2 - 混合線性模型（Mixed models）

這次是介紹混合線性模型的一些基礎(chǔ)特性

簡介

從線性模型變轉(zhuǎn)變?yōu)榛旌夏Ｐ停菫榻鉀Q實際問題

公牛的育種值
需要以無偏的方式區(qū)分影響產(chǎn)奶量的遺傳和非遺傳效應(yīng)（估計育種值）

混合模型是在康奈爾大學(xué)建立的违孝，為什么在這里？

進(jìn)行奶牛記錄的組織機構(gòu)（數(shù)據(jù)）
AI 中心（資金）
杰出的科學(xué)家：統(tǒng)計學(xué)家 - S.R. Searle 和遺傳學(xué)家- C.R. Henderson

什么是混合模型

首先對線性模型（y = Wb + e ）拓展,W → [X Z]
modeling y(對于E(y) 和var(y))
是有選擇指數(shù)算法（SI）和廣義線性（GLS）的結(jié)合

一般的矩陣方程

** y = Xβ + Zu + e **
其中： y 為觀測值vector（已知）； β 為fixed effects（未知）; u 為random effects（未知）; e為殘差（未知）; X與Z 為關(guān)聯(lián)y與β诽俯，u的矩陣（已知）

根據(jù)y的建模妇菱，求出的目標(biāo)為： β, u,

一般矩陣方程的具體介紹

** y = Xβ + Zu + e **

X 和Z

是關(guān)聯(lián)y 與 β，u
每個性狀* 效應(yīng)* 水平都占據(jù)一列
每個觀察值為行

如 X = [1 0 24
0 1 34
1 0 23
1 0 27]
表示為：4個觀察值在2個牛場（前2列）暴区，第3列是產(chǎn)犢年齡闯团；

Z(animals w/o, with records) 
Z = [1 0 0 0 0
     0 1 0 0 0
     0 0 1 0 0
     0 0 0 1 0]   這表明5個動物，且前4個動物均只有1個觀察值仙粱，最后一個動物沒有觀察值房交， 應(yīng)該是按列放置

混合模型有可以成為混合方程組（Mixed model equations, MME)

image.png

或者簡寫 Cs = r
需要已知各個未知變量的(co)variances（方差組分）：

Var(e) = R(殘差的方差-協(xié)方差矩陣),
Var(u) = G((co)variances among random effects ),
Var(y) = ZGZ' + R ((co)variances among observations)
MME也假設(shè)其已知上述R和G
但在實際分析中，必須需要先估計以上所有未知參數(shù)的(co)variances（最花時間的部分）

估計(co)variances（R與G）伐割，現(xiàn)行主流的一些算法：
1. REML（DF-, EM-, AI-.. 都是基于Maximum Likelihood）
2. MCMC("Gibbs Sampling")
3. Others as Method R(基于BLUP properties) （個人沒使用過）
variance components estimation(VCF) methods on their own => special class
上述3種的主流算法以后再詳細(xì)介紹

回歸正題候味，接著看MME： y = Xβ + Zu + e ，
如果簡寫為： y = Wb +e（類似OLS）
則上述兩個式子都求解：

image.png

注意這里W = [ X Z]
這個 u 的估計量有兩個主要的不足：

1. 對 u 的估計不考慮 SI 中的回歸隔心，因為并非所有都被傳輸：
  
  image.png
  
  其是通過將矩陣形式展開白群，再需要將β帶入到u的式子中，得到
1. u和y之間的covariances（沒有考慮不同家庭之間的關(guān)系）

比較OLS與SI解出的u

image.png

怎么比較u_OLS 和u_SI?
是需要比較(Z'Z)^-1Z' 與Cov(u,y)(Var(y))^-1

因為：
Cov(u,y) = GZ' = AZ'(σ_g)² ;
Var(y) = V = ZGZ'+R = ZAZ'(σ_g)²+ I (σ_e)²
所以帶入下公式：

image.png

得到：

image.png

其中, A為系譜關(guān)系矩陣硬霍，在sir model中λ= (4-h2)/h2. sir 傳給后代的1/2帜慢，所以遺傳方差為1/4

但是當(dāng)所有個體無關(guān)時， A=I

則：

image.png

SI的u 可以轉(zhuǎn)為：

image.png

根據(jù)他們的女兒選擇公牛

兩個無親緣關(guān)系的公牛S 和T，均有三個女兒粱玲，其六個女兒的母牛也沒有親緣關(guān)系
我們想計算這兩個公牛對各自兒女表型的遺傳貢獻(xiàn)
采兩種計算方法：

OLS:即女兒偏差的估計
SI：計算對虐女兒的貢獻(xiàn)躬柬，需要假設(shè)E(y)已知

數(shù)據(jù)如下：

image.png

SI

給出如下定義：

image.png

則表型值y的方差結(jié)構(gòu)：

image.png

y的協(xié)方差結(jié)構(gòu)：

image.png

y的方差-協(xié)方差矩陣：

image.png

根據(jù)前面的公式：Var(y) = ZZ'(σ_g)²+ I (σ_e)²

image.png

Cov(u,y)的方差協(xié)方差矩陣：

image.png

使用SI解出：

image.png

選擇指數(shù)的權(quán)重：
根據(jù)

image.png

兩種方法結(jié)果的比較：

image.png

相等模型

平均值和方差組分相等
解應(yīng)該也相同

image.png

OLS, GLS, SI, MME的轉(zhuǎn)化

image.png

SI: 最小化預(yù)測Var(T-I)的誤差方差，同時也最大T與I的相關(guān)
OLS：最小誤差方差抽减，最終由觀測值（殘差）的方差加權(quán)
GLS：最小化權(quán)重誤差方差（最小二乘）允青，參考觀測值之間的協(xié)方差
MME: mixed models, 同時最小化誤差方差和random effectde 預(yù)測誤差方差
BLUP是由SI演變而來

最后編輯于：2021.11.24 06:28:24

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