群
群(group)的概念可以理解為：一個(gè)集合以及定義在這個(gè)集合上的二元運(yùn)算腾节，滿足群的四條公理，封閉性荤牍、結(jié)合性案腺、單位元、反元素康吵。
1劈榨、原群，是一種基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)涎才，只要滿足兩元素作二元運(yùn)算得到新元素仍屬于該集合鞋既，即封閉性
2力九、半群，半群是滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)邑闺，結(jié)合律的特點(diǎn)是只要求元素之間的運(yùn)算位置不變跌前。V=<S，* >
3陡舅、幺半群抵乓。是在半群的基礎(chǔ)上加單位元。一個(gè)運(yùn)算是否具有單位元也是有特點(diǎn)的靶衍，單位元即運(yùn)算之后不改變?cè)氐闹翟痔浚瑢?duì)于普通加法和普通乘法，如果存在沒(méi)有單位元的代數(shù)系統(tǒng)颅眶，一般能通過(guò)擴(kuò)大集合增加單位元蜈出。
4、交換群涛酗，是在群的基礎(chǔ)上加了交換律铡原，也叫阿貝爾群，交換律是一個(gè)很嚴(yán)格的運(yùn)算律商叹，換句話說(shuō)燕刻，一個(gè)運(yùn)算如果是可交換的那么我們說(shuō)他很棒，滿足交換律的運(yùn)算剖笙，運(yùn)算符兩邊是等價(jià)的卵洗。
5、群的四條公理：
封閉性：a???b?is another element in the set
結(jié)合律：(a ? b) ? c = a ? (b ? c)
單位元：a ? e = a and e ? a = a
逆 元：加法的逆元為-a弥咪，乘法的逆元為倒數(shù)1/a过蹂，… (對(duì)于所有元素)
如整數(shù)集合，二次元運(yùn)算為加法就是一個(gè)群(封閉性是顯然的酪夷，加法滿足結(jié)
環(huán)
環(huán)(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎(chǔ)上榴啸，添加一種二元運(yùn)算·(雖叫乘法，但不同于初等代數(shù)的乘法)晚岭。一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是環(huán)(R, +, ·)鸥印。
域
域(Field)在交換環(huán)的基礎(chǔ)上，還增加了二元運(yùn)算除法坦报，要求元素(除零以外)可以作除法運(yùn)算库说，即每個(gè)非零的元素都要有乘法逆元。由此可見片择，域是一種可以進(jìn)行加減乘除(除0以外)的代數(shù)結(jié)構(gòu)潜的，是數(shù)域與四則運(yùn)算的推廣。整數(shù)集合不是域字管，因?yàn)檎麛?shù)的倒數(shù)不是整數(shù)啰挪。
