我們很早就學(xué)過喘垂，圓的面積計算公式:
但是以前從沒想過他是怎么推導(dǎo)來的甜刻，今天突發(fā)奇想，用微積分推導(dǎo)了一下正勒，然后上網(wǎng)看了下高手們的推導(dǎo)得院，真的是各種方法無奇不有啊，于是就有了寫這篇文章的沖動章贞，總結(jié)下各種計算圓面積的方法祥绞。
不需要常數(shù)π的方法
計算圓的面積中有一個重要常數(shù)π，現(xiàn)在假設(shè)我們不知道π的值鸭限，該怎么計算圓的面積呢蜕径？
蒙特卡羅方法（或飛鏢法）
不知道常數(shù)π的值，也就沒法直接求出圓的周長和面積败京，很好想到的一個方法就是：將圓鑲嵌在一個正方形中兜喻，然后求出圓占這個正方形面積的百分比：
你可以胡亂朝這個區(qū)域投擲飛鏢，當(dāng)飛鏢數(shù)量足夠大赡麦，并假設(shè)飛鏢投到這個區(qū)域任意位置的概率是一樣的朴皆，那么你最后就可以通過飛鏢數(shù)量求出圓占整個正方形面積的比，設(shè)圓的半徑為r泛粹，正方形面積為：
由知道了比值遂铡，自然就可以算出圓的面積
需要常數(shù)π的方法
常數(shù)π是個重要的常數(shù)，它表示圓的周長C和圓的直徑d之比：
如果要用公式:
計算圓的面積晶姊，當(dāng)然需要知道π的值扒接。
知道了π的定義，最簡單的辦法就是滾粗法：
操作起來就是：
先用繩子圍繞標(biāo)準(zhǔn)圓一周们衙，然后測量繩子長度：
接著找準(zhǔn)圓心钾怔，然后用尺子測出圓的直徑：
這兩的比值就是常數(shù)π了。當(dāng)然為了更好的精確度砍艾，可以采用多次測量取平均值的方法蒂教。
其實上面講到的蒙特卡洛方法也可以用來計算常數(shù)π，只需將圓的半徑設(shè)為1就好脆荷。
還有一種經(jīng)典的蒙特卡洛方法，叫做蒲風(fēng)投針實驗：
設(shè)針的長度是l，平行線之間的距離為t,x為針的中心和最近的平行線的距離,θ為針和線之間的銳角蜓谋。
可以推導(dǎo)：
而
的概率密度函數(shù)為：
x和θ兩個隨機變數(shù)互相獨立梦皮，因此兩者結(jié)合的概率密度函數(shù)只是兩者的積：
針和線相交時：
求上式的積分，得到針和線相交的概率：
即拋n針桃焕，其中有h針和線相交的概率為：
由此可以得到π：
具體操作時剑肯，我們可以取t=2l，然后投擲n針观堂，除以針和線相交的次數(shù)h让网，就得到π：
當(dāng)然還有更多計算π的方法，像數(shù)列求極限等师痕，感興趣的請參考這里
好了溃睹，解決了常數(shù)π，下面回到正題胰坟，如何計算圓的面積因篇？
剪紙法
剪紙法的思想就是化整為零，再重新拼接笔横。
將一個圓剪成很多小的扇形竞滓，然后再將其拼成如上圖的一個矩形，由于圓的周長是2πr,藍色和黃色各占一半吹缔，所以拼成的長方形的長約為π*r,而長方形的寬約為圓的半徑r商佑，所以圓的面積等于長方形的面積：
變形法
其實這個方法和上個方法基本思想是一樣的：圓的面積我們不知道，那能不能把圓轉(zhuǎn)換成我們熟悉的形狀呢厢塘？比如三角形：
三角形的面積公式我們知道莉御，那與它等價的圓的面積自然也就能計算了：
微積分法
大學(xué)里學(xué)了微積分，用微積分來計算圓的面積俗冻，那不是拿著刀俎礁叔，魚肉隨便切嗎。不過雖然都是用微積分迄薄，出發(fā)思想不一樣琅关，解法也不一樣。
洋蔥法
使用微積分讥蔽，我們將圓象洋蔥一樣分為薄圓環(huán)涣易，遞增地求出面積。
對“洋蔥”冶伞，以 t 為半徑的無窮薄圓環(huán)新症，貢獻的面積是 2πt dt，周長的長度乘以其無窮小寬度响禽。這樣對半徑為 r 的圓給出了一個初等積分：
極坐標(biāo)法
極坐標(biāo)也是一種變換的方法徒爹，就像傅里葉變換一樣荚醒，極坐標(biāo)變換將直角坐標(biāo)系下看似復(fù)雜的東西變成極坐標(biāo)系下極其簡單的東西，就像在直角坐標(biāo)系下的一個圓環(huán)隆嗅，在極坐標(biāo)系下卻是長方形：
唯一要注意的是界阁，直角坐標(biāo)系下的面積微元為：dxdy，而極坐標(biāo)下卻是：tdtdθ,不懂可以參考這里
使用極坐標(biāo)下的二重積分胖喳，積分函數(shù)為f(x)=1, 積分區(qū)域為圓C泡躯，則：
分割傘形法
類似于洋蔥法，我們也可以把圓分割為一系列小的傘形區(qū)域丽焊，則每個區(qū)域的面積近似為二分之一的弧長(rdθ)乘以半徑r：
然后將dθ從0到2π積分较剃，就可以計算出圓的面積：
半圓法
我們知道，圓的方程為：
由此可得技健，當(dāng)y>0時写穴，半圓的方程為：
對函數(shù)y從-r到r積分，由積分的定義知凫乖，積分的結(jié)果為二分之一圓的面積确垫。
要計算：
我們先假設(shè)：
則：
那么：
當(dāng)然，你可以通過mathmatica,直接得到結(jié)果：
總結(jié)
以上的一些方法帽芽，歸根結(jié)底就兩類思想：要么是轉(zhuǎn)化的思想删掀，將圓轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形計算，要么是微積分的思想导街，把圓細(xì)分為微單元披泪，然后再將這些微單元相加。一個簡單的圓面積公式搬瑰，都有這么多的解法款票，數(shù)學(xué)的魅力就在這里。
參考文獻
wikipedia
圓的面積
calculus proof for the area of a circle
計算圓周率-Pi
布豐投針問題
圓周率
