學(xué)習(xí)筆記DID和DDD（其四）

天鷹（中南財大——博士研究生）
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雙重差分法的前提條件：

隨機分組琉历。（若分組結(jié)果由個人因素決定医男，并非隨機分組卦方。例如，大部分觀測數(shù)據(jù)就是如此。）
實驗或處理變量（如，政策變量）與其他可能影響實驗結(jié)果的變量不相關(guān)。（若不滿足晋修，將忽略因素，納入模型即可凰盔。）
即使沒有實驗存在墓卦，控制組和實驗組的時間趨勢相同。
雙重差分法户敬，可加入其它解釋變量落剪；也可推廣至多期情形。

將下列模型中的實驗期虛擬變量尿庐，變成【時點虛擬變量】即可忠怖。
$Y_{it}=\beta_0 + \beta_1X_{it}+\beta_2Treat_i+\phi Period_t+\epsilon_{it}$
例如， 1,2,..., 抄瑟； 10凡泣，時點虛擬變量的【基礎(chǔ)類型】就是t= 1

$Y_{it}=\beta_0 + \beta_1X_{it}+\beta_2Treat_i+\psi_1D_{2t}+\psi_1D_{3t}+...+\psi_9D_{10t}+\epsilon_{it}$

三重差分（DDD）

背景

若即使沒有實驗存在，控制組和實驗組的時間趨勢
也不相同皮假，此時鞋拟，雙重差分法失效，該怎么辦惹资？

三重差分法的前提條件
- 隨機分組贺纲。（若分組結(jié)果由個人因素決定，并非隨機分組褪测。例如猴誊，大部
  分觀測數(shù)據(jù)就是如此。）
- 實驗或處理變量（如侮措，政策變量）與其他可能影響實驗結(jié)果的
  變量不相關(guān)懈叹。（若不滿足，將忽略因素分扎，納入模型即可项阴。）
- 若即使沒有實驗存在，控制組和實驗組的時間趨勢也不相
  同笆包，則雙重差分法無法得到實驗效應(yīng)的一致估計环揽。
案例介紹

（陳強， 2014）：假設(shè)美國 B 州庵佣，針對65歲及以上老年
人（記為 E ）歉胶，引入了一項新的醫(yī)療保健政策，且該政策不適
用于65以下人群記為 N ）巴粪。
現(xiàn)試圖考察通今，此政策對健康狀況 Y 的影響。

做法1 以 B 州65歲及以上老年人作為實驗組肛根，以該州65
歲以下人群作為控制組辫塌，然后進(jìn)行雙重差分法估計。（此處派哲，
年齡是否超過65作為處理變量臼氨。）
然而，該做法的潛在缺陷是芭届，年輕人相對于老年人的相對健
康狀況本身可能隨時間發(fā)生變化储矩。（即使沒有新政策）
【做法2】以相鄰 A 州的65歲及以上老年人作為控制組，然
后褂乍，進(jìn)行雙重差分法估計持隧。（此處， 65及以上老年人所在的州逃片，作為
處理變量屡拨。）
然而，該做法的缺陷是褥实，忽略了 A呀狼、 B 州老年人的健康狀況
也有可能有不同的時間趨勢。

注意要求 A性锭、 B 州控制組和實驗組的時間趨勢差異相似赠潦。

因此，較為穩(wěn)讲莞浴（穩(wěn)妥）的做法是將上述兩種DID方法結(jié)合起來她奥。

進(jìn)行分析較為穩(wěn)健的做法是將兩種DID方法結(jié)合起來，估計下列模型怎棱，

$Y_{jit}=\beta_0+\beta_1 S_j+\beta_2 E_i+\beta_3 S_j E_i+\gamma_0 D_t+\gamma_1D_t S_j+\gamma_2D_t E_i+\delta D_t S_j E_i+\epsilon_{it}$

                              j=A,B;  i=1,2,...,N;   t=1,2

【注意】三重差分法哩俭，有2個處理變量， 1個實驗期虛擬變量

州虛擬變
$S_i= \begin{cases} 1& \text{j是B州}\\ 0& \text{j是A州} \end{cases}$
拳恋，度量【不同州】的【州情差異】凡资；
實驗期虛擬變量
$D_t= \begin{cases} 1& \text{t=2}\\ 0& \text{t=1} \end{cases}$
，度量【實驗前后】的【時間差異】；
老年人虛擬變量
$D_t= \begin{cases} 1& \text{i是65歲及以上}\\ 0& \text{其他} \end{cases}$
隙赁，度量【不同年齡人】的差異垦藏。

$E(Y_{jit})=\beta_0+\beta_1 S_j+\beta_2 E_i+\beta_3 S_j E_i+\gamma_0 D_t+\gamma_1D_t S_j+\gamma_2D_t E_i+\delta D_t S_j E_i+\epsilon_{it}（1）$
j=A,B; i=1,2,...,N; t=1,2

【2.當(dāng)t=1】,即D_t=0，代入式（1）伞访，整理得
$E(Y_{jit})=\beta_0+\beta_1 S_j+\beta_2 E_i+\beta_3 S_j E_i（5）$
（1）j=B州掂骏，即 $S_i=1$ ,代入式（5），整理得
$E(Y_{Bi1})=(\beta_0+\beta_1)+(\beta_2+\beta_3)E_i (6.1)$

$E(Y_{Ai1})=\beta_0+\beta_2E_i (6.2)$
（2）i是老年人用E表示厚掷，即 $E_i$ =1,代入式（6.1）弟灼，整理得
$E(Y_{BE1})=\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3 (7.11)$
$E(Y_{BN1})=\beta_0+\beta_1(7.12)$
$E(Y_{AE1})=\beta_0+\beta_2(7.21)$
$E(Y_{AN1})=\beta_0(7.22)$

由雙重差分法知，以州年輕人為控制組冒黑，州老年人為實驗組的處理效應(yīng):
$[E(Y_{BE2})-E(Y_{BE1})]-[E(Y_{BN2})-E(Y_{BN1})]=\gamma_2+\delta (8)$

然而田绑，式未控制沒有新政策下的控制組和實驗組可能存在的時間趨勢差異。于是抡爹，通過未實施新政策的州掩驱，來獲取【時間趨勢差異】：

$[E(Y_{AE2})-E(Y_{AE1})]-[E(Y_{AN2})-E(Y_{AN1})]=\gamma_2 (9)$
并在式(8) 的基礎(chǔ)上，剔除沒有新政策下控制組和實驗組可能存在的時間趨勢差異（式(9)所示）豁延，便得到新政策下昙篙，【純處理效應(yīng)】即

${[E(Y_{BE2})-E(Y_{BE1})]-[E(Y_{BN2})-E(Y_{BN1})]}- {[E(Y_{AE2})-E(Y_{AE1})]-[E(Y_{AN2})-E(Y_{AN1})]}$
可將式 (4.11-4.12) 、式 (7.11-7.12)代入上式得诱咏，純處理效應(yīng)$ =\delta
由式子（4.11）苔可，式（7.11），式（4.12）袋狞，式（7.12）得焚辅，
$[E(Y_{BE2})-E(Y_{BE1})]-[E(Y_{BN2})-E(Y_{BN1})]=[(\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3+\gamma_0+\gamma_1+\gamma_2+\delta)-(\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3)]-[(\beta_0+\beta_1+\gamma_0+\gamma_1)-(\beta_0+\beta_1)]=(\gamma_0+\gamma_1+\gamma_2+\delta)-(\gamma_0+\gamma_1)=\gamma_2+\delta$

由式（4.12），式（7.12）苟鸯，式（4.22）同蜻，式（7.22）得
$[E(Y_{AE2})-E(Y_{AE1})]-[E(Y_{AN2})-E(Y_{AN1})]=[(\beta_0+\beta_2+\gamma_0+\gamma_2)-(\beta_0+\beta_2)]-[(\beta_0+\gamma_0)-\beta_0]=(\gamma_0+\gamma_2)-\gamma_0=\gamma_2$
新政策下，【純處理效應(yīng)】早处，即

${[E(Y_{BE2})-E(Y_{BE1})]-[E(Y_{BN2})-E(Y_{BN1})]}- {[E(Y_{AE2})-E(Y_{AE1})]-[E(Y_{AN2})-E(Y_{AN1})]}=\delta$

三重差分純效應(yīng)