1.3 概率的定義與性質(zhì)

對概率的直觀認識

（隨機）事件發(fā)生的可能性（的大须狗铡）
取值是客觀確定的蔚鸥，不受人的主觀意愿影響
- 可以通過大量重復試驗加以檢驗
越容易發(fā)生的事件概率（值）越大，越不容易發(fā)生的事件的概率（值）越小
- 不可能事件的概率： $P ( \Phi ) = 0$
- 必然事件的概率： $P ( \Omega ) = 1$

概率論關(guān)注的基本問題 如何理解或確定隨機事件發(fā)生可能性的大小

概率的幾種來源

頻率：在一系列重復試驗中事件發(fā)生的頻率
- 例：重復擲骰子秸弛，得到每個點數(shù)出現(xiàn)概率越來越精確的值
- 例：蒲豐投針實驗谊却，重復的次數(shù)冰沙，得到的 $\pi$ 值約精確
（主觀）假設 ：依據(jù)以往的經(jīng)驗或歷史觀察的積累形成主觀判斷（基于某種專家共識提出數(shù)學假設）
- 信念：
  - 例：中國足球隊有很大概率從世界杯小組賽出線，概率為30%
  - 例：某特大案件被偵破的概率為60%
  - 例：明天股市上漲的概率為70%
  - 例：校運會當天下雨的概率為95%
- 約定：
  - Principle of Indifference（同等無知原則）：如果沒有任何理由認為某種可能性比其他可能性有優(yōu)勢的時候花盐，我們應給予這些可能性同等的主觀概率
  - 例：例拋一枚均勻的硬幣,正、反面出現(xiàn)的概率相同
  - 例：將一段木棒任意截為兩段,木棒上截點機會均等
  - 例：向某區(qū)域投擲一小球,認為小球落在區(qū)域內(nèi)任何點都是等可能的
  - 例：物理學中，研究分子熱運動時碴萧，假設每個分子朝任何方向的運動都是等可能的

James Bernoulli(1654-1705)在著作Arts of Conjecturing（《推測術(shù)》侥啤、《猜度術(shù)》、《推想的藝術(shù)》）中熙揍，將概率分為主觀概率和客觀概率职祷，前者來源于某種主觀的判斷，后者則依賴于某種推理和計算∮邪穑客觀概率又被分為古典概率和統(tǒng)計概率是尖，前者基于先驗的主觀概率進行推算，后者則需要利用頻率加以估計泥耀。

Bertrand's Paradox：在半徑為 $r$ 的圓內(nèi)“任意”作一弦饺汹，求此弦長度 $l$ 大于圓內(nèi)接等邊三角形邊長 $\sqrt3r$ 的概率 $p$ 。

三種不同的等可能假設

解法一：考慮弦的中點在圓內(nèi)的任意性,則有
$p = \frac { \pi ( r / 2 ) ^ { 2 } } { \pi r ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 }$
解法二：考慮弦的端點在圓周上的任意性,則有
$p=\frac{AB\text{的弧長}}{圓周長}=\frac13$
解法三：考慮弦的中點到圓心的距離的任意性,則有
$p = \frac { r / 2 } { r } = \frac { 1 } { 2 }$

同一問題有三種不同答案爆袍，究其原因在于圓內(nèi)“取弦”時規(guī)定尚不夠具體首繁，不同的“等可能性假定”導致了不同的樣本空間，具體如下：其中“均勻分布”應理解為“等可能取點”陨囊。

解法一中弦疮，假定弦的中點在直徑上均勻分布，直徑上的點組成樣本空間 $\Omega_1$
解法二中假定弦的另一端在圓周上均勻分布蜘醋，圓周上的點組成樣本空間 $\Omega_2$
解法三中假定弦的中點在大圓內(nèi)均勻分布胁塞，大圓內(nèi)的點組成樣本空間 $\Omega_3$
可見，上述三個答案是針對三個不同樣本空間引起的压语，它們都是正確的啸罢，貝特朗悖論引起人們注意，在定義概率時要事先明確指出樣本空間是什么胎食。

更多的分析和解釋：Bertrand悖論淺析

概率的公理化

1902年,勒貝格(H.Lebesgue)的論文《積分扰才、長度和面積》建立了測度論基礎
物體的長度，平面區(qū)域的面積都是一種“測度”,具有“非負性”與“可加性”的特征
研究發(fā)現(xiàn)“概率”實際上是對隨機事件發(fā)生可能性大小的一種“度量”,也應具有“測度”的特征
1933年厕怜，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫在測度論基礎上建立了概率論公理化體系

概率的定義
設 $\mathscr{F}$ 是樣本空間 $\Omega$ 上的事件域衩匣，對任意 $A\in\mathscr{F}$ ，若存在實數(shù) $P(A)$ 與之對應粥航，且滿足

非負性 ： $P(A)\geq 0,\;(A\in\mathscr{F})$
規(guī)范性 ： $P(\Omega)=1$
可列可加性 ：對兩兩不相容的事件列 $\{A_k\}_{k=1}^{\infty}$ 琅捏，有
$P \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P \left( A _ { k } \right)$
則稱 $P(A)$ 為事件A的概率，稱 $\{\Omega,\mathscr{F},P\}$ 為概率空間

注：

概率是定義在事件域上的函數(shù)
“非負性”和“可列可加性”是測度的本質(zhì)特征
“規(guī)范性”并非概率的本質(zhì)特征递雀，而是一個人為的約定柄延！

概率的性質(zhì)

$P ( \varnothing ) = 0$
有限可加性 ：若 $A_1,A_2,...,A_n$ 兩兩不相容，則
$P \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { n } P \left( A _ { k } \right)$
真差與單調(diào)性 ：若 $A\subset B$ 缀程，則 $P ( A ) \leq P ( B )$ 搜吧，且
$P ( B - A ) = P ( B ) - P ( A )$
$0 \leq P ( A ) \leq 1$
$P ( \overline { A } ) = 1 - P ( A )$
加法公式 對任何事件 $A,B$ ，有
$P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )$

三事件的加法公式

三事件的加法公式

$\begin{aligned} P \left( A _ 1 \cup A _ { 2 } \cup A _ { 3 } \right) & = P \left( A _ { 1 } \right) + P \left( A _ { 2 } \right) + P \left( A _ { 3 } \right) \\ & - P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \right) - P \left( A _ { 2 } A _ { 3 } \right) - P \left( A _ { 1 } A _ { 3 } \right) \\ & + P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 3 } \right) \end{aligned}$

挖補公式
$\begin{aligned} P \left( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup \cdots \cup A _ { n } \right) = & \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( A _ { i } \right) - \sum _ { i \leq i < j \leq n } P \left( A _ { i } A _ { j } \right) \\ & + \sum _ { 1 \leq i < j < k \leq n } P \left( A _ { i } A _ { j } A _ { k } \right) \\ &- \sum _ { 1 \leq i < j < k < l \leq n } P \left( A _ { i } A _ { j } A _ { k } A _ { l } \right)\\ &+ \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n } \right) \end{aligned}$