寒假講義二：整數(shù)根

一元二次方程整數(shù)根問題

系數(shù)比較簡單仰泻，而且系數(shù)限定是整數(shù)的時(shí)候荆陆，可以直接考慮利用 $\Delta$ 是完全平方求解。

系數(shù)比較復(fù)雜集侯，先考慮考慮能不能因式分解被啼。

系數(shù)只說了是實(shí)數(shù)帜消，這時(shí)候不能用 $\Delta$ 是完全平方了，應(yīng)該考慮利用韋達(dá)定理浓体，或者是因式分解的結(jié)果去消去系數(shù)泡挺，再結(jié)合兩根是整數(shù)去處理。

【例題】：求 $2 x^{2}-x y-3 x+y+2006=0$ 所有整數(shù)解命浴。

這題比較簡單娄猫，找到合適的主元求解就可以。

【例題】：k為正整數(shù)生闲，而且 $\left(k^{2}-1\right) x^{2}-6(3 k-1) x+72=0$ 有兩個(gè)相異的正整數(shù)根媳溺，求k的值。

系數(shù)有點(diǎn)點(diǎn)復(fù)雜碍讯，考慮直接因式分解先悬蔽。 $(k x-x-6)(k x+x-12)=0$ ，直接可以解出來兩個(gè)根捉兴。

【例題】：如果 $9 x^{2}+23 x-2$ 是兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的乘積蝎困，求有理數(shù)x的值。

設(shè) $9 x^{2}+23 x-2=y(y+2)$ ,y為正偶數(shù)轴术。整數(shù)根的經(jīng)典做法就是 $\Delta$ 為完全平方难衰，移項(xiàng) $9 x^{2}+23 x-\left(y^{2}+2 y+2\right)=0$ ， $\Delta=23^{2}+36\left(y^{2}+2 y+2\right)=m^{2}$ 最后配方 $[6(y+1)]^{2}+565=m^{2}$ 逗栽。計(jì)算量是有點(diǎn)大盖袭，但是不要怕計(jì)算，如果可以算就直接算下去彼宠。

【例題】：求所有的實(shí)數(shù)r 鳄虱，使得 $r x^{2}+(r+1) x+(r-1)=0$ 的根都是整數(shù)。

系數(shù)只說了是實(shí)數(shù)凭峡，實(shí)數(shù)是我們比較難處理的（相比起整數(shù)而言）拙已。所以這題應(yīng)該想辦法把實(shí)數(shù) r 給消去，然后用 $x_1 ,x_2$ 是整數(shù)的性質(zhì)求解摧冀。消去 r 的方式是聯(lián)立韋達(dá)定理兩式子倍踪。

【例題】：k為實(shí)數(shù)， $\left(k^{2}-6 k+8\right) x^{2}+\left(2 k^{2}-6 k-4\right) x+k^{2}=4$ ?有兩個(gè)整數(shù)根索昂，求k的值建车。

同樣系數(shù)只說了是實(shí)數(shù)，但是這題如果像上面的題目一樣直接用韋達(dá)定理就麻煩了椒惨，因?yàn)檫@題目的系數(shù)比較復(fù)雜（帶有二次）缤至，用韋達(dá)定理消不掉 k。正確的方法應(yīng)該是先因式分解康谆，這樣就可以把 $x_{1}, x_{2}$ 用 k 寫出來了领斥，這時(shí)候再消去 k 就行了嫉到。最后利用兩個(gè)根是整數(shù)的性質(zhì)求解，反代得到 k月洛。

【例題】：已知a,b都是正整數(shù)何恶，關(guān)于x 的方程 $x^{2}-a b x+\frac{1}{2}(a+b)=0$ ?有兩個(gè)整數(shù)解，求a膊存，b导而。

先用韋達(dá)定理 $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2}=a b} \\{x_{1} \cdot x_{2}=\frac{1}{2}(a+b)}\end{array}\right.$ 做一些預(yù)處理，利用第二個(gè)式子知道 $x_{1} 隔崎， x_{2}$ 同正負(fù)今艺，利用第一個(gè)式子知道都是正整數(shù)。同時(shí)第二個(gè)式子告訴我們a爵卒，b是同奇偶的虚缎。

第一種方法：直接利用韋達(dá)定理這兩個(gè)式子相減， $2 x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+a b-(a+b)=0$ 钓株，因式分解得到 $\left(2 x_{1}-1\right)\left(2 x_{2}-1\right)+2(a-1)(b-1)=3$ 实牡，這時(shí)候四個(gè)未知數(shù)都是正整數(shù)就利用上了，所以 $(a-1)(b-1)=0,1$ 轴合，又根據(jù)同奇偶创坞，得到 $a=b=1或者2$ 。代回去檢驗(yàn)是否符合要求受葛。

第二種方法:利用 $\Delta$ 是完全平方题涨， $\Delta=(a b)^{2}-2(a+b)<(a b)^{2}$ 根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)得到 $\Delta \leqslant(a b-1)^{2}$ （這一步很關(guān)鍵），整理得到 $2 a b-1 \leq 2(a+b) \Rightarrow a b \leq a+b \Rightarrow( a-1)( b-1)=0或者1$

【例題】a,b,c是實(shí)數(shù)总滩。已知方程 $x^{2}+c x+a=0$ 的兩個(gè)整數(shù)根剛好比 $x^{2}+a x+b=0$ 兩個(gè)根都大一纲堵。求 $a+b+c$ 。

和前面三題類似的思想闰渔，a席函，b，c都是實(shí)數(shù)不好處理冈涧，考慮消去茂附，利用兩個(gè)整數(shù)根的不定方程求解出這些整數(shù)根，然后反代回去得到a,b,c督弓。

【例題】：求出所有的整數(shù)a营曼，使得方程 $x^{2}-\sqrt{5 a^{2}-26 a-8} x-\left(a^{2}-4 a+9\right)=0$ 的兩個(gè)根都是整數(shù)。

一般的情況下用求根公式? $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ?就可以知道如果方程都是整數(shù)根咽筋，那么 $\Delta$ 一定是完全平方數(shù)溶推，但是現(xiàn)在這里一次項(xiàng)系數(shù)帶有根號徊件， $\Delta$ 還一定得是完全平方嗎奸攻？

還是用韋達(dá)定理做一下預(yù)處理蒜危，兩個(gè)根都是整數(shù)了，兩根的和 $\sqrt{5 a^{2}-26 a-8}$ 自然也是整數(shù)睹耐，這時(shí)候可以放心用 $\Delta$ 是完全平方求解辐赞。

【例題】：n是自然數(shù)，關(guān)于x 的方程 $2 x^{2}-8 n x+10 x-n^{2}+35 n-76=0$ 兩根為素?cái)?shù)硝训，求n响委。

結(jié)合一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)論的分析，兩根設(shè)為p q窖梁，那么由韋達(dá)定理兩根之和 $p+q=4n-5$ ,右邊是奇數(shù)赘风，所以一定有個(gè)根是2，代回去就解出來n了纵刘。不要想得太復(fù)雜邀窃。

結(jié)合素?cái)?shù)分析

【例題】：例題：是否存在質(zhì)數(shù)p,q使得方程 $p x^{2}-q x+p=0$ 有有理數(shù)根？

直接利用 $\Delta$ 假哎， $q^2-4p^2$ 是完全平方數(shù)瞬捕，設(shè)成? $m^2$ ?（不妨設(shè) m 非負(fù)，這很關(guān)鍵）舵抹。轉(zhuǎn)化成 $(q-m)(q+m)=4p^2$ 肪虎，左邊乘積兩項(xiàng)是同奇偶的，所以在p是奇素?cái)?shù)的時(shí)候惧蛹， $q-m,q+m=2,2p^2或者2p,2p$ 扇救。在p=2的時(shí)候單獨(dú)討論即可。

【例題】：已知p為質(zhì)數(shù)赊淑。使得二次方程 $x^{2}-2 p x+p^{2}-5 p-1=0$ 兩根是整數(shù)爵政，求出所有可能的p。

同樣利用 $\Delta=4(5p+1)$ 是完全平方數(shù)陶缺，一個(gè)小技巧是這里可以把4去掉钾挟， $5p+1$ 肯定也是完全平方數(shù)，設(shè)成 $m^2$ ?饱岸，而且不妨m非負(fù)（和上題一樣掺出，這是標(biāo)準(zhǔn)的流程）。對 $5p=(m-1)(m+1)$ 的幾種素因子分解的情況做討論就可以求解了苫费，注意討論不要重漏汤锨。

【例題】：已知p q都是質(zhì)數(shù)，且方程 $x^{2}-(8 p-10 q) x+5 p q=0$ 至少有一個(gè)正整數(shù)根百框，求p闲礼，q。

首先用韋達(dá)定理做一下預(yù)處理，這題告訴我們有至少一個(gè)根是正整數(shù)柬泽，其實(shí)結(jié)合韋達(dá)定理就知道兩個(gè)根都是正整數(shù)（韋達(dá)定理的預(yù)處理在二次函數(shù)整數(shù)根問題里很常見慎菲，要注意）

接下來如果用 $\Delta$ 是完全平方去做就會很復(fù)雜，而且難以有效使用上p锨并，q都是質(zhì)數(shù)這個(gè)信息露该。正確的做法應(yīng)該是根據(jù)5pq只有很少的分解因數(shù)的方法，分成四類去討論就解出來了第煮。

【例題】：求出滿足 $2 p^{2}+p+8=m^{2}-2 m$ 的所有素?cái)?shù)p 的正整數(shù)m解幼。

這題比較困難，要結(jié)合數(shù)論的知識和不等式的估計(jì)的技巧包警。首先因式分解得到 $(2p+1)p=(m+2)(m-4)$ ,所以右邊兩個(gè)一定有一個(gè)是p的倍數(shù)撵摆。如果m+2是p的倍數(shù)，1°? $p=m+2$ 害晦，那么 $2p+1=m-4$ 解方程台汇。2°? $p\neq m+2$ 那么一定有 $m+2\geq 2p$ ?，這個(gè)很關(guān)鍵篱瞎，一下子把m+2提到很大苟呐，這樣就會有 $m-4\leq p+\frac{1}{2}$ ，兩個(gè)不等式結(jié)合一下求解m俐筋，p的范圍牵素。如果m-4是p的倍數(shù)同理可以討論。

其他數(shù)論分析（包括證明題）

【例題】：m,n都是整數(shù)澄者，求證： $x^{2}+10 m x-5 n+3=0$ 沒有整數(shù)根笆呆。

沒有整數(shù)根就是證明 $\Delta$ 不是完全平方數(shù)。 $\Delta =4(25m^2+5n-3)$ 粱挡，要證明這不是完全平方赠幕，等價(jià)于證明 $25m^2+5n-3$ 不是完全平方。

證明不是完全平方數(shù)一般是有兩個(gè)思路询筏，一個(gè)是純代數(shù)的榕堰，證明待證的式子在兩個(gè)完全平方之間；一個(gè)是數(shù)論的嫌套，證明待證的式子在mod一個(gè)特定的數(shù)的時(shí)候出現(xiàn)了不該出現(xiàn)的余數(shù)逆屡。本題中 $25m^2+5n-3$ 前兩項(xiàng)都是5的倍數(shù)，所以很自然選擇mod 5踱讨，余數(shù)是2魏蔗。但是完全平方 mod 5的余數(shù)只有0，1痹筛，4莺治，因此不可能是完全平方廓鞠。

除了用 $\Delta$ 分析以外，直接對原來的式子分析也可以谣旁。假設(shè)原來的式子有整數(shù)根诫惭，對兩邊mod 5 就得到 $0\equiv x^{2}+10 m x-5 n+3 \equiv x^{2}+3 (mod 5)$ ,也就是說 $x^2\equiv 2 \quad (mod5)$ 同樣矛盾。

【例題】：a,b,c都是奇數(shù)蔓挖，證明 $a x^{2}+b x+c=0$ 沒有整數(shù)根。

可以直接對原來的式子分析馆衔，假如有整數(shù)根瘟判，不管x是奇數(shù)還是偶數(shù)，左邊都是奇數(shù)角溃。但是右邊是0拷获，矛盾。

0的很重要的數(shù)論性質(zhì)就是不管mod什么减细，它都是0匆瓜。

【例題】：求 $x^{2}+y^{2}=208(x-y)$ 所有正整數(shù)解。

本題最重要的思路是未蝌，發(fā)現(xiàn)右邊是4的倍數(shù)驮吱，所以x，y都是偶數(shù)浮禾，設(shè) $x=2x_1,y=2y_1$ 可以把右邊的系數(shù)208縮小到104品追。重復(fù)這樣的分析葵陵，直到方程可以化成 $a^2+b^2=26(a-b)$ 。分析這個(gè)方程就比分析原來的方程容易多了拇砰。

接下來最方便的方法應(yīng)該就是配方： $(a-13)^2+(b+13)^2=338$ ，左邊兩個(gè)完全平方在 $0^2...18^2=324$ 里面挑選狰腌，容易算出 $a-13=\pm 7$ ?, $b+13=17$

結(jié)合不等式估計(jì)

【例題】已知 $a, b, c$ 是整數(shù)而且和為13除破，并且 $\frac{a}=\frac{c}琼腔$ 瑰枫，求a的最大最小值。

( $\frac丹莲{a}=\frac{c}躁垛$ ，設(shè)成一個(gè)k圾笨，這樣b 教馆，c都可以用a 和一個(gè)字母k 表示。）?

設(shè) $\frac擂达{a}=\frac{c}{a}=k$ 土铺，所以 $a\left(k^{2}+k+1\right)=13$ ，整數(shù)a使得這個(gè)方程有有理數(shù)根k，所以方程 $k^{2}+k+1-\frac{13}{a}=0$ 一定有： $\Delta=\frac{52}{a}-3 \geqslant 0$ 且為完全平方悲敷，解出來 $1 \leq a \leq 17$ 究恤，容易檢驗(yàn)a=1和a=16的時(shí)候都有相應(yīng)滿足條件的b和c，所以這兩個(gè)是最大最小值后德。

【例題】：如果 $1 \leqslant p \leqslant 20,1 \leqslant q \leqslant 10$ 并且 $4 x^{2}-p x+q=0$ 有兩個(gè)奇數(shù)根部宿，求p ，q

這題比較簡單瓢湃，用韋達(dá)定理就知道理张，p是8的倍數(shù)，q是4的倍數(shù)但不是8的倍數(shù)绵患。

其他問題

【例題】：求出所有的正整數(shù)a雾叭，使得二次方程 $a x^{2}+2(2 a-1) x+4(a-3)=0$ 至少有一個(gè)整數(shù)根x。

（不再是兩根都是整數(shù)落蝙，答案會有什么差別织狐？）

用分解的方法是挺好的，我們知道正整數(shù)a和整數(shù)x會滿足上面的方程筏勒，整理分解得到： $(x+2)(ax+2a-2)=8$ ,按照8的分解分成8種討論（包括正負(fù)）移迫，計(jì)算并不復(fù)雜。

【例題】：設(shè) a 為整數(shù)管行，若存在整數(shù)b c使得 $(x+a)(x-15)-25=(x+b)(x+c)$ 成立起意，求a的所有可能值。

（其實(shí)是個(gè)因子分解的問題）

當(dāng)b不等于c的時(shí)候病瞳，代入-b,-c就可以有 $\begin{aligned} &(-b+a)(-b-15)=25\\ &(-c+a)(-c-15)=25 \end{aligned}$ 揽咕，所以左邊給出了25的兩種因子分解的方式，差都是a+15,分解25知道a+15=24,0,-24

當(dāng)b=c的時(shí)候套菜，左邊 $\Delta =0$ 亲善，容易知道這不可能。

【例題】：已知： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 是和為 9 而且互不相同的五個(gè)整數(shù)逗柴。整數(shù)x滿足 $\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)\left(x-a_{5}\right)=2009$ 求出x蛹头。

分解 $2009=(-1) \times 1 \times(-7) \times 7 \times 41$

王梓瑜講義1.22 方程（整數(shù)根）