回聲消除 Speex AEC 論文和代碼解析

參考

"On Adjusting the Learning Rate in Frequency Domain Echo Cancellation With Double-Talk"

"Multidelay Block Frequency Domain Adaptive Filter"

"Echo Canceler with Two Echo Path Models "

注：由于包含很多LaTeX公式凌彬，可能需要多次刷新或者使用google瀏覽器

大綱

包括小節(jié)：1 信號(hào)模型弯淘、2 迭代公式推導(dǎo)、3 最優(yōu)學(xué)習(xí)率寇荧、4 量的估計(jì)刽脖、5 雙講分析羞海、6 代碼解析

speexdsp AEC 的三個(gè)主要設(shè)計(jì)：

1）Multi-delay frequency domain adaptive filter，好處是：a）用來進(jìn)行低延遲自適應(yīng)曲管，b）可以為每個(gè)頻點(diǎn)單獨(dú)使用學(xué)習(xí)率

2）Two path model却邓，好處是：a）雙濾波器切換，避免雙講時(shí)發(fā)散

3）Optimal learning rate under noise：a）噪聲環(huán)境下能更好地控制學(xué)習(xí)率院水，b）避免雙講發(fā)散腊徙，對(duì)近端語音快速響應(yīng)

下面對(duì)“On Adjusting the Learning Rate in Frequency Domain Echo Cancellation With Double-Talk”這篇論文（也就是上面的第三點(diǎn)）進(jìn)行解析，并挑一些代碼中的技術(shù)點(diǎn)進(jìn)行梳理檬某。

AEC系統(tǒng)圖

噪聲環(huán)境下最優(yōu)NLMS學(xué)習(xí)率

1 信號(hào)模型

$\begin{aligned}&d(n) : 目標(biāo)信號(hào)\\&\hat{y}(n): 估計(jì)的回聲信號(hào)\\&\hat{w}: 估計(jì)的濾波器權(quán)重\\&w: 理想濾波器權(quán)重\\&x: 遠(yuǎn)端信號(hào)\\&[\cdot]^*: 表示求復(fù)數(shù)共軛\end{aligned}$

則撬腾，系統(tǒng)的誤差公式如下：

$\begin{aligned}e(n) &= d(n) - \hat{y}(n) \\&= d(n) - \sum_{k=0}^{N-1}\hat{w}_k(n) x(n-k) \quad (1)\end{aligned}$

基于 NLMS 的迭代公式如下：

$\begin{aligned}\hat{w}_k(n+1) &=\hat{w}_k(n) + \mu\frac{e(n)x^*(n-k)}{\sum_{i=0}^{N-1} |x(n-i)|^2} \quad (2) \\ \end{aligned}$

代入（1）式有：

$\begin{aligned}\hat{w}_k(n+1) &=\hat{w}_k(n) + \mu\frac{[ d(n) - \sum_{k=0}^{N-1}\hat{w}_k(n) x(n-k) ]x^*(n-k)}{\sum_{i=0}^{N-1} |x(n-i)|^2} \quad (3) \\ \end{aligned}$

記 $\delta_k(n) = \hat{w}_k(n) - w_k(n)$ 為第 $n$ 次迭代后，濾波器權(quán)重第 $k$ 個(gè)系數(shù)的估計(jì)誤差恢恼；并且民傻，對(duì)于理想濾波器有： $d(n) = v(n) + \sum_{k=0}^{N-1} w_k(n) x(n-k)$ 。

將 $\delta_k(n),d(n)$ 的表達(dá)式代入（3）式中，并考慮到理想濾波器系數(shù)（聲學(xué)路徑）并不隨著時(shí)間發(fā)生較大變化饰潜，可以認(rèn)為 $w(n) = w(n+1)$ ，得到：

$\delta_k(n+1) = \delta_k(n) + \mu\frac{[v(n)-\sum_{i=0}^{N-1} \delta_i(n)x(n-i)]x^*(n-k)}{\sum_{i=0}^{N-1}|x(n-i)|^2} \quad (4)$

接著定義在第 n 次迭代時(shí)和簸，濾波器失配度：

$\Lambda(n) = \sum_{k=0}^{N-1}\delta_k^*(n) \delta_k(n)$

2 濾波器失配度的迭代公式推導(dǎo)

由失配度的定義和迭代公式（4）可得彭雾，在第 n+1 次迭代時(shí)，濾波器的失配度為：

$\Lambda(n+1) = \sum_{k=0}^{N-1}\left | \delta_k(n) + \mu \frac{[v(n)-\sum_{i=0}^{N-1}\delta_i(n)x(n-i)]x^*(n-k)}{\sum_{i=0}^{N-1}|x(n-i)|^2} \right | \quad (5)$

若我們作一個(gè)強(qiáng)假設(shè)：遠(yuǎn)端信號(hào) $x(n)$ 和近端語音 $v(n)$ 是互不相關(guān)的白噪聲锁保，假設(shè)給定 $x(n),\delta_i(n)$ 的條件下 $v(n)$ 的條件分布為 $p_{v|x(n),\Lambda(n)}$ 薯酝，則對(duì) $\Lambda(n+1)$ 關(guān)于分布 $p_{v|x(n),\Lambda(n)}$ 求期望得：

$\mathbb E\{ \Lambda (n+1) | \Lambda(n), x(n) \} = \Lambda(n)\left[ 1 - \frac{2\mu}{N} + \frac{\mu^2}{N} + \frac{\mu^2\sigma_v^2}{\Lambda(n)\sum_{i=0}^{N-1}|x(n-i)|^2 }\right] \quad (6)$

其中： $\sigma_v^2$ 是近端語音信號(hào)得方差? $\sigma_v^2 = \mathbb E\{|v(n)|^2\}$ 。

我們需要對(duì)（6）式做一些推導(dǎo)：（為了簡(jiǎn)潔爽柒，將時(shí)間 n 略去）

先直接對(duì)絕對(duì)值的平方進(jìn)行展開：

$\begin{aligned}\mathbb E\{\Lambda(n+1)|\Lambda(n), x\} &= \mathbb E\{\sum_k \left |\delta_k + \mu\frac{(v - \sum_i \delta_i x_i)x_k^*}{\sum_i|x_i|^2} \right |^2\} \\&= \mathbb E \{ \underbrace{ \sum_k |\delta_k|^2}_{(E1)} + \underbrace{\sum_k \delta_k^*\mu\frac{(v-\sum_i\delta_i x_i)x_k^*}{\sum_i |x_i|^2}}_{(E2)} \\&\quad +\underbrace{\sum_k\delta_k\mu\frac{(v^*-\sum_i\delta_i^*x_i^*)x_k}{\sum_i|x_i|^2}}_{(E3)} \\&\quad + \underbrace{\sum_k\mu^2\frac{|v-\sum_i\delta_ix_i|^2\cdot |x_k|^2}{(\sum_i|x_i|^2)^2}}_{(E4)}\}\end{aligned}$

其中： $(E1)$ 顯然就是時(shí)刻 n 的濾波器失配度 $\Lambda(n)$ 吴菠， $(E2),(E3)$ 中有關(guān) $v(n)$ 的一次項(xiàng)式的部分，在其取期望后為 0浩村，即：

$\mathbb E\{ \sum_k\frac{\delta_k^* x_k^*\mu v}{\sum_i|x_i|^2}\} = 0,\quad \mathbb E\{ \sum_k\frac{\delta_k x_k\mu^* v^*}{\sum_i|x_i|^2}\} = 0$

余下的部分做葵，重新整理得：

$\begin{aligned}\mathbb E\{ \Lambda(n+1)| \Lambda(n), x \} &= \mathbb E \{ \Lambda (n) - \underbrace{ \frac{2\mu\sum_k\delta_k^* x_k^*\sum_i\delta_ix_i}{\sum_i |x_i|^2} }_{(E5)} \\&\quad +\underbrace{\frac{\mu^2(|v|^2-v^*\sum_i\delta_ix_i-v\sum_i\delta_i^*x_i^* + \sum_i\delta_ix_i\sum_k \delta_k^* x_k^*)}{\sum_i|x_i|^2}}_{(E6)}\}\end{aligned}$

再一次，在上式 $(E6)$ 中心墅，對(duì) $v$ 得一次項(xiàng)取期望后為 0酿矢；

再對(duì)上式中 $(E5)$ 子式進(jìn)行處理，其分子如下化簡(jiǎn)：

$\begin{aligned}&\mathbb E\{ \sum_k\sum_i\delta_k^*x_k^*\delta_i x_i \}\\&= \sum_k \mathbb E\{ \delta_k^*\delta_kx_k^*x_k \} + 交叉項(xiàng)\\&=\sum_k |\delta_k|^2\sigma_x^2 \\&= \sigma_x^2\Lambda(n)\end{aligned}$

其中 “交叉項(xiàng)” 為 0怎燥，因?yàn)榧僭O(shè)（遠(yuǎn)端）語音是白噪瘫筐，因此不相關(guān)； $\sigma_x^2$ 為遠(yuǎn)端語音信號(hào)得方差铐姚。

再對(duì) $(E5)$ 中的分母改寫為：

$\sum_k|x_i|^2 = N(\frac{1}{N}\sum_i |x_i|^2) \approx N\hat{\sigma}_x^2$

又 $\sigma_x^2 \approx \hat{\sigma}_x^2$ 策肝，全部代入 $(E5)$ 子式得： $(E5) = \frac{2\mu\Lambda(n)}{N}$

同理，對(duì)子式 $(E6)$ 使用同樣得處理可得：

$\mathbb E\{\Lambda(n+1)|\Lambda(n),x\} = \Lambda(n) + \frac{2\mu\Lambda(n)}{N} + \frac{\mu^2\sigma_v^2}{\sum_i|x_i|^2} + \frac{\mu^2\Lambda(n)}{N} \quad (*)$

提取公因子 $\Lambda(n)$ 隐绵，就得到了論文中的公式（6）之众。

3 最優(yōu)學(xué)習(xí)率

接下來，我們尋找在新的一輪迭代中依许，使得濾波器失配度 $\Lambda(n+1)$ 達(dá)到最小的學(xué)習(xí)率酝枢；由于上式 $(*)$ 是一個(gè)關(guān)于學(xué)習(xí)率 $\mu$ 的二次函數(shù)，因而容易得到最小值點(diǎn)悍手，求導(dǎo)并令其為 0 得：

$\frac{-2}{N} + \frac{2\mu}{N} + \frac{2\mu\sigma_v^2}{\Lambda(n)\sum_{i=0}^{N-1}|x(n-i)|^2} = 0 \quad (7)$

解方程得：

$\mu_{opt}(n) = \frac{1}{1+\frac{\sigma_v^2}{\Lambda(n)(1/N)\sum_i|x(n-i)|^2}} \quad (8)$

Observation：當(dāng)沒有近端語音時(shí)帘睦，即 $\sigma_v^2 = 0$ ，此時(shí)（8）式退化成 NLMS 對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)率坦康。

雖然我們得到了噪聲環(huán)境中的最優(yōu)學(xué)習(xí)率（8）式竣付，但是其中的失配度無法計(jì)算，因此我們需要進(jìn)一步將其變?yōu)榭晒烙?jì)的量滞欠。

3.1 得到可估計(jì)的學(xué)習(xí)率公式

繼續(xù)分析（8）式中的 $\Lambda(n)\frac{1}{N}\sum_i|x(n-i)|^2$ 這一項(xiàng)古胆，其中左半邊 $\Lambda (n)$ 為濾波器的失配度，右半邊 $\frac{1}{N}\sum_i|x(n-i)|^2$ 顯然是遠(yuǎn)端信號(hào)能量的估計(jì)；因此逸绎，這一整項(xiàng)似乎與 AEC 濾波后的遠(yuǎn)端信號(hào)殘留能量相關(guān)的某個(gè)量惹恃；下面我們證明，它的確就是遠(yuǎn)端信號(hào)的殘留能量的估計(jì)棺牧，推導(dǎo)過程如下：

$\begin{aligned}\sigma_r^2 &= \mathbb E\{ |\sum_i \hat w_ix_i- \sum_i w_ix_i) |^2\} \\&=\mathbb E\{\sum_i | (\hat{w}_i - w_i)x_i |^2 \}\\&= \sum_i\mathbb E\{|\hat{w}_i-w_i|^2 \cdot|x_i|^2\} +\sum_{i\ne j} \mathbb E \{(\hat{w}_i-w_i)^*(\hat{w}_j-w_j)x_i^*x_j\} \\&=(\sum_i|\delta_i|^2)\mathbb E\{|x_i|^2\}\\&= \Lambda(n)\sigma_x^2\\&=\Lambda(n)\frac{1}{N}\sum_i |x(n-i)|^2 \quad as \ N\to \infty\end{aligned}$

其中：由語音是白噪聲這一假設(shè)可知 “交叉項(xiàng)” 為 0巫糙。

進(jìn)而有： $\mu_{opt}(n) = \frac{1}{1+\frac{\sigma_v^2}{\sigma_r^2}}=\frac{\sigma_r^2}{\sigma_r^2+\sigma_v^2} = \frac{\sigma_r^2}{\sigma_e^2}$

這里又用到了殘差信號(hào) 與遠(yuǎn)端殘留信號(hào) 的不相關(guān)性，得到總誤差的能量 $\sigma_e^2$ 就等于組成誤差的兩個(gè)分量的能量和 $\sigma_v^2+\sigma_r^2$ ?颊乘。

結(jié)論：在以上的假設(shè)下参淹，理論上的最優(yōu)學(xué)習(xí)率?近似等于?殘留回聲 與 總誤差信號(hào) 的能量比。

在實(shí)際操作中乏悄，迭代第 n 步有：（其中 $\hat{\sigma}_r(n),\hat{\sigma}_e(n)$ 分別是 $\sigma_r,\sigma_e$ 在第 n 步得估計(jì)）

$\hat{\mu}_{opt}(n) = \min(\frac{\hat{\sigma}_r^2(n)}{\hat{\sigma}_e^2(n)}, 1) \quad (10)$

4 量的估計(jì)

4.1 殘留回聲估計(jì)的上限

當(dāng)條件 $\mathbb E\{\Lambda(n+1)\} = \Lambda(n)$ 滿足時(shí)浙值，我就達(dá)到了統(tǒng)計(jì)意義上的收斂（此時(shí)，濾波器在整體上達(dá)到了平穩(wěn)狀態(tài)檩小，但系數(shù)之間或有細(xì)微變化）开呐，在公式 $(*)$ 中，令 $\mathbb E\{\Lambda(n+1)\} = \Lambda(n)$ 规求，并用遠(yuǎn)端信號(hào)得方差 $\sigma_x^2$ 替代其估計(jì) $\frac{1}{N}\sum_i|x(n-i)|^2$ 后负蚊，可解得：

$\Lambda(n) \approx \frac{\sigma_v^2}{\sigma_x^2(\frac{2}{\mu}-1)} \quad (11)$

因此，如果當(dāng)前濾波器失配度滿足上式（11）颓哮，則在統(tǒng)計(jì)意義下家妆，使用最優(yōu)學(xué)習(xí)率，將不再能改善濾波器失配度冕茅。最優(yōu)學(xué)習(xí)率為 $\hat{\mu}_{opt} = \frac{\hat{\sigma}_r^2}{\hat{\sigma}_e^2}$ 代入（11）式中伤极，考慮到誤差信號(hào)得方差 $\sigma_e^2$ 可以估計(jì)得很準(zhǔn)確，因此我們直接使用它得期望值代入姨伤，而殘留回聲方差 $\sigma_r^2$ 則用估計(jì)值 $\hat{\sigma}_r^2$ 代入哨坪，即將 $\frac{\hat{\sigma}_r^2}{\sigma_e^2}$ 作為學(xué)習(xí)率代入（11）式得：

$\begin{aligned}(11)式 &\Leftrightarrow \Lambda(n)\sigma_x^2 \approx\frac{\sigma_v^2}{\frac{2}{\mu} - 1} \\&\Leftrightarrow \sigma_r^2 \approx \frac{\sigma_v^2}{\frac{2\sigma_e^2}{\hat{\sigma}_r^2}-1} \\&\Leftrightarrow \sigma_r^2 \approx \frac{\sigma_v^2}{\frac{2(\sigma_r^2+\sigma_v^2)}{\hat{\sigma}_r^2}-1}\end{aligned}$

上式繼續(xù)整理，得到如下方程：

$\begin{aligned}(11)式&\Leftrightarrow2(\sigma_r^2)^2+2\sigma_r^2\sigma_v^2-(\sigma_r^2+\sigma_v^2)\hat{\sigma}_r^2 = 0 \\&\Leftrightarrow (2\sigma_r^2-\hat{\sigma}_r^2)(\sigma_r^2-\sigma_v^2) = 0\end{aligned}$

所以乍楚，殘差得估計(jì)值和期望值應(yīng)滿足： $\sigma_r^2 \approx \min(\frac{1}{2}\hat{\sigma}_r^2, \sigma_v^2) \quad (12)$

因此当编，在達(dá)到平穩(wěn)后，殘留回聲的估計(jì)方差徒溪，不應(yīng)該大于 2 倍的真實(shí)方差忿偷，即不能高估這個(gè)方差超過 2 倍（3 dB）。

顯然臊泌，前面對(duì)近端語音 $v(n)$ 和遠(yuǎn)端語音 $x(n)$ 的白噪聲假設(shè)是不合理的鲤桥；但是，我們可以到頻域進(jìn)行估計(jì)渠概，理由是：

a. 經(jīng)觀察茶凳，同一個(gè)頻點(diǎn)沿著時(shí)間軸上的相關(guān)性比時(shí)域數(shù)據(jù)的相關(guān)性要低嫂拴，這使得我們的假設(shè)在頻域更加可靠。

b. 在頻域贮喧，我們可以對(duì)每個(gè)頻點(diǎn)單獨(dú)計(jì)算最優(yōu)學(xué)習(xí)率： $\hat{\mu}_{opt}(k, l) \approx \frac{\sigma_r^2(k,l)}{\sigma_e^2(k,l)} \quad (14)$

4.2 殘留回聲的估計(jì)

a. 假設(shè)濾波器有一個(gè)和頻率無關(guān)的泄露系數(shù) $\eta(l)$ 筒狠，則可以通過下式來對(duì) 殘留回聲的方差進(jìn)行估計(jì)：

$\hat{\sigma}_r^2(k,l) = \hat{\eta}(l)\hat{\sigma}_{\hat{Y}}^2(k,l) \quad (15)$

下面我們來證明（15）式的合理性，顯然根據(jù) $x(n)$ 的白噪假設(shè)箱沦，有：

$\begin{aligned}\mathbb E \{ \hat{y}^2 \} &= \mathbb E \{(\sum_i \hat{w}_i x(n-i))^2\}\\&= \sum_i \hat{w}_i^2 \mathbb E \{ x(n-i)^2\}\\&= (\sum_i \hat{w}_i^2) \sigma_x^2\end{aligned}$

由前面關(guān)于殘留回聲功率的結(jié)論辩恼，并代入上式有：

$\begin{aligned}\sigma_r^2 &= \Lambda \sigma_x^2 \\&= \frac{\Lambda}{\sum_i \hat{w}_i^2} \mathbb E\{\hat{y}^2\} \\&= \frac{\sum_i \delta_i^2}{\sum_i \hat{w}_i^2} \sigma_{\hat y}^2\end{aligned}$

在上式中，我們記 $\hat{\eta} = \frac{\sum_i \delta_i^2}{\sum_i \hat{w}_i^2}$ 饱普；我們注意到? $\hat{\eta}$ 的分子和分母都是和濾波器權(quán)重的整體相關(guān)的一個(gè)值运挫，是關(guān)于 echo path 以及 echo path change 的一個(gè)量状共；而在實(shí)際中回聲路徑被認(rèn)為是緩慢變化的套耕，所以我們可以認(rèn)為? $\hat{\eta}$ 是一個(gè)緩慢變化的量。而另一項(xiàng) $\sigma_{\hat y}^2$ 是語音的能量峡继，因而是變化迅速的冯袍。

該過程同樣也能說明頻域的學(xué)習(xí)率也能分成這兩個(gè)部分。

雖然在上式中對(duì)殘留回聲方差的估計(jì)碾牌，包含了不可計(jì)算的濾波器失配度 $\Lambda$ 康愤，但是從式子來看， $\hat{\eta}$ 的確可是視為濾波器的 ERLE舶吗。并且作者給出了下圖征冷，說明 $\hat{\eta}$ 的倒數(shù) 與 ERLE近似程度。

ERLE與

\eta

的一致性

使用上式來估計(jì)殘留回聲有兩個(gè)好處：

????????1）將殘留回聲的估計(jì)轉(zhuǎn)為對(duì)兩個(gè)量的估計(jì)誓琼，一個(gè)是變化緩慢但不易估計(jì)的泄露系數(shù) $\hat{\eta}$ 检激，另一個(gè)是變化快速但容易估計(jì)的回聲功率 $\sigma_{\hat y}^2$ 。

????????2）在 double-talk 到來時(shí)腹侣，可以迅速做出反應(yīng)：如下式的最優(yōu)學(xué)習(xí)率叔收，我們使用回聲的瞬時(shí)功率 $|\hat{Y}(k,l)|^2$ 作為它的方差，同樣使用誤差信號(hào)的瞬時(shí)功率 $|E(k,l)|^2$ 作為誤差信號(hào)的方差：

? ?????? $\hat{\mu}_{opt}(k,l) = \min(\hat{\eta}(l)\frac{|\hat{Y}(k,l)|^2}{|E(k,l)|^2}, \mu_{max}) \quad (16)$

????????如此，就將學(xué)習(xí)率的自適應(yīng) 解耦成泄露系數(shù) $\hat{\eta}$ ?和回聲功率與誤差功率之比這兩部分，正是后者提供了對(duì) double-talk 的快速反應(yīng)能力硫眨。（而泄露系數(shù)需要較長(zhǎng)時(shí)間才能迭代到目標(biāo)值）

另外怎炊，系統(tǒng)初始化時(shí)，濾波器系數(shù)為 0殿衰，所以? $\hat{Y}$ 也是 0，因此最優(yōu)學(xué)習(xí)率總是 0；為了解決這個(gè)問題芝薇，考慮在初始化后使用固定的學(xué)習(xí)率（代碼中是0.25）進(jìn)行自適應(yīng)濾波，等到濾波器系數(shù)收斂到一定程度時(shí)作儿，再使用這里提出的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法洛二。

4.3 泄露系數(shù)的估計(jì)

綜上，我們就將殘留回聲方差估計(jì)的問題，轉(zhuǎn)為對(duì) 泄露系數(shù) $\eta$ 的估計(jì)問題：

? ? 1）利用信號(hào)的非平穩(wěn)性

? ? 2）利用估計(jì)的回聲信號(hào) 和誤差信號(hào) 之間的線性回歸值來估計(jì)

? ? 3）基于的事實(shí)是：殘留的回聲與估計(jì)的回聲是高度相關(guān)的晾嘶，且估計(jì)的回聲與誤差信號(hào)中的噪聲是無關(guān)的妓雾。

SpeexDSP 代碼中的計(jì)算過程：

? ? 1）先使用一階去 DC 濾波器去除估計(jì)的回聲功率和誤差功率譜的 DC分量，得到零均值的 $P_y,P_e$ 垒迂，代碼中使用遞歸平均來估計(jì)均值械姻，然后分別減去均值）

? ? 2）再使用下式計(jì)算平滑的相關(guān)：

? ?? $\begin{aligned}R_{EY} (k,l) &= (1-\beta(l))R_{EY}(k,l) + \beta(l) P_Y(k)P_E(k)\\R_{YY}(k,l) &= (1-\beta(l))R_{YY}(k,l) + \beta(l)P_Y(k)^2\end{aligned}$

? ? 其中， $\beta(l)$ 是一個(gè)動(dòng)態(tài)的平滑系數(shù)机断，用于估計(jì)泄露系數(shù)楷拳，如下計(jì)算：

? ?? $\beta(l)= \beta_0\min(\frac{\hat{\sigma}_{\hat Y}^2}{\hat{\sigma}_e^2}, 1)$ ，其中? $\beta_0$ 是一個(gè)基礎(chǔ)平滑系數(shù)

? ? 在 Speex 代碼中吏奸，和前面的學(xué)習(xí)率一樣欢揖，使用瞬時(shí)功率代替 $\beta(l)$ 估計(jì)式中的方差。

? ? 當(dāng)遠(yuǎn)端沒有信號(hào)時(shí)奋蔚，有 beta = 0她混，所以? $R_{EY}$ 和 $R_{YY}$ 保持不變，即泄露系數(shù)保持不變泊碑，這樣到下一次遠(yuǎn)端有語音（回聲）過來時(shí)坤按，能有一個(gè)合理的初始值。

????3）最后將所有的頻點(diǎn)上的相關(guān)性加起來馒过，得到頻點(diǎn)無關(guān)的泄露系數(shù)的估計(jì)：

? ?? $\hat{\eta}(l) = \frac{\sum_k R_{EY}(k,l)}{\sum_k R_{YY}(k,l)}$

5 雙講分析

分析前面的最優(yōu)學(xué)習(xí)率公式臭脓，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)能夠處理 double-talk 場(chǎng)景：

????a. 當(dāng)近端語音突然出現(xiàn)時(shí)，公式（16）中的分母（瞬時(shí)功率）會(huì)陡然增大腹忽，從而使得學(xué)習(xí)率變得很欣蠢邸；這會(huì)持續(xù)到 double-talk 結(jié)束留凭；

? ? b. 假設(shè)近端沒有語音佃扼，但是有平穩(wěn)噪聲，則（16）中的分母保持不變蔼夜，此時(shí)學(xué)習(xí)率收到回聲功率和泄露系數(shù)的影響：

? ? ? ? i）當(dāng)回聲功率增大時(shí)兼耀，學(xué)習(xí)率變大，使得收斂迅速求冷；

? ? ? ? ii）當(dāng)濾波器系數(shù)收斂時(shí)瘤运，泄露系數(shù)? $\eta$ 變小，從而學(xué)習(xí)率變小匠题，使得收斂過程更平穩(wěn)拯坟；

? ? c. double-talk 時(shí)，殘留回聲與誤差的相關(guān)性很小韭山，從而保持學(xué)習(xí)率很小郁季，不會(huì)造成濾波器發(fā)散冷溃；

? ? d. Echo-path 發(fā)生變化時(shí)，濾波器系數(shù)完全失效梦裂，殘留回聲與誤差有很大的相關(guān)性似枕，從而使得學(xué)習(xí)率迅速達(dá)到 1，從而加快收斂年柠。

6 代碼解析

6.1 循環(huán)卷積到線性卷積

在代碼實(shí)現(xiàn)時(shí)凿歼，使用FFT計(jì)算卷積，會(huì)產(chǎn)生循環(huán)卷機(jī)效應(yīng)冗恨。為了看懂代碼答憔，非電子、信息掀抹、通信專業(yè)的工程師還是要搞清楚這一點(diǎn)虐拓，才能理解代碼，下面先來分析一下為什么出現(xiàn)循環(huán)卷積：

$\begin{aligned}\mathcal F[{x(n)}] &= X(k) \\\mathcal F[w(n)] &= W(k)\\\end{aligned}$

其中： $\mathcal F$ 為傅立葉變換渴丸， $x(n),n=0,...,N-1$ 為某一幀數(shù)據(jù)侯嘀， $w(n),n=0,...,N-1$ 為該時(shí)刻的濾波器權(quán)重另凌。

期望使用卷積定理的等價(jià)形式 $\mathcal F^{-1}[\mathcal F[x(n)]\mathcal F[w(n)]]$ 來計(jì)算時(shí)域卷積運(yùn)算（可參考任一本dsp方面的書籍）谱轨，對(duì)于離散傅立葉變換的特殊情況，我們將其展開：

$\begin{aligned}y(m) &= \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{n-1} X(k)W(k)e^{j2\pi km/N} \\&= \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{n-1}\left (\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}\right) \left (\sum_{l=0}^{N-1}w(l)e^{-j2\pi kl/N}\right)e^{j2\pi km/N} \\&=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1} \left(x(n)w(l) \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{-j2\pi k(n+l-m)/N} \right)\end{aligned} \tag{6.1.1}$

其中等比數(shù)列計(jì)算為： $\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}e^{-j2\pi k(n+l-m)/N} = \begin{cases} 1 ,\quad n+l-m=pN, p\in\mathcal Z \\ 0 ,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

因此吠谢，只有當(dāng) $l = m-n+pN$ 時(shí)土童，才包含有效的計(jì)算，上 $(6.1.1)$ 式為：

$y(m)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)w(m-n+pN), \quad p\in \mathcal Z, \ \mathbf {s.t.}\ 0 \le m-n+pN \le N-1$ 工坊，這是一個(gè)循環(huán)卷積献汗！見下面簡(jiǎn)單示例：

例如：當(dāng) $N=8$ 時(shí)，我們計(jì)算 $y(3)$ 的值有 $y(3) = \sum_{n=0}^{7}x(n)w(3-n+p\cdot 8)$ 王污，如下圖所示 $x(n)$ 與 $w(l)$ 的對(duì)齊情況：

$\begin{bmatrix}x_0 &x_1& x_2& x_3&x_4&x_5&x_6&x_7\\w_3&w_2&w_1&w_0&w_7&w_6&w_5&w_4\end{bmatrix}$

這是一個(gè)非因果運(yùn)算罢吃，顯然我們的濾波器不允許這種情況發(fā)生，為了避免循環(huán)卷積昭齐，可以拼接前后兩幀數(shù)據(jù)尿招，并將權(quán)重的后半段置為 0 即可，多出來的 0 將不會(huì)產(chǎn)生有效的計(jì)算阱驾，如下圖所示就谜，產(chǎn)生 $y(0),\dots,y(7)$ 的過程：

$\begin{bmatrix}*&*&\cdots&*&x_0 & x_1& x_2& x_3&x_4&x_5&x_6&x_7&x_8&x_9&x_{10}&x_{11}&x_{12}&x_{13}&x_{14}&x_{15} \\0&0&\cdots&0&w_7&w_6&x_5&w_4&w_3&w_2&w_1&w_0& \rightarrow y(0) \\&0&\cdots&0&0&w_7&w_6&x_5&w_4&w_3&w_2&w_1&w_0& \rightarrow y(1) \\&&&&&&&&&&&&&\cdots\\&&&&&&&&0&0&\cdots&0&w_7&w_6&x_5&w_4&w_3&w_2&w_1&w_0& \rightarrow y(7) \\\end{bmatrix}$

注意：利用 $\mathcal F^{-1}[\mathcal F[x(n)]\mathcal F[w(n)]]$ 計(jì)算卷積，實(shí)際上的計(jì)算過程永遠(yuǎn)都是循環(huán)卷積里覆，只不過在這里丧荐，我們通過將權(quán)重的后半段強(qiáng)行置 0 后，只有后半段的 $x(n)$ 在進(jìn)行有效的計(jì)算喧枷，而此時(shí)得到的結(jié)果恰好就是線性卷積的結(jié)果虹统。

（TODO）

最后編輯于：2024.03.08 20:00:22

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