對于空間轉(zhuǎn)錄組分析過程中的反卷積，已經(jīng)是耳熟能詳了，但是對于正真理解卷積這個詞蝌麸，還是存在一些距離，本身也是學(xué)習(xí)的態(tài)度去進(jìn)行了檢索艾疟，正所謂眾里尋他千百度来吩，百度到palet一篇推文敢辩，講的“卷積”是深入淺出，現(xiàn)在整理一下分享出來弟疆，避免什么時候遺忘戚长。
基本概念了解
教科書上一般定義函數(shù) f,g 的卷積 f*g(n)如下：
如果把g(x)函數(shù)作為響應(yīng)（處理）函數(shù)的話，那么卷積分為了對g(x)函數(shù)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)怠苔，平移的過程同廉，也就是“卷”，之后就是對對齊的f(x)和g(x)進(jìn)行積分柑司，也就是所謂的“積”迫肖，這樣就完成了卷積的過程。
格物（舉例說明）
為了更好地理解這些問題攒驰，我們來了解兩個典型的應(yīng)用場景：
1. 信號分析
一個輸入信號f(t)蟆湖，經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（g(t)）變換以后，輸出信號實際上就是通過卷積運算得到的玻粪。
如下圖所示隅津，輸入信號 f(t) ，是隨時間變化的劲室。系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)是 g(t) 伦仍，隨時間指數(shù)下降的，它的物理意義是說：如果在 t=0 的時刻有一個輸入很洋，那么隨著時間的流逝充蓝，這個輸入將不斷衰減。換言之蹲缠，到了 t=T時刻棺克，原來在 t=0 時刻的輸入f(0)的值將衰減為f(0)g(T)。
考慮到信號是連續(xù)輸入的线定，每個時刻都有新的信號進(jìn)來，所以确买，最終輸出的是所有之前輸入信號的累積效果斤讥。如下圖所示，在T=10時刻湾趾，輸出結(jié)果跟圖中帶標(biāo)記的區(qū)域整體有關(guān)芭商。其中，f(10)因為是剛輸入的搀缠，所以其輸出結(jié)果應(yīng)該是f(10)g(0)铛楣，而時刻t=9的輸入f(9)，只經(jīng)過了1個時間單位的衰減艺普，所以產(chǎn)生的輸出應(yīng)該是 f(9)g(1)簸州，如此類推鉴竭，即圖中虛線所描述的關(guān)系。這些對應(yīng)點相乘然后累加岸浑，就是T=10時刻的輸出信號值搏存，這個結(jié)果也是f和g兩個函數(shù)在T=10時刻的卷積值。
顯然矢洲，上面的對應(yīng)關(guān)系看上去比較難看璧眠，且計算起來比較復(fù)雜，所以我們把g函數(shù)對折一下读虏，變成了g(-t)责静，再進(jìn)一步平移T個單位，如下圖所示盖桥，整個對應(yīng)關(guān)系就比較清晰了泰演。這就是為什么積之前要“卷”的原因，如此葱轩，利用約束： t+ (T-t) = T 進(jìn)行卷積就更好理解了睦焕。
2. 圖像處理
輸入一幅圖像f(x,y)，經(jīng)過特定設(shè)計的卷積核g(x,y)進(jìn)行卷積處理以后靴拱，輸出圖像將會得到模糊垃喊，邊緣強(qiáng)化等各種效果。圖像可以表示為矩陣形式：
對圖像的處理函數(shù)（如平滑袜炕，或者邊緣提缺久铡），也可以用一個g矩陣來表示：
注意偎窘，我們在處理平面空間的問題乌助，已經(jīng)是二維函數(shù)了，相當(dāng)于：
f(x,y) = ax,y陌知，g(x,y) = bx,y他托。那么函數(shù)f和g的在（u，v）處的卷積公式為
從卷積定義來看仆葡，應(yīng)該是在x和y兩個方向去累加赏参，從負(fù)無窮到正無窮⊙刂眩可是把篓，真實世界都是有界的，為了更好的理解腰涧，我們上面列舉的圖像處理函數(shù)g實際上是個3x3的矩陣韧掩，意味著，在除了原點附近以外窖铡，其它所有點的取值都為0疗锐，只把坐標(biāo)（u,v）附近的點選擇出來做計算了：
我們在原始圖像矩陣中取出（u,v）處的矩陣如下：
然后將圖像處理矩陣翻轉(zhuǎn)（以圓點為中心取對稱）坊谁，其結(jié)果如下：
計算卷積時，就可以用f()和g()翻轉(zhuǎn)后的內(nèi)積直接求解了窒悔。
以上公式有一個特點呜袁，做乘法的兩個對應(yīng)變量a,b的下標(biāo)之和都是（u,v），其目的是對這種加權(quán)求和進(jìn)行一種約束简珠。這也是為什么要將矩陣g進(jìn)行翻轉(zhuǎn)的原因阶界。
