4-9:
題目：寫一個(gè)簡(jiǎn)短的遞歸程序剥啤，用于在不使用任何循環(huán)的條件下查找一個(gè)序列中的最小值和最大值。
這一題和做天的第一題很像不脯，但是這一題要求返回兩個(gè)值，最大和最小刻诊，我們不應(yīng)該寫兩個(gè)程序來分別找最大和最小值防楷，如果這樣就與昨天重復(fù)了，也不符合程序要求则涯。
所以我們?cè)谶f歸時(shí)直接返回兩個(gè)值复局，遞歸的基本情況是當(dāng)序列只有一個(gè)元素時(shí)，最大最小都是哪一個(gè)元素粟判；遞歸情況是亿昏，max(前n-1個(gè)元素的最大值，第n個(gè)元素)档礁、min(前n-1個(gè)元素的最小值角钩，第n個(gè)元素)
跟據(jù)這兩個(gè)定義就可以寫出程序：
def max_min_in_s(s, n):
if len(s) == 0:
return None
if n ==0:
return s[0], s[0]
s_max, s_min = max_min_in_s(s, n-1)
if s_max < s[n]:
s_max = s[n]
if s_min > s[n]:
s_min = s[n]
return s_max, s_min
s = [1, 3, 4, 55, 6, 7, 8, 3, 10]
print(max_min_in_s(s, len(s)-1))
注意輸入的n是s的最后一個(gè)元素的索引！
輸出：
這個(gè)算法不像之前一樣只返回一個(gè)值呻澜，而是返回以個(gè)元組递礼，這樣可以只用線性遞歸就可以的出結(jié)果。
4-10
題目：在只使用加法和整數(shù)除法的情況下羹幸，描述一個(gè)遞歸算法脊髓，來計(jì)算以2為底的n的對(duì)數(shù)的整數(shù)部分。
剛拿到的時(shí)候我懵了一鎮(zhèn)栅受，后來想想也就那樣将硝。原版答案提示是這樣說的：
The integer part of the base-two logarithm of n is the number of times you can divide by two before you get a number less than 2.
這一說就太明白了，在你得到一個(gè)小于2的數(shù)之前屏镊，你能把n除以2幾次依疼，這個(gè)值便是對(duì)數(shù)的整數(shù)部分。
import time
def log_2_n(n):
if n == 1:
return 0
if n < 1:
return log_2_n(n*2) + 1
else:
return log_2_n(n//2) + 1
start_time = time.time()
t = log_2_n(2**997+11111)
print(t)
end_time = time.time()
print(start_time)
print(end_time)
print(end_time-start_time)
我多試了幾組闸衫，最后試的是默認(rèn)最大遞歸深度涛贯，但是絲毫不影響我們程序的速度。
結(jié)果：
遞歸蔚出，有的人恨它弟翘，有的人愛它，還有的人恨著恨著就愛上了骄酗。
我是第二種人稀余，一直很愛。
4-11
題目：描述以個(gè)有效的遞歸算法趋翻，來求解序列唯一性的問題睛琳，不使用排序，算法的時(shí)間復(fù)雜度對(duì)多為O(n^2)。
這一題就比較好玩师骗，我下午上課寫的历等。在復(fù)制序列這一步我覺得還可以改進(jìn)，因?yàn)閺?fù)制字符串就已經(jīng)是O(n)了辟癌，所以算上遞歸最后還是O(n^2).
算法的思想是：當(dāng)序列只有一個(gè)元素的時(shí)候寒屯，序列元素一定是唯一的；當(dāng)序列元素大于1的時(shí)候：只要最后的第n個(gè)元素不與前n-1項(xiàng)元素重復(fù)黍少，且前n-1項(xiàng)元素是唯一的寡夹，這時(shí)候，這n個(gè)元素的序列元素具有唯一性厂置。
def element_unique(s, n):
if len(s) == 0:
return None
if n == 0:
return True
return s[n] not in s[0:n] and element_unique(s, n-1)
s1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
s2 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8]
print('s1序列元素唯一', element_unique(s1, len(s1)-1))
print('s2序列元素唯一', element_unique(s2, len(s2)-1))
這里要注意的就是返回的那一句return s[n] not in s[0:n] and element_unique(s, n-1),這里利用了and邏輯與的短路保護(hù)機(jī)制菩掏，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)元素，也就是s[n] not in s[0:n]為假昵济，根據(jù)邏輯與的性質(zhì)智绸，后面的遞歸就不用判斷了，直接返回了砸紊，節(jié)省了大量時(shí)間传于。
結(jié)果：
哎呀，我真是越來越棒了醉顽！
我發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：在原版書的提示中沼溜，它更愿意用low和high兩個(gè)變量里保存判斷范圍的下標(biāo)值，而我只用1個(gè)游添，這是因?yàn)槲颐看慰紤]的都是最后一個(gè)與前n-1個(gè)系草，而書上考慮的是第一個(gè)和后n-1個(gè)。
