概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第八章假設(shè)檢驗(yàn)

課前導(dǎo)讀

統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題迈着。
參數(shù)估計(jì)的主要任務(wù)是找參數(shù)值等于多少，或在哪個(gè)范圍內(nèi)取值。而假設(shè)檢驗(yàn)則主要是看參數(shù)的值是否等于某個(gè)特定的值潘靖。
通常進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)即選定一個(gè)假設(shè)芒划，確定用以決策的拒絕域的形式冬竟，構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量欧穴，求出拒絕域或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值，查看結(jié)果是否落在拒絕域內(nèi)或p值是否小于顯著性水平泵殴，做出決策的一個(gè)過程涮帘。

第一節(jié) 檢驗(yàn)的基本原理

舉個(gè)例子，體現(xiàn)假設(shè)檢驗(yàn)的思想：

假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想：類似"反證法"笑诅，不妨先認(rèn)為某一假設(shè)（記為

H_0

）是成立的调缨，通過樣本數(shù)據(jù)，結(jié)果得到一個(gè)與之相矛盾的結(jié)果吆你，于是認(rèn)為假設(shè)

H_0

（零假設(shè)）不成立弦叶，而接受與之對(duì)立的另外一個(gè)假設(shè)（對(duì)立假設(shè)，記為

H_1

)

一妇多、建立假設(shè)

對(duì)要檢驗(yàn)的問題提出一個(gè)原假設(shè) $H_0$ 和備擇假設(shè) $H_1$ 伤哺。

二、給出拒絕域的形式

根據(jù)樣本提供的信息者祖，由樣本給出未知參數(shù) $\theta$ 的點(diǎn)估計(jì)量 $\hat\theta$ 立莉。比較 $\hat\theta$ 的觀測值與 $\theta_0$ 的距離。距離很近咸包，則不拒絕原假設(shè) $H_0$ 桃序；如果距離遠(yuǎn)了，就拒絕原假設(shè)烂瘫。
度量距離“遠(yuǎn)近”的方法：拒絕域 $W$
說明：拒絕域從備擇假設(shè)開始

三媒熊、確定顯著性水平

一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)通過拒絕域的方式將樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了劃分，通過這種劃分做出一個(gè)決策：接受 $H_0$ 或拒絕 $H_0$ 坟比。但這一決策是基于樣本提供的不完全信息對(duì)未知的總體參數(shù)做出的判斷芦鳍。因此總會(huì)存在不正確決策的風(fēng)險(xiǎn)。
所以借助于樣本來進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)可能有四種結(jié)果：（第一類錯(cuò)誤：棄真葛账、第二類錯(cuò)誤：采偽）

一般來說柠衅，當(dāng)?shù)谝活愬e(cuò)誤概率小時(shí)，第二類錯(cuò)誤概率就顯得大籍琳。

從上面兩類錯(cuò)誤的分析我們知道菲宴，在樣本量一定的條件下，不可能同時(shí)控制一個(gè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤概率趋急。所以喝峦，在此基礎(chǔ)上，采用折中方案呜达，僅限制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過事先設(shè)定的值 $\alpha$ 谣蠢，再盡量減少犯第二類錯(cuò)誤的概率。

稱該拒絕域所代表的檢驗(yàn)為顯著性水平 $\alpha$ 的檢驗(yàn)，稱 $\alpha$ 為顯著性水平眉踱。最常用的選擇是 $\alpha =0.05$ 挤忙。

四、建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量谈喳，給出拒絕域

確定了顯著性水平后册烈，可以來確定拒絕域中的臨界值c了。下面這個(gè)例子介紹具體步驟叁执。

在這里茄厘，為了求出臨界值c的值矮冬，構(gòu)造了一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 $Z$ 谈宛，稱符合這個(gè)要求的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。再本例中胎署，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 $Z$ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布吆录，故該檢驗(yàn)又稱為 $Z$ -檢驗(yàn)（又可稱為 $U$ -檢驗(yàn)）

綜上所述，在給定顯著性水平 $\alpha$ 下琼牧，求拒絕域 $W$ 的一般步驟如下：

五恢筝、p值和p值檢驗(yàn)法

p值檢驗(yàn)法的原則是當(dāng)p值小到一定程度時(shí)拒絕

H_0

通常約定:

p \leq 0.05

稱結(jié)果為顯著，

p \leq 0.01

稱結(jié)果為高度顯著巨坊。

第二節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

一撬槽、單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

假定總體 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ,考慮以下三種均值 $\mu$ 的檢驗(yàn)問題：

由于正態(tài)分布中有兩個(gè)參數(shù)

\mu

和

\sigma^2

，

\sigma^2

是否已知對(duì)檢驗(yàn)有影響趾撵。因此分

\sigma^2

已知和未知兩種情況展開討論侄柔。

1.方差\sigma^2已知時(shí)的均值 $\mu$ 檢驗(yàn)

在上述過程中，檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)構(gòu)成一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題占调，換成如下單側(cè)（右側(cè)）檢驗(yàn)問題：

檢驗(yàn)的討論過程完全相似暂题。

單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

考慮如下三種關(guān)于方差 $\sigma^2$ 的檢驗(yàn)問題：

實(shí)際情況中通常假定

\mu

是未知的，

\sigma^2

的估計(jì)通常用樣本方差

S^2

表示

綜上所述究珊，關(guān)于單正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)問題如下表所示：

三薪者、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)

同單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)一樣，兩個(gè)總體的未知參數(shù)的檢驗(yàn)問題都有一對(duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)剿涮，同樣也存在雙側(cè)和單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)言津。

同置信區(qū)間求解過程相似，

\sigma_1^2

取试、

\sigma_2^2

是否已知對(duì)

\mu_1

和

\mu_2

的檢驗(yàn)是有影響的悬槽。

四、兩個(gè)正態(tài)分布方差比的假設(shè)檢驗(yàn)

綜上所述想括，關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)問題如下表所示：

第三節(jié) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

第七章的參數(shù)固定是假定總體的分布類型是已知的陷谱，需要通過樣本來估計(jì)刻畫總體分布的一個(gè)或若干個(gè)參數(shù)。但是，在實(shí)際問題中烟逊，經(jīng)常不知道總體服從什么分布渣窜，這時(shí)只能假定其為某種分布，那么就需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)假設(shè)是否合理宪躯，即檢驗(yàn)假設(shè)的總體分布是否可以被接受乔宿。又稱為 分布的擬合檢驗(yàn)。常用的方法有 $\chi^2$ 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)访雪。

上面這個(gè)例子中详瑞，我們假定每一組 $\{X=i\}$ 的概率 $p_i$ 都是已知的i=1,2,...,k，但在實(shí)際問題中臣缀，有時(shí) $p_i$ 還依賴于r個(gè)未知參數(shù)坝橡，而這r個(gè)未知參數(shù)需要利用樣本來估計(jì)。
這時(shí)先用點(diǎn)估計(jì)法估計(jì)出這r個(gè)位置參數(shù)精置，然后再算出 $p_i$ 的估計(jì)值 $\hat p_i$

拓展閱讀

假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系：

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