第六講中值定理

這一講的內(nèi)容主要考證明題

中值定理總共分三個部分：涉及函數(shù)的中值定理涮阔，涉及導(dǎo)數(shù)的定理以及涉及積分的定理

第一部分涉及函數(shù)的中值定理

$\begin{cases}有界與最值定理\\介值定理\\平均值定理\\零點定理\end{cases}$
設(shè) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù)猜绣，則

有界與最值定理： $m\le f(x)\le M$ 灰殴，其中敬特，m，M分別為 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值牺陶，即連續(xù)必有界
介值定理：當(dāng) $m\le \mu \le M$ 時伟阔，存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $f(\xi)=\mu$
平均值定理：當(dāng) $a\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt b$ 時掰伸，在 $[x_1,x_n]$ 內(nèi)至少有一點 $\xi$ 皱炉，使 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$
（多個函數(shù)值相加的時候可以考慮使用平均值定理）
零點定理：當(dāng) $f(a)\cdot f(b)\lt 0$ 時，存在 $\xi\in(a,b)$ 狮鸭，使得 $f(\xi)=0$

第二部分涉及導(dǎo)數(shù)的中值定理(必考)

$\begin{cases}費馬定理\\羅爾定理\\拉格朗日中值定理\\柯西中值定理\\泰勒公式\end{cases}$

費馬定理：設(shè) $f(x)$ 滿足在點 $x_0$ 處可導(dǎo)并且取極值合搅，則 $f'(x_0)=0$

證明 $\color{red}{(需要掌握)}$
$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
不妨設(shè) $x=x_0$ 為 $f(x)$ 的極大值點，則在鄰域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 內(nèi)有歧蕉， $f(x) \le f(x_0)$ 灾部，故
在區(qū)間 $(x_0-\delta,x_0)$ 內(nèi)， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$
在區(qū)間 $(x_0,x_0+\delta)$ 內(nèi)惯退， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0$
由極限的保號性可知
$\lim_{x\to x^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$
$\lim_{x\to x^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$
因為 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處可導(dǎo)赌髓，所以有
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$
故 $f'(x_0)=0$

費馬定理通常用在證明函數(shù)某點導(dǎo)數(shù)等于零的考題中，使用費馬定理只需說明可導(dǎo)函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)部取到

例題
$\color{red}{(導(dǎo)數(shù)零點定理)}$ 設(shè) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導(dǎo)催跪，證明當(dāng) $f_+'(a)\cdot f_-'(b)\lt 0$ 時锁蠕，存在 $\xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$
不妨設(shè) $f'_+(a)>0,f'_-(b)<0$
$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$
$f'_-(a)=\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$
由極限的保號性可得
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$
$\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$
故 $f(x)\gt f(a),f(x)\gt f(b)$
$\therefore f(x)$ 在區(qū)間 $(a,b)$ 內(nèi)部取得極大值懊蒸，設(shè)為 $x=x_0$ 處荣倾，由費馬定理可得 $f'(x_0)=0$

羅爾定理：設(shè) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)骑丸，并且f(a)=f(b)逃呼，則存在 $\xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$
使用羅爾定理的難點在于證明端點的函數(shù)值相等者娱，如果區(qū)間的端點不可取抡笼，那么端點的函數(shù)值可以用相應(yīng)的左右極限代替，如果極限不存在黄鳍，但是兩個端點趨向相同方向的無窮大也可以使用羅爾定理
當(dāng)然推姻，一般的考題形式并不是直接在原式上使用羅爾定理，而是需要構(gòu)建一個輔助函數(shù)框沟，也就是要弄清楚對哪個函數(shù)使用羅爾定理

構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法一般都是乘積求導(dǎo)公式 $(uv)'=u'v+uv'$ 的逆用：

題干形式為 $f(x)f'(x)$ 藏古，作 $F(x)=f^2(x)$
題干形式為 $[f'(x)]^2+f(x)f''(x)$ 增炭，作 $F(x)=f(x)f'(x)$
題干形式為 $f'(x)+f(x)\varphi'(x)$ ，作 $F(x)=f(x)e^{\varphi(x)}$
$\varphi(x)=x$ 拧晕，對應(yīng)的題干形式為 $f'(x)+f(x)$
$\varphi(x)=-x$ 隙姿，對應(yīng)的題干形式為 $f'(x)-f(x)$
$\varphi(x)=kx$ ，對應(yīng)的題干形式為 $f'(x)-kf(x)$

例題1
設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續(xù)厂捞，在 $(0,1)$ 內(nèi)可導(dǎo)输玷，且 $f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$ ，證明
(1)存在 $\eta\in(\frac{1}{2},1)$ 靡馁，使得 $f(\eta)=\eta$
令 $G(x)=f(x)-x$
則 $G(\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\gt 0$
$G(1)=f(1)-1=0-1=-1\lt 0$
由介值定理可知欲鹏，存在一點 $\eta\in(\frac{1}{2},1)$ 醋虏，使得 $G(\eta)=0$ 擎淤，即 $f(\eta)=\eta$
(2)證明對于 $\lambda,\exists\xi\in(0,\eta)$ 恋腕，使得 $f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$
令 $F(x)=(f(x)-x)e^{\lambda x}$
$\because F(0)=F(\eta)=0$
$\therefore \exists\xi\in(0,\eta)$ 使得 $F'(\xi)=0$ 感憾，即
$e^{\lambda x}(f'(\xi)-1-\lambda[f(\xi)-\xi]=0$
$f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$

拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù)抹恳，在 $(a,b)$ 上可導(dǎo)犬辰，則存在 $\xi\in(a,b)$ 惹资，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
拉格朗日中值定理的幾何意義：端點割線的斜率與區(qū)間某一點的切線斜率相等

題干中出現(xiàn)類似 $f-f$ 形式的結(jié)構(gòu)時撮慨，可以考慮使用拉格朗日中值定理解決结缚；題干中出現(xiàn)了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系式時损晤，也可以使用拉格朗日中值定理解決

例題2
設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上連續(xù)，在 $(0,3)$ 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)掺冠，且滿足 $2f(0)=\int_0^2f(x)dx=f(2)+f(3)$ 沉馆，證明
(1)存在 $\eta\in(0,2)$ ，使得 $f(\eta)=f(0)$
令 $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ 德崭，則 $F(0)=0,F(2)=2f(0)$
由拉格朗日中值定理可得斥黑，存在 $\eta\in(0,2)$
$F(2)-F(0)=F'(\eta)(2-0)$
$2f(0)=2f(\eta)$
$f(0)=f(\eta)$
(2)存在 $\xi \in(0,3)$ ，使得 $f''(\xi)=0$
由平均值定理可得： $\exists t\in [2,3],\frac{f(2)+f(3)}{2}=f(t)$
$\because f(0)=\frac{f(2)+f(3)}{2}$
$\therefore f(t)=f(0)$
故 $\exists \xi_1\in(0,\eta),f'(\xi_1)=0,\exists\xi_2\in(\eta,\xi),f'(\xi_2)=0$
$\because f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$
$\therefore \exists \xi,f''(\xi)=0,\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,3)$

如果題目中要求計算出兩個不同的中值眉厨，那么就需要劃分出兩個不同的區(qū)間

例題
設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續(xù)锌奴，在 $(0,1)$ 內(nèi)可導(dǎo)，且 $f(0)=0,f(1)=1$ 憾股，證明存在兩個不同的 $\xi_1,\xi_2\in(0,1)$ 鹿蜀，使得 $\frac{1}{f'(\xi)}+\frac{1}{f'(\xi)}=2$
設(shè)在區(qū)間 $(0,t)$ 內(nèi)， $\frac{1}{f('\xi_1)}=\frac{t}{f(t)}$
在區(qū)間 $(t,1)$ 內(nèi)服球， $\frac{1}{f'(\xi_2)}=\frac{1-t}{1-f(t)}$
令 $\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2$
則 $f(t)=\frac{1}{2}$
由平均值定理可知存在 $t\in(0,1)$ 茴恰，使得 $f(t)=\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{1}{2}$

柯西中值定理：設(shè) $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù)，在 $(a,b)$ 內(nèi)可導(dǎo)斩熊，且 $g'(x)\ne 0$ 往枣，則存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

令 $g(x)=x$ ，則柯西中值定理可得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(\xi)}{1}$ 分冈，即拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個特例

泰勒公式： $\color{red}{(考察重點)}$

帶拉格朗日余項的n階泰勒公式
設(shè) $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某個鄰域內(nèi) $n+1$ 階導(dǎo)數(shù)存在圾另，則對該鄰域內(nèi)的任意一點 $x$ ，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$
帶佩亞諾余項的n階泰勒公式
設(shè) $f(x)$ 在點 $x_0$ 處 $n$ 階可導(dǎo)雕沉，則存在 $x_0$ 的一個鄰域集乔，對該鄰域內(nèi)的任意點，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f'(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

[注]：佩亞諾余項是高階無窮小坡椒，也就是說只有當(dāng) $x\to x_0$ 的時候扰路，才能用帶佩亞諾余項的泰勒公式；而帶拉格朗日余項的泰勒公式用于計算區(qū)間內(nèi)的中值肠牲。

拉格朗日余項中的 $\xi$ 介于 $x_0$ 到 $x$ 之間幼衰，也就是說 $\xi$ 是一個關(guān)于x的函數(shù)靴跛，所以并不能將 $f^{(n+1)}(\xi)$ 作為一個常數(shù)進行處理

當(dāng) $x_0=0$ 的時候缀雳，泰勒公式也稱為麥克勞林公式

例題
設(shè) $f(x)$ 在 $x_0$ 處二階可導(dǎo)， $f'(x_0)=0,f''(x_0)\lt0$ 梢睛，則證明 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極大值
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)$
$f(x)-f(x_0)=\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\le 0$
$f(x)\le f(x_0)$
即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極大值

例題 $\color{red}{(難度較高)}$
設(shè) $f(x)$ 在區(qū)間 $[a,-a]$ 上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)肥印，f(0)=0，證明绝葡，存在 $\eta\in[-a,a]$ 深碱，使得 $a^3f''(\eta)=3\int_{-a}^af(x)dx$
使用帶拉格朗日余項的泰勒展開得
$f(x)=f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$
$\int_{-a}^af(x)dx=f'(0)\int_{-a}^axdx+\int_{-a}^a\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx$
$\because \int_{-a}^axdx=0$
$\therefore \int_{-a}^af(x)dx=\int_{-a}^a\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx$
由于 $f(x)$ 的二階導(dǎo)數(shù)在 $[-a,a]$ 上是連續(xù)的，而連續(xù)必有有界藏畅，所以有
$m\le f''(\xi) \le M$
$\int_{-a}^amx^2dx\le \int_{-a}^af''(\xi)x^2dx \le \int_{-a}^aMx^2dx$
$\frac{m}{3}a^3\le\int_{-a}^af(x)dx \le \frac{M}{3}a^3$
$m\le \frac{3}{a^3}\int_{-a}^af(x)dx \le M$
由介值定理可得敷硅， $\exists\eta\in[-a.a],f''(\eta)=\frac{3}{a^3}\int_{-a}^af(x)dx$
$a^3f''(\eta)=3\int_{-a}^af(x)dx$

常見函數(shù)形式的聯(lián)系：

$\int_a^bf(x)dx\leftarrow$ 積分 $\to f(x)\leftarrow$ 拉格朗日中值定理 $\to f'(x)\leftarrow$ 泰勒公式 $\to f''(x)$

[注]：如果函數(shù)在某一個區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，那么這個導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)上要么存在振蕩間斷點愉阎，要么是連續(xù)的绞蹦。因此有
(導(dǎo)數(shù)介值定理)： $f(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上可導(dǎo)，且 $f'(a)\en f'(b)$ 榜旦，則此區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)能夠取到 $f'(a)$ 到 $f'(b)$ 內(nèi)的任意一個值

第三部分涉及積分的中值定理

積分中值定理：設(shè) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù)幽七，則存在 $\xi\in[a,b]$ 使得，
$\int_a^bf(x)dx=f'(\xi)(b-a)$ 溅呢，或?qū)懗?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(%5Cxi)%3D%5Cfrac%7Bf(b)-f(a)%7D%7Bb-a%7D" alt="f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}" mathimg="1">

證明：
設(shè)當(dāng) $x\in[a,b]$ 時澡屡， $m\le f(x)\le M$
則 $m \le f(x) \le M$
$mdx \le f(x) \le Mdx(dx\gt 0)$

$\int_a^bmdx \le\int_a^b f(x)dx\le \int_a^bMdx$
$m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$
$m\le \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\le M$
由介值定理可知存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $m\le f(\xi) \le M$
則 $f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$
$f(\xi)(b-a)=\int_a^bf(x)dx$
此定理也可通過構(gòu)造函數(shù) $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ 咐旧，然后用拉格朗日定理證明在開區(qū)間上也是成立的

[注]：前面的涉及函數(shù)的平均值定理和這里的積分中值定理驶鹉，實際上是平均值定理的兩個不同的形式。
平均值定理 $\begin{cases}離散:f(\xi)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)\\連續(xù):f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\end{cases}$

當(dāng)題干中出現(xiàn) $\int_b^af(x)dx$ 時铣墨，一般會用到兩種解決方式
$\begin{cases}積分中值定理：f(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\\令F(x)=\int_a^xf(t)dt\end{cases}$

第六講 中值定理

第一部分 涉及函數(shù)的中值定理

第二部分 涉及導(dǎo)數(shù)的中值定理(必考)

常見函數(shù)形式的聯(lián)系：

第三部分 涉及積分的中值定理

第六講中值定理

第一部分涉及函數(shù)的中值定理

第二部分涉及導(dǎo)數(shù)的中值定理(必考)

第三部分涉及積分的中值定理