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二進制Binary
很多人說計算機中的二進制起源于中國古典的陰陽八卦旭愧，這話不對寥殖，也對。
最早正式提出二進制的是生活在300多年前17世紀的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨Gottfried Wilhelm Leibniz呛牲，不是中國人刮萌。
在1703年，萊布尼茨發(fā)表了文章《論只使用符號0和1的二進制算術(shù)娘扩，兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義》着茸，正式提出二進制表示方法。
伏羲就是中國古典神話人物琐旁，補天女媧的老公涮阔。《易·系辭上》說：“河出圖灰殴，洛出書敬特，圣人則之∥眨”這里的圣人就是伏羲伟阔，說有一日，天馬載著河圖從天而降掰伸，神龜背著洛書從河中浮起皱炉，伏羲觀后靈感大發(fā)，從中總結(jié)出八卦陰陽圖文碱工。這里的河圖我猜就是河流的彎曲走向娃承，洛書就是龜甲紋樣。
從圖中我們也可以看出怕篷，八卦是用八個符號表示八個方向历筝。每個符號很有意思，都是三橫組成廊谓，有的橫中間斷開梳猪，有的不斷。
我們把連續(xù)的橫線視為1，斷開的視為0春弥，那么這八卦就是乾111呛哟、坎010、艮100匿沛、震001扫责、巽110、離101逃呼、坤000鳖孤、兌011。就是0~8數(shù)字抡笼。
二進制歷史
1854年苏揣，英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾George Boole發(fā)表了一篇里程碑式的論文，其中詳細介紹了一種代數(shù)化的邏輯系統(tǒng)推姻，后人稱之為布爾代數(shù)平匈。他提出的邏輯演算在后來的電子電路設(shè)計中起基礎(chǔ)性作用。而我們現(xiàn)在編程里面的布爾值就是來自與此藏古。
1937年增炭，克勞德·香農(nóng)Claude Elwood Shannon在麻省理工大學(xué)完成了其電氣工程碩士學(xué)位論文，用繼電器和開關(guān)實現(xiàn)了布爾代數(shù)和二進制算術(shù)運算校翔。論文題為《繼電器與開關(guān)電路的符號分析》（A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits）弟跑，其中香農(nóng)的理論奠定了數(shù)字電路的理論基礎(chǔ)，這篇論文被稱為“可能是本世紀最重要防症、最著名的碩士學(xué)位論文”孟辑。
1937年11月，任職于貝爾實驗室的喬治·斯蒂比茲發(fā)明了用繼電器表示二進制的設(shè)備蔫敲，它是第一臺二進制電子計算機饲嗽。至于圖靈和馮諾依曼那其實也是后話了。
二進制運算
二進制轉(zhuǎn)為十進制很簡單：
就是說奈嘿，二進制最右邊一位代表1貌虾，右數(shù)第二位代表2，第三位代表4裙犹，第4位代表8...依次類推尽狠。幾個例子如下：
- 010=0+2+0=2
- 011=0+2+1=3
- 1011=8+0+2+1=11
換做加法就是：
- 3+1=4 用二進制就是 011+001=100
- 2+11=13 二進制就是 0010+1011=1101,這里1101等于8+4+0+1
在編程語言中還有針對二進制的各種運算，在Python中對二進制數(shù)字來說可以進行各種按位運算叶圃，比如與運算符&袄膏，或運算符|，非運算符~掺冠，異或運算符^沉馆。
注意這里沒有用~非運算符，因為在Python里它和我們想的不一樣，而用0b1111減去a則可以得到期望的結(jié)果斥黑，這里b后面4個1是因為a也是4個數(shù)字的揖盘；后面異或^的結(jié)果省略了開頭的0，完整的是0b0110锌奴，和我們期望的一致兽狭。
兩位數(shù)加法器
回顧一下半加器電路：
這個電路，輸如A和B缨叫，異或門輸出的S就是本位的結(jié)果椭符，與門輸出的C就是進一位（左邊一位）的結(jié)果。比如：
- A=0耻姥，B=1，那么有咨，S=異或(0,1)=1琐簇，C=與(0,1)=0，結(jié)果是01即1
- A=1座享，B=1婉商，那么，S=異或(1,1)=0渣叛，C=與(1,1)=1丈秩，結(jié)果是10即2
怎么擴展到兩位數(shù)加法器？
這里的二進制運算格式是
比如下圖顯示了即
的情況：
在這里的順序是：
- A1B1相加通過X1得到末尾C1的值淳衙。
- A1B1相加之后通過D1向第二位C2進位蘑秽，而A2B2相加也應(yīng)該是第二位C2，所以這兩個結(jié)果也要走X25進行相加箫攀。
- 如果X25這次相加還會產(chǎn)生進位就通過D25輸出到第三位C3肠牲。
- D25是輸出到第三位C3的，而A2B2相加的進位也是在第三位C3的靴跛，所以它們也要通過X35相加缀雳。
- 如果X35相加之后還會進位，就輸出給D35梢睛。
實際上X35這次相加是不會產(chǎn)生進位的肥印，也就是說D35一定輸出是0。為什么绝葡？簡單說就是兩個兩位數(shù)相加不會得到一個四位數(shù)深碱，這和99+99不可能得到1000一樣。但從邏輯上可以這樣看懂：
- 如果進位D2輸出1挤牛，那么A2B2一定都是1
- 如果A2B2都是1莹痢，那么異或操作的X2一定輸出0
- 如果X2輸出0，而X2又是與運算D25的輸入分支，所以D25一定輸出0
- 如果D25輸出0竞膳，它又是X35的分支航瞭，也是D35的分支，所以D35一定輸出0
更多位數(shù)的加法器
從上面的兩位數(shù)加法器我們可以知道坦辟，這個模式其實是可以無限擴展下去的刊侯。
首先我們簡化一下圖形：
下面是簡化符號之后的四位數(shù)加法器：
在這里有幾處使用異或邏輯代替了半加器，因為上面已經(jīng)討論到在某些情況下半加器不可能產(chǎn)生進位锉走。
如果把這些半加器都展開滨彻，那么這個電路已經(jīng)看起來比較復(fù)雜了，而我們?nèi)粘Ｊ褂玫氖謾C電腦芯片中都有數(shù)億個晶體管互相連接而且不停地通斷才實現(xiàn)了各種的功能挪蹭。
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