(shí)A成為15個(gè)元素的行向量俘陷；

注意： 使用矩陣元素刪除操作時(shí)，不允許使用具體下標(biāo)的形式刪除某行或者某列中的單個(gè)元素观谦，否則拉盾，無(wú)法形成矩陣。因此通常采用整行或者整列元素的刪除方式豁状。

【例2.13】生成大矩陣
在MATLAB中捉偏，可以通過方括號(hào)“[]”實(shí)現(xiàn)對(duì)已有的矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，將小矩陣聯(lián)接起來(lái)生成一個(gè)較大的矩陣泻红。MATLAB提供了反轉(zhuǎn)夭禽、提取、插入谊路、重組等多種操作讹躯，在后面的相關(guān)章節(jié)會(huì)有所介紹，在這里只簡(jiǎn)單的介紹將兩個(gè)比較小的矩陣合并為一個(gè)比較大的矩陣的操作。首先在MATLAB工作空間創(chuàng)建一個(gè)四階的單位對(duì)角陣：
>>A=eye(4) %生成對(duì)角單位陣列
以單位矩陣A為基礎(chǔ)蜀撑，通過矩陣的合并生成比較大的矩陣。
①將矩陣A上下疊加生成新矩陣剩彬。在命令窗口中輸入：
>> B=[A;A] %上下重疊矩陣酷麦，相當(dāng)于操作reshape(A,2,1)
②將矩陣A左右疊加生成新矩陣。在命令窗口中輸入：
>> C=[A A] %左右疊加矩陣喉恋，相當(dāng)于操作reshape(A,1,2)

（3）矩陣的特殊操作
MATLAB提供了對(duì)矩陣的特殊操作沃饶，比較常用的有矩陣的上三角和下三角矩陣的提取、矩陣翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)等操作詳見表2.4所示轻黑。

【例2.14】矩陣特殊操作的示例
首先在MATLAB命令行窗口中輸入以下命令升酣，生成四階的魔方陣：
>> X=magic(4) %生成四階的魔方陣
下面將以矩陣X為基礎(chǔ)，進(jìn)行矩陣的三角矩陣提取态罪、矩陣的翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)等各種操作噩茄。表2.4中已經(jīng)詳細(xì)地介紹了矩陣的相關(guān)操作函數(shù)，這里不一一舉例演示相關(guān)函數(shù)的使用复颈。提取矩陣X上三角矩陣操作绩聘，可在命令窗口中輸入：
>> triu(X) %提取矩陣的上三角矩陣，下三角元素為零
提取得到的矩陣X的上三角矩陣如下：
ans = 16 2 3 13 0 11 10 8 0 0 6 12 0 0 0 1

作者：德特?cái)?shù)據(jù)
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