線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

前言

前面一篇博客介紹了基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)分析宰僧。本篇博客將針對線性時不變系統(tǒng)材彪，基于狀態(tài)空間模型并根據(jù)系統(tǒng)的性能要求來設(shè)計控制系統(tǒng)。

一個系統(tǒng)的控制方式有開環(huán)控制和閉環(huán)控制琴儿。開環(huán)控制指的是把一個確定的控制信號（關(guān)于時間的函數(shù)）加到系統(tǒng)的輸入端段化，使得系統(tǒng)具有某種期望的性能，如穩(wěn)定的跟蹤某個參考輸入或者使系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到某個特定值凤类，等等。上一篇博客講的系統(tǒng)的能控性就是利用了開環(huán)控制普气，即存在一個特定的控制作用（開環(huán)控制）使得系統(tǒng)在有限時間內(nèi)谜疤，從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。

然而，由于建模存在的不確定性或誤差夷磕、系統(tǒng)運(yùn)行過程中的擾動等因素履肃，使得我們沒辦法獲得實際物理系統(tǒng)的真實動態(tài)方程，我們能得到的僅僅是粗略的低階的名義模型或有時又稱標(biāo)稱模型坐桩。因此在對實際系統(tǒng)的控制過程中尺棋，若不能根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行狀況及時修改系統(tǒng)的行為，而仍按照名義模型設(shè)計的開環(huán)控制作用會使得實際系統(tǒng)產(chǎn)生一些意想不到的情況绵跷，很難使實際物理系統(tǒng)按我們原先所期望的方式運(yùn)行膘螟。因此，我們必須根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行狀況實時地來確定控制信號而不是采用預(yù)先設(shè)計好的控制信號碾局，這就是反饋控制（feedback control）荆残。

在經(jīng)典控制理論中，我們依據(jù)描述對象輸入輸出行為的傳遞函數(shù)模型來設(shè)計控制器净当，因此只能用系統(tǒng)的可測量輸出作為反饋信號内斯。而現(xiàn)代控制理論則是用刻畫系統(tǒng)內(nèi)部特征的狀態(tài)空間模型來描述對象，出了可測量的輸出信號外像啼，還可以用系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)來作為反饋信號俘闯。根據(jù)可利用的信息是系統(tǒng)的輸出還是狀態(tài)，相應(yīng)的反饋控制可分為輸出反饋和狀態(tài)反饋忽冻。

本篇博客以狀態(tài)空間模型描述的線性時不變系統(tǒng)為研究對象真朗，介紹狀態(tài)反饋控制器的一些設(shè)計方法。首先介紹反饋控制的種類甚颂、結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)性能的影響蜜猾。進(jìn)而介紹改善系統(tǒng)動態(tài)性能的極點(diǎn)配置方法，提出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計算法振诬。針對極點(diǎn)配置方法可能影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的問題蹭睡，介紹了實現(xiàn)精確跟蹤的控制系統(tǒng)設(shè)計方法。

線性反饋控制系統(tǒng)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

控制系統(tǒng)由被控對象和控制器（controller）兩部分組成赶么。狀態(tài)刻畫了對象內(nèi)部的全部動態(tài)信息肩豁，輸出僅僅是狀態(tài)的一部分，從而用系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息來構(gòu)造反饋控制器辫呻，渴望使系統(tǒng)獲得更優(yōu)異的性能清钥。然而，要獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息放闺，意味著需要更多的傳感器祟昭，從而增加了控制系統(tǒng)的成本。另一方面怖侦，一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量未必都是可測量的物理量篡悟，這使得狀態(tài)反饋控制在實際中往往難以實現(xiàn)谜叹。因此，在實際控制系統(tǒng)應(yīng)用中搬葬，究竟采用輸出反饋還是狀態(tài)反饋視具體情況而定荷腊。

我們考慮以下狀態(tài)空間描述的線性系統(tǒng)：
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = Ax + Bu} \\ {y = Cx} \end{array}} \right.$

其中， $x$ 是系統(tǒng)的 $n$ 維狀態(tài)空間急凰， $u$ 是系統(tǒng)的 $m$ 維控制輸入女仰， $y$ 是系統(tǒng)的 $p$ 維測量輸出， $A抡锈、B$ 和 $C$ 分別是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣疾忍。

一般的反饋控制系統(tǒng)具有以下所示結(jié)構(gòu)：

一般反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

其中， $v$ 是 $m$ 維的外部參考輸入企孩《迹控制器可以是一個動態(tài)補(bǔ)償器（例如在控制器中包含動態(tài)過程），也可以是一個靜態(tài)反饋控制器勿璃∏芘祝控制器的輸入可以是系統(tǒng)的狀態(tài)，也可以是系統(tǒng)輸出补疑。若系統(tǒng)的狀態(tài)是可直接測量得到的歧沪，則結(jié)構(gòu)最簡單、包含對象信息量最多的反饋控制方式是線性時不變的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制（簡稱狀態(tài)反饋）莲组。
$u = -Kx+v$

其中诊胞， $K$ 為 $m\times n$ 維的靜態(tài)常數(shù)矩陣，稱為狀態(tài)反饋增益矩陣锹杈。將上式代入狀態(tài)空間模型撵孤，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = \left( {A - BK} \right)x + Bv} \\ {y = Cx} \end{array}} \right.$

輸出反饋控制在這里就不展開了，處理方式和狀態(tài)反饋控制類似竭望， $u = -Fy +v$ 邪码，只是反饋信息在這里采用系統(tǒng)輸出 $y$ 。

反饋控制的一些性質(zhì)

從閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以看出：狀態(tài)反饋和輸出反饋均改變了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣咬清，即系統(tǒng)由原來的 $A$ 變?yōu)榱爽F(xiàn)在的 $A-BK$ 或 $A-BFC$ 闭专。而閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)行為主要由其狀態(tài)矩陣的特征值（即閉環(huán)極點(diǎn)）決定，因此可以通過選擇適當(dāng)?shù)姆答佋鲆婢仃?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=K" alt="K" mathimg="1">和 $F$ 旧烧，使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值都在左半開復(fù)平面內(nèi)影钉，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。更進(jìn)一步掘剪，還可以使得閉環(huán)狀態(tài)矩陣特征值位于左半開復(fù)平面的特殊位置上平委，從而不僅保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，而且還具有一定的過渡過程特性夺谁。

除了能改變閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣廉赔，從而改變閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)特性外愚墓，狀態(tài)反饋控制對系統(tǒng)性能還有什么其他的影響呢？給出以下兩個定理進(jìn)行說明昂勉。

定理1：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性，而系統(tǒng)的能觀性不一定能保證扫腺。

若原系統(tǒng)是能控的岗照，則加入狀態(tài)反饋控制后的閉環(huán)系統(tǒng)仍然是能控的。需要注意的是笆环，原系統(tǒng)如果是能觀的攒至，但采用狀態(tài)反饋控制后得到的閉環(huán)系統(tǒng)卻不一定能觀，因此狀態(tài)反饋并不能保持原系統(tǒng)的能觀性躁劣。這是因為狀態(tài)反饋在改變系統(tǒng)極點(diǎn)的同時迫吐，可能使得閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。零極相消導(dǎo)致系統(tǒng)的能控性或能觀性账忘，或能控能觀性的破壞志膀，由于閉環(huán)系統(tǒng)仍然能控，故它不再可能是能觀的鳖擒。

定理2：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性溉浙。

兩種反饋性質(zhì)的討論

在狀態(tài)反饋和輸出反饋中，反饋的引入并沒有增加新的系統(tǒng)變量蒋荚，即閉環(huán)系統(tǒng)和開環(huán)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)戳稽。
兩種反饋形式所導(dǎo)致的閉環(huán)系統(tǒng)均能保持開環(huán)系統(tǒng)的能控性，但能觀性則不然期升。具體的說惊奇，狀態(tài)反饋未必能保持能觀性（當(dāng)出現(xiàn)零極相消），而輸出反饋既能保持系統(tǒng)的能控性播赁，也能保持系統(tǒng)的能觀性颂郎。
采用狀態(tài)反饋的一個前提是系統(tǒng)的狀態(tài) $x$ 必須可以直接量測的。當(dāng)狀態(tài)不能直接量測時行拢，需要設(shè)法通過系統(tǒng)的輸入輸出信息來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)祖秒，即由狀態(tài)觀測器來獲得狀態(tài)的估計量，以實現(xiàn)狀態(tài)反饋舟奠。然而竭缝，這種基于觀測器的狀態(tài)反饋由于采用的僅是系統(tǒng)的輸出信息，因而沼瘫，本質(zhì)上還是一種輸出反饋抬纸，只不過這是一種帶有動態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋，而不再是靜態(tài)的輸出反饋耿戚。更加一般的帶有動態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋控制系統(tǒng)具有以下所示結(jié)構(gòu)：

具有動態(tài)補(bǔ)償器的反饋控制系統(tǒng)

其中湿故， $G_p(s)$ 是被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣阿趁， $G_c(s)$ 是動態(tài)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣。靜態(tài)的輸出反饋雖然結(jié)構(gòu)簡單坛猪，信息上的獲取也沒有任何困難脖阵，但可以證明：這種形式的輸出反饋所能達(dá)到的系統(tǒng)性能是有限的，有時甚至都不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定墅茉。

輸出反饋的一個突出優(yōu)點(diǎn)就是實現(xiàn)方便命黔，但狀態(tài)反饋能獲得更好的系統(tǒng)性能。而且隨著觀測器理論的發(fā)展就斤，狀態(tài)反饋具有更廣的應(yīng)用前景悍募。

穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

穩(wěn)定是一個系統(tǒng)正常運(yùn)行的首要條件。上一篇博客分析了一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性洋机，并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的李雅普諾夫判別方法坠宴。若一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須運(yùn)用外部控制手段來設(shè)法讓其穩(wěn)定绷旗，這就是系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題（stabilization）喜鼓，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器稱為穩(wěn)定化控制器（stabilizing controllers）。

控制手段往往采用反饋控制衔肢。上一節(jié)介紹了反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)颠通，其中最簡單，包含對象信息最多的控制結(jié)構(gòu)就是靜態(tài)線性狀態(tài)反饋控制膀懈。本節(jié)將介紹基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法顿锰。

考慮以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)：
$\dot x=Ax + Bu$

我們的目標(biāo)是要設(shè)計一個能使系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器：
$u = -Kx$

由該控制器導(dǎo)出的閉環(huán)系統(tǒng)：
$\dot x=(A-BK)x$

本節(jié)的目的是要給出確定增益矩陣 $K$ 的方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的启搂。由于閉環(huán)系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)硼控，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個二次型的李雅普諾夫函數(shù) $V(x) = x^TPx$ 胳赌，其中的 $P$ 是特定的對稱正定矩陣牢撼。可以通過沿著閉環(huán)系統(tǒng)的任意軌跡疑苫，使得標(biāo)量二次型李雅普諾夫函數(shù) $V(x) = x^TPx$ 關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的來確定對稱正定矩陣 $P$ 和增益矩陣 $K$ 熏版，從而得到所要的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。沿這一思路捍掺，介紹兩種處理方法來確定對稱正定矩陣 $P$ 和增益矩陣 $K$ 撼短。

黎卡提方程處理方法

這種方法可用來處理非線性系統(tǒng)、時滯系統(tǒng)等各類系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題挺勿，也可用于魯棒控制器的設(shè)計曲横。

考慮標(biāo)量函數(shù) $V(x) = x^TPx$ ，其中 $P$ 是待定的對稱正定陣。沿閉環(huán)系統(tǒng)的任意軌跡禾嫉， $V(x) = x^TPx$ 關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為：
$\begin{aligned} dV( x)/dt &= {{\dot x}^{\rm T}}Px + {x^{\rm T}}P\dot x \\ &={\left( {Ax + Bu} \right)^{\rm T}}Px + {x^{\rm T}}P\left( {Ax + Bu} \right) \\ &= {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA} \right)x + {u^{\rm T}}{B^{\rm T}}Px + {x^{\rm T}}PBu \\ \end{aligned}$

由 $P^{\rm T} = P$ 灾杰，可得
${x^{\rm T}}PBu = {u^{\rm T}}{B^{\rm T}}Px$

故
$dV(x)/dt = {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA} \right)x + 2{x^{\rm T}}PBu$

我們選取控制 $u$ 具有以下結(jié)構(gòu)形式：
$u = -kB^{\rm T}Px，k > 0$

則
$\begin{aligned} dV( x)/dt&= {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA} \right)x - 2kx^{\rm T}PBB^{\rm T}Px\\ &= {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA - 2kPBB^{\rm T}P} \right)x\\ \end{aligned}$

進(jìn)一步熙参，若選取正定對稱矩陣 $P$ 使得
${{A^{\rm T}}P + PA - 2kPBB^{\rm T}P} = -I$

即 $V(x)/dt = -x^{\rm T}x < 0$ 艳吠，李雅普諾夫函數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)小于零（表明隨著時間的增加能量是不斷衰減的）。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理孽椰，標(biāo)量二次型函數(shù) $V(x)=x^{\rm T}Px$ 是閉環(huán)系統(tǒng)的一個李雅普諾夫能量函數(shù)讲竿。因此，該閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的弄屡。式 $u = -kB^{\rm T}Px，k > 0$ 就是原系統(tǒng)的一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器鞋诗。

根據(jù)以上分析膀捷，穩(wěn)定化控制器的設(shè)計問題就轉(zhuǎn)化為了矩陣方程：
${{A^{\rm T}}P + PA - 2kPBB^{\rm T}P} +I= 0$

是否存在一個對稱正定解矩陣（李雅普諾夫矩陣） $P$ 的問題。若存在這樣的 $P$ 削彬，那么即可得到一個穩(wěn)定化控制器增益矩陣 $K=kB^{\rm T}P$ 全庸。而該矩陣方程被稱為系統(tǒng)的黎卡提（Riccati）矩陣方程，這類矩陣方程在自動控制中起著很重要的作用融痛，在最優(yōu)控制中還將遇到這類方程（李雅普諾夫函數(shù)就是最優(yōu)控制中的值函數(shù)）壶笼。這種基于求解黎卡提矩陣方程的穩(wěn)定化控制器設(shè)計方法稱為黎卡提方程處理方法。

若對給定的 $k_0$ 雁刷，黎卡提矩陣方程有一個對稱正定解矩陣 $P$ 覆劈，則對任意的 $k \geqslant k_0$ ，
$\begin{aligned} dV( x)/dt&= {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA - 2kPBB^{\rm T}P} \right)x\\ & \leqslant {x^{\rm T}}\left( {{A^{\rm T}}P + PA - 2k_0 PBB^{\rm T}P} \right)x\\ & = -x^{\rm T}x < 0\\ \end{aligned}$

因此沛励，對任意的 $k \geqslant k_0$ 责语， $u = -kB^{\rm T}Px$ 都是系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制律。由此可知目派，穩(wěn)定化控制律 $u = -kB^{\rm T}Px$ 具有正無窮大的穩(wěn)定增益裕度（margin）坤候。這在實際應(yīng)用中將非常有用，當(dāng)我們不知道精確的 $P$ 時企蹭，我們盡量選擇具有較高增益的控制律帖烘，使得實際控制系統(tǒng)在保持穩(wěn)定的同時能夠滿足其他性能要求塑娇。

線性矩陣不等式處理方法

根據(jù)線性時不變系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣 $P$ ，使得：
$(A-BK)^{\rm T}P+P(A-BK)<0$

因此瞬痘，穩(wěn)定化控制器的設(shè)計問題歸結(jié)為尋找一個矩陣 $K$ 和一個對稱正定矩陣 $P$ ，使得上述矩陣不等式成立沃于，即以矩陣 $K$ 和 $P$ 為變量的矩陣不等式的求解問題菱涤。

在上述矩陣不等式中，矩陣變量 $K$ 和 $P$ 以非線性的形式耦合在一起螺男。因此棒厘，要直接求解這樣一個矩陣不等式是不容易的纵穿。以下通過引進(jìn)一個適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)換成一個等價的關(guān)于新變量的線性矩陣不等式奢人，從而可以應(yīng)用求解線性矩陣不等式的方法求解所導(dǎo)出的線性矩陣不等式谓媒。首先將矩陣不等式整理為：
$PA + A^{\rm T}P -K^{\rm T}B^{\rm T}P - PBK < 0$

由于矩陣 $P^{-1}$ 是對稱的，故在上式兩邊分別左乘和右乘矩陣 $P^{-1}$ 何乎，可得：
$\begin{aligned} 0 &>P^{-1}(PA + A^{\rm T}P -K^{\rm T}B^{\rm T}P - PBK)P^{-1}\\ & = AP^{-1}+P^{-1}A^{\rm T} - (P^{-1}K^{\rm T})B^{\rm T}-B(KP^{-1})\\ \end{aligned}$

記 $X=P^{-1}$ 句惯， $Y=KP^{-1}$ ，則從上式進(jìn)一步可得：
$AX + XA^{\rm T} -Y^{\rm T}B^{\rm T}-BY<0$

顯然支救，上述不等式是一個關(guān)于矩陣變量 $X$ 和 $Y$ 的線性矩陣不等式抢野。由于矩陣 $P$ 的正定性等價于矩陣 $X$ 是正定的。因此各墨，若線性矩陣不等式系統(tǒng)
$AX + XA^{\rm T} -Y^{\rm T}B^{\rm T}-BY<0$

$X>0$

是可行的指孤，則系統(tǒng)存在穩(wěn)定化控制器。進(jìn)一步贬堵，若矩陣變量 $X$ 和 $Y$ 是線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個可行解恃轩，則 $K=YX^{-1}$ 是系統(tǒng)的一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋增益矩陣， $X^{-1}$ 是相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的一個李雅普諾夫矩陣黎做。

以上用線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器存在條件叉跛，在線性矩陣不等式系統(tǒng)可行的情況下，用其可行解給出了穩(wěn)定化控制器的構(gòu)造方法蒸殿。這種處理方法已在各類控制系統(tǒng)的設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用筷厘，和黎卡提方程處理方法相比，線性矩陣不等式處理方法具有保守性低宏所、處理方便敞掘、易于結(jié)合其他性能要求設(shè)計多目標(biāo)控制器等優(yōu)點(diǎn)。

極點(diǎn)配置

上一節(jié)介紹了基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器的兩種方法楣铁。然而玖雁，在實際控制系統(tǒng)設(shè)計中，僅僅保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性還是不夠的盖腕，通常還需要使得閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的過渡過程性能赫冬，如較快的響應(yīng)速度，較短的調(diào)節(jié)時間溃列，較小的超調(diào)劲厌，等等。如何設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器听隐，使得閉環(huán)系統(tǒng)同時具有期望的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能补鼻，本節(jié)給出了一種極點(diǎn)配置的方法（需要注意的是不單單只有極點(diǎn)配置這一種方法，還有其他設(shè)計方法也能滿足兼具穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能要求，比如最優(yōu)控制）风范。

極點(diǎn)配置的主要思路就是通過尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣 $K$ 咨跌，使得閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)（即矩陣 $A-BK$ 的特征值）位于預(yù)先給定的位置。極點(diǎn)配置具體設(shè)計方法在這里不再贅述硼婿，這里只給出一個定理锌半。

定理：若系統(tǒng)是能控的，則對任意給定閉環(huán)極點(diǎn) $\Omega$ 寇漫，存在狀態(tài)反饋控制器刊殉，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)是 $\Omega$

由于求解一個極點(diǎn)配置問題需要大量的計算，特別對于多變量系統(tǒng)更是如此州胳，另一方面记焊，描述對象的模型總是近似和不精確的，從而要實現(xiàn)精確極點(diǎn)配置的方法是難以實現(xiàn)的栓撞。在實際控制系統(tǒng)應(yīng)用中遍膜，我們往往還需采用其他更簡便、有效的設(shè)計方法腐缤。

通過以上的分析，理論上我們可用狀態(tài)反饋的方式實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置肛响，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能岭粤。然而，實際應(yīng)用中特笋，狀態(tài)反饋這種方法并非總是可行的剃浇。一方面，狀態(tài)反饋實際上是一個 $PD$ 或 $PID$ 補(bǔ)償器猎物，這樣的控制器具有無限帶寬虎囚，而實際的執(zhí)行機(jī)構(gòu)總是只有有限帶寬（對超過帶寬頻率范圍的信號是沒辦法響應(yīng)的）。另一方面蔫磨，在實際中淘讥，要檢測到所有的狀態(tài)往往是困難的，甚至是不可能的堤如，因此有必要研究只利用系統(tǒng)測量輸出的極點(diǎn)配置問題蒲列，以后的博客將給出一種基于狀態(tài)觀測器的輸出反饋控制器設(shè)計方法。

如果系統(tǒng)有多個輸入搀罢，則使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣 $K$ 是不唯一的蝗岖，從而有更多的自由度去選擇滿足閉環(huán)極點(diǎn)要求的 $K$ 。如何利用這些自由度榔至，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定的極點(diǎn)外抵赢，還具有一些其他附加性能是需要進(jìn)一步探討的問題，這就是多目標(biāo)控制。一種方法就是在使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的同時铅鲤，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度最大化（Margin Maximization）划提，基于這種思想進(jìn)行的極點(diǎn)配置稱為是魯棒極點(diǎn)配置方法。

跟蹤控制器設(shè)計

通過重新配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)彩匕，盡管改善了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性腔剂，但有可能使得閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差（穩(wěn)態(tài)誤差在這指的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與參考輸入之間的偏差），導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變差驼仪〉或者說極點(diǎn)配置方法可能會使一個原來沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。那么是否存在一種方法使得改善系統(tǒng)動態(tài)特性的同時保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能不變壞呢（保證系統(tǒng)輸出與參考輸出無靜差）绪爸？

另一方面湾碎，實際系統(tǒng)還不可避免地存在外部擾動。外部擾動信號可分為隨機(jī)性的高頻擾動和確定性擾動兩大類奠货。隨機(jī)性擾動具有隨機(jī)噪聲特性介褥，通常只知道它的一些統(tǒng)計特性，如均值和方差等递惋。確定性擾動具有確定的函數(shù)形式柔滔，如階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)萍虽、正弦函數(shù)等睛廊。在實際中，許多系統(tǒng)都存在確定性的擾動杉编，如陣風(fēng)對雷達(dá)系統(tǒng)的擾動超全，海浪對正常航行的船體控制系統(tǒng)的擾動，飛行系統(tǒng)在大氣中受到氣浪的擾動等邓馒。這些擾動都具有確定的函數(shù)表達(dá)式嘶朱，可以通過動力學(xué)分析或辨識學(xué)習(xí)的手段來確定函數(shù)關(guān)系式中未知的參數(shù)。

在這里我們只討論確定性擾動光酣。擾動的存在使得系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時不能很好地跟蹤參考輸入疏遏，從而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。因此救军，必須對擾動進(jìn)行補(bǔ)償改览，以克服擾動對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的影響（擾動影響穩(wěn)態(tài)精度）。

注：對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)缤言，從李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的角度來看宝当，該系統(tǒng)在擾動的輸入下，系統(tǒng)的能量必然會隨著時間推移而衰減（只要外界不持續(xù)的輸入能量包括參考輸入和擾動）胆萧。也就是說只要干擾是有界的（或有界輸入）庆揩，就不會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響俐东，影響的僅僅是穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是自治系統(tǒng)的性質(zhì)订晌，與輸入無關(guān)虏辫；輸入會影響系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)值。

在諸如數(shù)控機(jī)床锈拨、導(dǎo)彈制導(dǎo)等許多實際控制系統(tǒng)中砌庄，常常要求閉環(huán)系統(tǒng)的輸出以給定的精度跟蹤參考輸入信號，實現(xiàn)精確的跟蹤控制奕枢。然而以上分析又說明了極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋和外部擾動都可能影響系統(tǒng)輸出跟蹤參考輸入的效果娄昆。那么該如何設(shè)計使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅具有期望的過渡過程特性，而且在擾動的作用下缝彬，還能實現(xiàn)精確（穩(wěn)態(tài)精度）的跟蹤控制萌焰？

接下來將針對具有外部階躍擾動的線性時不變系統(tǒng)，提出一種能實現(xiàn)無靜差跟蹤階躍參考輸入信號的抗干擾漸近跟蹤調(diào)節(jié)器設(shè)計方法谷浅“歉考慮以下狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)：
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = Ax + Bu +d } \\ {y = Cx} \end{array}} \right.$

其中， $d$ 是 $n$ 維的擾動輸入一疯， $y$ 是 $r$ 維系統(tǒng)量測輸出撼玄。假定系統(tǒng)的參考輸入是階躍輸入 $y_r(t)=y_{r0}\cdot 1(t)$ ， $d$ 是階躍擾動 $d(t)=d_0 \cdot 1(t)$ 墩邀，其中的 $y_{r0}\$ 和 $d_{0}\$ 是階躍信號的幅值向量掌猛。控制作用的目的是在存在擾動 $d(t)$ 的情況下磕蒲，仍希望閉環(huán)系統(tǒng)的輸出 $y(t)$ 能很好地跟蹤參考輸入 $y_r(t)$ 留潦。

在經(jīng)典控制理論中只盹，用偏差的積分來抑制或消除單輸入單輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差辣往，這樣一種思想也可以推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)。為此殖卑，定義偏差向量：
$e(t) = y(t) - y_r(t)$

引入偏差向量的積分 $q(t)$ ：
$q(t) = \int_0^t {e(\tau) d\tau }$

注意到 $q(t)$ 和輸出向量 $y(t)$ 具有相同的維數(shù)站削，因此它由 $r$ 個積分組成，每個積分器的輸入是偏差向量的一個分量（或者說是一維坐標(biāo)值）：
$\dot q(t) = e(t) = Cx(t) - y_r(t)$

由于在控制回路中增加了 $r$ 個積分器孵稽，因此增加了整個系統(tǒng)的動態(tài)特性许起，而 $q$ 是這些積分器的輸出，故可以通過將 $q$ 作為附加狀態(tài)向量(經(jīng)積分累加后輸出的量是不可以突變的菩鲜，是關(guān)于時間的動態(tài)量园细，因此 $q$ 可以作為系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài))，得到描述整個系統(tǒng)動態(tài)行為的狀態(tài)空間模型：
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x} \\ {\dot q} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&0 \\ C&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ q \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B \\ 0 \end{array}} \right]u + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d \\ { - {y_r}} \end{array}} \right]$

$y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} C&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ q \end{array}} \right]$

新的狀態(tài)向量空間是 $n+r$ 維的接校，稱上述狀態(tài)空間模型為增廣系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型猛频。

對上述增廣系統(tǒng)狮崩，若能設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器：
$u = - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_1}}&{{K_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ q \end{array}} \right] = - {K_1}x - {K_2}q$

使得閉環(huán)系統(tǒng)：
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x} \\ {\dot q} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A - B{K_1}}&{ - B{K_2}} \\ C&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ q \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d \\ { - {y_r}} \end{array}} \right]$

是漸近穩(wěn)定的，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣：
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A - B{K_1}}&{ - B{K_2}} \\ C&0 \end{array}} \right]$

的所有特征值均在左半開復(fù)平面中鹿寻，從而該矩陣也是非奇異的睦柴。由于參考輸入和外部擾動都是階躍信號。因此當(dāng)時間趨向于無窮時毡熏， $x(t)$ 和 $q(t)$ 都趨向于常值向量坦敌，這表明 $\dot x(t)$ 和 $\dot q(t)$ 都必將趨于零。又因為 $\dot q(t) = y(t) - y_r(t)$ 痢法，故當(dāng) $t$ 趨于無窮時 $y(t) = y_r(t)$ 狱窘，從而實現(xiàn)精確的跟蹤控制。

以上分析說明了只要對上述增廣系統(tǒng)設(shè)計一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器疯暑，就可以保證系統(tǒng)的輸出跟蹤階躍參考輸入且沒有穩(wěn)態(tài)誤差训柴。我們的做法是通過人為引入一個新的狀態(tài)向量 $q$ （對誤差信號的積分）來克服階躍擾動 $d$ 對系統(tǒng)輸出帶來的影響（從增廣系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型中可以很清楚的看到 $q$ 是如何克服擾動影響的）。進(jìn)一步妇拯，我們還可以通過狀態(tài)變量 $q$ 的穩(wěn)態(tài)值估計出系統(tǒng)的干擾幻馁。

如果還要使得閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的動態(tài)特性（比如縮短調(diào)節(jié)時間），則可以通過適當(dāng)配置增廣系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)來實現(xiàn)越锈，但這要求增廣系統(tǒng)是完全能控的仗嗦。下面給出一個定理：

定理：增廣系統(tǒng)能控的充分必要條件為：（1）原系統(tǒng)是能控的；（2） $rank\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&B \\ C&0 \end{array}} \right]} \right) = n + r$ 甘凭， $m \geqslant r$ 稀拐， $rank(C) = r$ 。

定理說明丹弱， $m \geqslant r$ 表明控制輸入的個數(shù)不能小于輸出的個數(shù)德撬，而 $rank(C) = r$ 則意味著所有的測量輸出必須是線性無關(guān)或者說是獨(dú)立的。

增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器可以寫為：
$u = - {K_1}x - {K_2} \int_0^t e(\tau)d \tau$

上式中的第一項 ${K_1}x$ 是原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋躲胳，而第二項是為了改善穩(wěn)態(tài)精度而加入的積分控制作用蜓洪。因此，這是一個由被控對象的狀態(tài)反饋和偏差向量的積分所組成的復(fù)合控制坯苹，相當(dāng)于一個比例積分控制器隆檀。這樣一個反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：

增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋

由以上分析可知，對于一個多變量系統(tǒng)粹湃，盡管有一個未知（不能測量）的階躍擾動輸入恐仑，但仍可以設(shè)計一個控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能無靜差地跟蹤階躍參考輸入为鳄。一般情況下裳仆，引入積分器會使閉環(huán)增廣系統(tǒng)響應(yīng)變慢（因為增廣后的系統(tǒng)又增加了動態(tài)環(huán)節(jié)）。類似于經(jīng)典控制理論中通過加大反饋增益來加快系統(tǒng)響應(yīng)速度的方法孤钦，對由狀態(tài)空間模型描述的多變量系統(tǒng)歧斟，可根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的過渡過程要求按極點(diǎn)配置方法來確定狀態(tài)反饋增益矩陣记某。

若參考輸入是一個包含 $t$ 的多項式，則可以通過增加積分器的方法來處理构捡。對能直接測量（或能夠被估計）的外部擾動液南，可采用前饋控制的方式進(jìn)行補(bǔ)償。

最后編輯于：2018.12.15 14:22:41

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