二叉樹的Python實現(xiàn)

樹的定義與基本術語

??樹型結構是一類重要的非線性數(shù)據(jù)結構崖叫，其中以樹和二叉樹最為常用，是以分支關系定義的層次結構拍柒。樹結構在客觀世界中廣泛存在心傀，如人類社會的族譜和各種社會組織機構；在計算機領域中也有廣泛應用拆讯，如在編譯程序中脂男，可用樹來表示源程序的語法結構养叛；在數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中，樹型結構也是信息的重要組織形式之一宰翅；在機器學習中弃甥，決策樹，隨機森林汁讼，GBDT等是常見的樹模型淆攻。

??樹（Tree）是n(n≥0)n(n≥0)個結點的有限集。在任意一棵樹中：（1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的節(jié)點嘿架；（2）當n>1n>1時瓶珊，其余節(jié)點可分為m(m>0)m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,...,Tm,T1,T2,...,Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹（SubTree）眶明。

??在圖1艰毒，該樹一共有13個節(jié)點，其中A是根搜囱，其余節(jié)點分成3個互不相交的子集：T1={B,E,F,K,L}T1={B,E,F,K,L},T2={C,G}T2={C,G},T3={D,H,I,J,M}T3={D,H,I,J,M};T1,T2和T3T1,T2和T3都是根A的子樹丑瞧，且本身也是一棵樹。例如T1T1蜀肘，其根為B绊汹，其余節(jié)點分為兩個互不相交的子集；T11={E,K,L}T11={E,K,L},T12={F}T12={F}扮宠。T11T11和T12T12都是B的子樹西乖。而在T11T11中E是根，{K}{K}和{L}{L}是E的兩棵互不相交的子樹坛增，其本身又是只有一個根節(jié)點的樹获雕。

??接下來講一下樹的基本術語。

??樹的結點包含一個數(shù)據(jù)元素及若干指向其子樹的分支收捣。節(jié)點擁有的子樹數(shù)量稱為節(jié)點的度（Degree）届案。在圖1中，A的度為3罢艾，B的度為2楣颠，C的度為1，F(xiàn)的度為0咐蚯。度為0的結點稱為葉子（Leaf）結點童漩。在圖1中，K,L,F,G,M,I,J都是該樹的葉子春锋。度不為0的結點稱為分支結點矫膨。樹的度是指樹內(nèi)個結點的度的最大值。

??結點的子樹的根稱為該結點的孩子（Child），相應地豆拨，該結點稱為孩子的雙親（Parent）直奋。在圖1,中，D是A的孩子施禾，A是D的雙親。同一個雙親的孩子之間互稱兄弟（Sibling）搁胆。在圖1中弥搞，H,I,J互為兄弟。結點的祖先是從根到該結點所經(jīng)分支上的所有結點渠旁。在圖1中攀例，M的祖先為A,D,H。對應地顾腊，以某結點為根的子樹中的任一結點都稱為該結點的子孫粤铭。在圖1中，B的子孫為E,F,K,L杂靶。

??樹的層次(Level)是從根開始梆惯，根為第一層，根的孩子為第二層等吗垮。雙親在同一層的結點互為同兄弟垛吗，在圖1中，K,L,M互為堂兄弟烁登。樹中結點的最大層次稱為樹的深度(Depth)或高度怯屉，在圖1中，樹的深度為4饵沧。

??如果將樹中結點的各子樹看成從左到右是有次序的（即不能交換）锨络，則稱該樹為有序樹，否則為無序樹狼牺。

森林（Forest）是m(m≥0)m(m≥0)棵互不相交的樹的集合羡儿。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林锁右。在機器學習模型中失受，決策樹為樹型結構，而隨機森林為森林咏瑟，是由若干決策樹組成的森林拂到。

二叉樹的定義與基本性質(zhì)

二叉樹（Binary Tree）是一種特殊的樹型結構，它的特點是每個結點至多有兩棵子樹（即二叉樹中不存在度大于2的結點）码泞，且二叉樹的子樹有左右之分兄旬，其次序不能任意顛倒（有序樹）。

??根據(jù)二叉樹的定義，其具有下列重要性質(zhì)：（這里不給出證明领铐，證明細節(jié)可參考清華大學出版社 嚴蔚敏 吳偉民的《數(shù)據(jù)結構（C語言版）》）

性質(zhì)1）在二叉樹的第ii層上至多有2i?12i?1個結點(i≥1)(i≥1)悯森。

性質(zhì)2）深度為kk的二叉樹至多有2k?12k?1個結點(k≥1)(k≥1)。

性質(zhì)3）對任何一棵二叉樹绪撵，如果其葉子節(jié)點數(shù)為n0n0,度為2的結點數(shù)為n2n2瓢姻，則n0=n2+1n0=n2+1。

??一棵深度為kk且有2k?12k?1個結點的二叉樹稱為滿二叉樹音诈。深度為kk幻碱，結點數(shù)數(shù)nn的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為kk的滿二叉樹中編號為1至n的結點一一對應時细溅，稱之為完全二叉樹褥傍。在下圖2中，（a）為滿二叉樹喇聊，（b）為完全二叉樹恍风。

??下面介紹完全二叉樹的兩個特性：

性質(zhì)4）具有nn個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1[log2n]+1,其中[x][x]表示不大于x的最大整數(shù)。

性質(zhì)5）如果對一棵有n個結點的完全二叉樹的結點按層序編號（從第一層到最后一層誓篱，每層從左到右）朋贬，則對任一結點i(1≤i≤n)i(1≤i≤n),有：

（1）如果i=1，則結點i是二叉樹的根燕鸽，無雙親兄世；如果i>1,則其雙親結點為[1/2]。

（2）如果2i>n啊研，則結點i無左孩子御滩；否則其左孩子是結點2i。

（3）如果2i+1>n党远，則結點i無右孩子削解；否則其右孩子是結點2i+1。

??介紹完了二叉樹的定義及基本性質(zhì)沟娱，接下來氛驮，我們需要了解二叉樹的遍歷。所謂二叉樹的遍歷济似，指的是如何按某種搜索路徑巡防樹中的每個結點矫废，使得每個結點均被訪問一次，而且僅被訪問一次砰蠢。對于二叉樹蓖扑，常見的遍歷方法有：先序遍歷，中序遍歷台舱，后序遍歷律杠，層序遍歷。這些遍歷方法一般使用遞歸算法實現(xiàn)。

先序遍歷的操作定義為：若二叉樹為空柜去，為空操作灰嫉；否則（1）訪問根節(jié)點；（2）先序遍歷左子樹嗓奢；（3）先序遍歷右子樹讼撒。

中序遍歷的操作定義為：若二叉樹為空，為空操作股耽；否則（1）中序遍歷左子樹椿肩；（2）訪問根結點；（3）中序遍歷右子樹豺谈。

后序遍歷的操作定義為：若二叉樹為空，為空操作贡这；否則（1）后序遍歷左子樹茬末；（2）后序遍歷右子樹；（3）訪問根結點盖矫。

層序遍歷的操作定義為：若二叉樹為空丽惭，為空操作；否則從上到下辈双、從左到右按層次進行訪問责掏。

??如對于下圖3，

其先序遍歷湃望、中序遍歷换衬、后序遍歷、層序遍歷的結果為：

先序遍歷為:

18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4

中序遍歷為:

3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4

后序遍歷為:

3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18

層序遍歷為:

[[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]]

??關于二叉樹的存儲結構证芭，可以選擇鏈式存儲結構瞳浦。用于表示二叉樹的鏈表中的結點至少包含3個域：數(shù)據(jù)域和左、右指針废士。下面會給出如何利用利用鏈式存儲結構實現(xiàn)二叉樹（Python實現(xiàn)）叫潦。

二叉樹的Python實現(xiàn)

??了解了二叉樹的基本情況后，筆者使用Python實現(xiàn)了二叉樹官硝，其完整的Python代碼（Binary_Tree.py）如下：

from graphviz import Digraph

import uuid

from random import sample

# 二叉樹類

class BTree(object):

? ? # 初始化

? ? def __init__(self, data=None, left=None, right=None):

? ? ? ? self.data = data? ? # 數(shù)據(jù)域

? ? ? ? self.left = left? ? # 左子樹

? ? ? ? self.right = right? # 右子樹

? ? ? ? self.dot = Digraph(comment='Binary Tree')

? ? # 前序遍歷

? ? def preorder(self):

? ? ? ? if self.data is not None:

? ? ? ? ? ? print(self.data, end=' ')

? ? ? ? if self.left is not None:

? ? ? ? ? ? self.left.preorder()

? ? ? ? if self.right is not None:

? ? ? ? ? ? self.right.preorder()

? ? # 中序遍歷

? ? def inorder(self):

? ? ? ? if self.left is not None:

? ? ? ? ? ? self.left.inorder()

? ? ? ? if self.data is not None:

? ? ? ? ? ? print(self.data, end=' ')

? ? ? ? if self.right is not None:

? ? ? ? ? ? self.right.inorder()

? ? # 后序遍歷

? ? def postorder(self):

? ? ? ? if self.left is not None:

? ? ? ? ? ? self.left.postorder()

? ? ? ? if self.right is not None:

? ? ? ? ? ? self.right.postorder()

? ? ? ? if self.data is not None:

? ? ? ? ? ? print(self.data, end=' ')

? ? # 層序遍歷

? ? def levelorder(self):

? ? ? ? # 返回某個節(jié)點的左孩子

? ? ? ? def LChild_Of_Node(node):

? ? ? ? ? ? return node.left if node.left is not None else None

? ? ? ? # 返回某個節(jié)點的右孩子

? ? ? ? def RChild_Of_Node(node):

? ? ? ? ? ? return node.right if node.right is not None else None

? ? ? ? # 層序遍歷列表

? ? ? ? level_order = []

? ? ? ? # 是否添加根節(jié)點中的數(shù)據(jù)

? ? ? ? if self.data is not None:

? ? ? ? ? ? level_order.append([self])

? ? ? ? # 二叉樹的高度

? ? ? ? height = self.height()

? ? ? ? if height >= 1:

? ? ? ? ? ? # 對第二層及其以后的層數(shù)進行操作, 在level_order中添加節(jié)點而不是數(shù)據(jù)

? ? ? ? ? ? for _ in range(2, height + 1):

? ? ? ? ? ? ? ? level = []? # 該層的節(jié)點

? ? ? ? ? ? ? ? for node in level_order[-1]:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? # 如果左孩子非空矗蕊，則添加左孩子

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if LChild_Of_Node(node):

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? level.append(LChild_Of_Node(node))

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? # 如果右孩子非空，則添加右孩子

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if RChild_Of_Node(node):

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? level.append(RChild_Of_Node(node))

? ? ? ? ? ? ? ? # 如果該層非空氢架，則添加該層

? ? ? ? ? ? ? ? if level:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? level_order.append(level)

? ? ? ? ? ? # 取出每層中的數(shù)據(jù)

? ? ? ? ? ? for i in range(0, height):? # 層數(shù)

? ? ? ? ? ? ? ? for index in range(len(level_order[i])):

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? level_order[i][index] = level_order[i][index].data

? ? ? ? return level_order

? ? # 二叉樹的高度

? ? def height(self):

? ? ? ? # 空的樹高度為0, 只有root節(jié)點的樹高度為1

? ? ? ? if self.data is None:

? ? ? ? ? ? return 0

? ? ? ? elif self.left is None and self.right is None:

? ? ? ? ? ? return 1

? ? ? ? elif self.left is None and self.right is not None:

? ? ? ? ? ? return 1 + self.right.height()

? ? ? ? elif self.left is not None and self.right is None:

? ? ? ? ? ? return 1 + self.left.height()

? ? ? ? else:

? ? ? ? ? ? return 1 + max(self.left.height(), self.right.height())

? ? # 二叉樹的葉子節(jié)點

? ? def leaves(self):

? ? ? ? if self.data is None:

? ? ? ? ? ? return None

? ? ? ? elif self.left is None and self.right is None:

? ? ? ? ? ? print(self.data, end=' ')

? ? ? ? elif self.left is None and self.right is not None:

? ? ? ? ? ? self.right.leaves()

? ? ? ? elif self.right is None and self.left is not None:

? ? ? ? ? ? self.left.leaves()

? ? ? ? else:

? ? ? ? ? ? self.left.leaves()

? ? ? ? ? ? self.right.leaves()

? ? # 利用Graphviz實現(xiàn)二叉樹的可視化

? ? def print_tree(self, save_path='./Binary_Tree.gv', label=False):

? ? ? ? # colors for labels of nodes

? ? ? ? colors = ['skyblue', 'tomato', 'orange', 'purple', 'green', 'yellow', 'pink', 'red']

? ? ? ? # 繪制以某個節(jié)點為根節(jié)點的二叉樹

? ? ? ? def print_node(node, node_tag):

? ? ? ? ? ? # 節(jié)點顏色

? ? ? ? ? ? color = sample(colors,1)[0]

? ? ? ? ? ? if node.left is not None:

? ? ? ? ? ? ? ? left_tag = str(uuid.uuid1())? ? ? ? ? ? # 左節(jié)點的數(shù)據(jù)

? ? ? ? ? ? ? ? self.dot.node(left_tag, str(node.left.data), style='filled', color=color)? ? # 左節(jié)點

? ? ? ? ? ? ? ? label_string = 'L' if label else ''? ? # 是否在連接線上寫上標簽傻咖，表明為左子樹

? ? ? ? ? ? ? ? self.dot.edge(node_tag, left_tag, label=label_string)? # 左節(jié)點與其父節(jié)點的連線

? ? ? ? ? ? ? ? print_node(node.left, left_tag)

? ? ? ? ? ? if node.right is not None:

? ? ? ? ? ? ? ? right_tag = str(uuid.uuid1())

? ? ? ? ? ? ? ? self.dot.node(right_tag, str(node.right.data), style='filled', color=color)

? ? ? ? ? ? ? ? label_string = 'R' if label else ''? # 是否在連接線上寫上標簽，表明為右子樹

? ? ? ? ? ? ? ? self.dot.edge(node_tag, right_tag, label=label_string)

? ? ? ? ? ? ? ? print_node(node.right, right_tag)

? ? ? ? # 如果樹非空

? ? ? ? if self.data is not None:

? ? ? ? ? ? root_tag = str(uuid.uuid1())? ? ? ? ? ? ? ? # 根節(jié)點標簽

? ? ? ? ? ? self.dot.node(root_tag, str(self.data), style='filled', color=sample(colors,1)[0])? ? # 創(chuàng)建根節(jié)點

? ? ? ? ? ? print_node(self, root_tag)

? ? ? ? self.dot.render(save_path)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? # 保存文件為指定文件

??在上述代碼中达箍，筆者創(chuàng)建了二叉樹類BTree没龙，實現(xiàn)了如下方法：

初始化方法：該樹存放的數(shù)據(jù)為data,左子樹，右子樹為left和right，默認均為None;

preorder()方法：遞歸實現(xiàn)二叉樹的先序遍歷硬纤；

inorder()方法：遞歸實現(xiàn)二叉樹的中序遍歷解滓；

postorder()方法：遞歸實現(xiàn)二叉樹的后序遍歷；

levelorder()方法：遞歸實現(xiàn)二叉樹的層序遍歷筝家；

height()方法：計算二叉樹的高度洼裤；

leaves()方法：計算二叉樹的葉子結點；

print_tree()方法：利用Graphviz實現(xiàn)二叉樹的可視化溪王，需要設置的參數(shù)為save_path和label腮鞍，save_path為文件保存路徑，默認的保存路徑為當前路徑下的Binary_Tree.gv,可以用戶自己設置莹菱；label為是否在Graphviz文件中添加二叉樹的左右子樹的標簽移国，用于分清哪棵是左子樹，哪棵是右子樹道伟，可以用用戶自己設置迹缀。

??若我們需要實現(xiàn)圖3的示例二叉樹，完整的Python代碼如下：

from Binary_Tree import BTree

# 構造二叉樹, BOTTOM-UP METHOD

right_tree = BTree(6)

right_tree.left = BTree(2)

right_tree.right = BTree(4)

left_tree = BTree(5)

left_tree.left = BTree(1)

left_tree.right = BTree(3)

tree = BTree(11)

tree.left = left_tree

tree.right = right_tree

left_tree = BTree(7)

left_tree.left = BTree(3)

left_tree.right = BTree(4)

right_tree = tree # 增加新的變量

tree = BTree(18)

tree.left = left_tree

tree.right = right_tree

print('先序遍歷為:')

tree.preorder()

print()

print('中序遍歷為:')

tree.inorder()

print()

print('后序遍歷為:')

tree.postorder()

print()

print('層序遍歷為:')

level_order = tree.levelorder()

print(level_order)

print()

height = tree.height()

print('樹的高度為%s.' % height)

print('葉子節(jié)點為：')

tree.leaves()

print()

# 利用Graphviz進行二叉樹的可視化

tree.print_tree(save_path='E://BTree.gv', label=True)

??OK,當我們運行上述代碼時蜜徽，可以得到該二叉樹的一些信息祝懂，輸出結果如下：

先序遍歷為:

18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4

中序遍歷為:

3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4

后序遍歷為:

3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18

層序遍歷為:

[[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]]

樹的高度為4.

葉子節(jié)點為：

3 4 1 3 2 4

該Python代碼的優(yōu)勢在于利用Graphviz實現(xiàn)了二叉樹的可視化，可以形象直觀地得到二叉樹的圖形拘鞋。在上面的代碼中砚蓬，我們可以看到，構建二叉樹不是很方便盆色，需要手動地一個個結點去添加灰蛙。那么，如果當我們需要根據(jù)某個列表傅事，按列表順序去構建二叉樹時缕允，即二叉樹的層序遍歷為該列表，那又該怎么辦呢蹭越？有什么好的辦法嗎障本？

??答案是必須有！按照某個列表去構建二叉樹的完整Python代碼如下：

from Binary_Tree import BTree

# 利用列表構造二叉樹

# 列表中至少有一個元素

def create_BTree_By_List(array):

? ? i = 1

? ? # 將原數(shù)組拆成層次遍歷的數(shù)組响鹃，每一項都儲存這一層所有的節(jié)點的數(shù)據(jù)

? ? level_order = []

? ? sum = 1

? ? while sum < len(array):

? ? ? ? level_order.append(array[i-1:2*i-1])

? ? ? ? i *= 2

? ? ? ? sum += i

? ? level_order.append(array[i-1:])

? ? # print(level_order)

? ? # BTree_list: 這一層所有的節(jié)點組成的列表

? ? # forword_level: 上一層節(jié)點的數(shù)據(jù)組成的列表

? ? def Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, forword_level):

? ? ? ? new_BTree_list = []

? ? ? ? i = 0

? ? ? ? for elem in forword_level:

? ? ? ? ? ? root = BTree(elem)

? ? ? ? ? ? if 2*i < len(BTree_list):

? ? ? ? ? ? ? ? root.left = BTree_list[2*i]

? ? ? ? ? ? if 2*i+1 < len(BTree_list):

? ? ? ? ? ? ? ? root.right = BTree_list[2*i+1]

? ? ? ? ? ? new_BTree_list.append(root)

? ? ? ? ? ? i += 1

? ? ? ? return new_BTree_list

? ? # 如果只有一個節(jié)點

? ? if len(level_order) == 1:

? ? ? ? return BTree(level_order[0][0])

? ? else: # 二叉樹的層數(shù)大于1

? ? ? ? # 創(chuàng)建最后一層的節(jié)點列表

? ? ? ? BTree_list = [BTree(elem) for elem in level_order[-1]]

? ? ? ? # 從下往上驾霜，逐層創(chuàng)建二叉樹

? ? ? ? for i in range(len(level_order)-2, -1, -1):

? ? ? ? ? ? BTree_list = Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, level_order[i])

? ? ? ? return BTree_list[0]

#array = list(range(1,19))

array = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'

tree = create_BTree_By_List(array)

print('先序遍歷為:')

tree.preorder()

print()

height = tree.height()

print('\n樹的高度為%s.\n'%height)

print('層序遍歷為:')

level_order = tree.levelorder()

print(level_order)

print()

print('葉子節(jié)點為：')

tree.leaves()

print()

# 利用Graphviz進行二叉樹的可視化

tree.print_tree(save_path='E://create_btree_by_list.gv', label=True)

在上述程序中，筆者利用create_BTree_By_List()函數(shù)實現(xiàn)了按照某個列表去構建二叉樹买置，輸入的參數(shù)array為列表粪糙，要求列表中至少有一個元素。運行上述程序忿项，我們得到的26個大寫字母列表所構建的二叉樹的圖像如下：

輸出的結果如下：

先序遍歷為:

A B D H P Q I R S E J T U K V W C F L X Y M Z G N O

樹的高度為5.

層序遍歷為:

[['A'], ['B', 'C'], ['D', 'E', 'F', 'G'], ['H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O'], ['P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z']]

葉子節(jié)點為：

P Q R S T U V W X Y Z N O

總結

??二叉樹是很多重要算法及模型的基礎蓉冈，比如二叉搜索樹（BST）城舞，哈夫曼樹(Huffman Tree)，CART決策樹等寞酿。本文先介紹了樹的基本術語家夺，二叉樹的定義與性質(zhì)及遍歷、儲存伐弹，然后筆者自己用Python實現(xiàn)了二叉樹的上述方法拉馋，筆者代碼的最大亮點在于實現(xiàn)了二叉樹的可視化，這個功能是激動人心的惨好。

??在Python中煌茴，已有別人實現(xiàn)好的二叉樹的模塊，它是binarytree模塊日川，其官方文檔的網(wǎng)址為：https://pypi.org/project/binarytree/ 蔓腐。其使用的例子如下：

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