高等數(shù)學(xué)：8.2 數(shù)量積、向量積窿冯、混合積

一、兩向量的數(shù)量積

??數(shù)量積：
$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b| \cos \theta, \quad \boldsymbol a \cdot \boldsymbol a=|\boldsymbol a|^2$

??交換律：
$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=\boldsymbol b \cdot \boldsymbol a$

??分配律：
$(\boldsymbol a + \boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c+ \boldsymbol b \cdot \boldsymbol c$

??結(jié)合律：
$(\lambda \boldsymbol a) \cdot \boldsymbol b=\lambda (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)$

??坐標(biāo)表示：
$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)$

??幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于一個向量的模和另一向量在這向量的方向上的投影的乘積确徙。
$\quad \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a|Prj_a \boldsymbol b =|\boldsymbol b|Prj_b \boldsymbol a$

??向量 $\boldsymbol a \bot \boldsymbol b$ 的充分必要條件：
$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=0$

二醒串、兩向量的向量積

??向量積：
$\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \boldsymbol c, \quad \boldsymbol a \times \boldsymbol a=\boldsymbol 0$

??反交換律：
$\boldsymbol a \times \boldsymbol b=-\boldsymbol b \times \boldsymbol a$

??分配律：
$( \boldsymbol a + \boldsymbol b) \times \boldsymbol c=\boldsymbol a \times \boldsymbol c + \boldsymbol b \times\boldsymbol c$

??結(jié)合律：
$(\lambda \boldsymbol a) \times \boldsymbol b =\boldsymbol a \times (\lambda \boldsymbol b) = \lambda (\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$

??坐標(biāo)表達(dá)式：
$\boldsymbol a \times\boldsymbol b= (a_yb_z-a_zb_y)\boldsymbol i +(a_zb_x-a_xb_z)\boldsymbol j + (a_xb_y-a_yb_x)\boldsymbol k = \begin{vmatrix} i & j &k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

??幾何意義：向量積的模等于以這兩個向量為邊的平行四邊形的面積执桌。
$|\boldsymbol c|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b| \sin \theta$

??向量 $\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b$ 的充分必要條件：
$\boldsymbol a \times \boldsymbol b=0$

三、向量的混合積

??混合積：
$[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c]=(\boldsymbol a \times \boldsymbol b) \cdot \boldsymbol c$

??坐標(biāo)表達(dá)式：
$[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

??幾何意義：混合積的絕對值等于以這三個向量為棱的平行六面體的體積芜赌。
$|[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c]| = | \boldsymbol a \times \boldsymbol b | | \boldsymbol c||\cos \alpha |$

??三向量 $\boldsymbol a仰挣、 \boldsymbol b、 \boldsymbol c$ 共面的充分必要條件：
$[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c]=0$

最后編輯于：2020.07.03 09:36:07

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