分析力學(xué)基本原理介紹7.5：勞斯算法

$\bullet$ 使用哈密頓體系對(duì)解決力學(xué)問題并不是特別方便流强，解 $2n$ 個(gè)一階微分方程通常需要我們消去一些變量（比如動(dòng)量），但在這個(gè)過程中難免又會(huì)回到解二階微分方程的問題中去呻待，所以大多時(shí)候打月，我們通常會(huì)選擇使用拉格朗日體系而非哈密頓體系。

不過蚕捉，對(duì)于存在循環(huán)坐標(biāo)的系統(tǒng)奏篙，哈密頓體系就比拉格朗日體系存在更大的優(yōu)勢(shì)。

$\bullet$ 考慮一組廣義坐標(biāo) $\left\{q_s\right\}$ 迫淹，其中 $q_n$ 是一個(gè)循環(huán)坐標(biāo)报破。

我們?nèi)绻褂美窭嗜蘸瘮?shù)： $\mathscr{L} = \mathscr{L}(q_1,...,q_{n-1};\dot{q}_1,...,\dot{q}_n;t)$

這時(shí)的拉式函數(shù)雖不顯含 $q_n$ ，卻仍然含有對(duì)應(yīng)的廣義速度 $\dot{q}_n$ 千绪。所以即便是對(duì)于存在循環(huán)坐標(biāo)的系統(tǒng)充易，使用拉格朗日函數(shù)仍然需要我們解決一個(gè) $n$ 自由度問題。

相反荸型，如果使用哈密頓體系盹靴，由于共軛于循環(huán)坐標(biāo)的正則動(dòng)量是一個(gè)常數(shù)（令其為 $\alpha$ ），哈密頓函數(shù)的依賴關(guān)系則為：

$\mathscr{H} = \mathscr{H}(q_1,...,q_{n-1};p_1,...,p_{n-1};\alpha;t)$

可見瑞妇，對(duì)于存在循環(huán)坐標(biāo)的系統(tǒng)稿静，哈密頓函數(shù)僅含有 $n - 1$ 個(gè)坐標(biāo)，而與循環(huán)坐標(biāo)共軛的動(dòng)量也由于守恒定理變成了一個(gè)常數(shù)：

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_n} = p_n = \alpha$

在計(jì)算過程中辕狰，我們便可將循環(huán)坐標(biāo)完全忽略改备，守恒量 $\alpha$ 則可由初值確定。這樣一來蔓倍，整個(gè)計(jì)算過程將變得簡單不少悬钳。

而循環(huán)坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系可根據(jù)下面積分得到：

$\mathscr{H} = p_n\dot{q}_n - \mathscr{L} = \alpha\dot{q}_n - \mathscr{L}$

$\implies q_n(t) = \int \frac{\partial \mathscr{H}} {\partial \alpha} dt$

$\bullet$ $19$ 世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家愛德華·勞斯(Edward Routh)發(fā)明了一種算法，該算法將循環(huán)坐標(biāo)下使用哈密頓函數(shù)的優(yōu)勢(shì)和非循環(huán)坐標(biāo)下使用拉格朗日函數(shù)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合在了一起母剥。后人將其稱為勞斯算法(Routh's procedure)环疼。

勞斯算法最關(guān)鍵的步驟在于僅使用從基底 $q,\dot{q}$ 到基底 $q,p$ 關(guān)于循環(huán)坐標(biāo)的勒讓德變換炫隶。這樣一來等限，得到的哈密頓函數(shù)就只會(huì)依賴共軛于循環(huán)坐標(biāo)的正則動(dòng)量望门，而剩下的非循環(huán)坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的廣義速度依然由拉格朗日函數(shù)控制筹误，從而減輕計(jì)算量厨剪。

假設(shè)有一個(gè)自由度為 $n$ 的系統(tǒng)祷膳，廣義坐標(biāo)為 $q_1,q_2,...,q_n$ 直晨，其中 $q_1,q_2,...,q_s$ （ $s\lt n$ ）為非循環(huán)坐標(biāo)勇皇， $q_{s+1},q_{s+2},...,q_{n}$ 為循環(huán)坐標(biāo)敛摘。根據(jù)上述算法兄淫，我們將得到一個(gè)新的函數(shù)：

$\mathscr{R}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_s};p_{s+1},...,p_{n};t) = \sum_{i = s+1}^np_i\dot{q_i} - \mathscr{L}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)$

$\implies \boxed{\mathscr{R}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_s};p_{s+1},...,p_{n};t) = \mathscr{H}_{\text{cyc}}(p_{s+1},...,p_n;t) - \mathscr{L}_{\text{noncyc}}(q_1,...,q_s;\dot{q_1},...,\dot{q_s};t)}$

我們把這個(gè)函數(shù)稱為勞斯函數(shù)(Routhian)拖叙，它由顯含守恒動(dòng)量的哈密頓函數(shù)和顯含非循環(huán)坐標(biāo)以及速度的拉格朗日函數(shù)組成薯鳍。

$\bullet$ 勞斯函數(shù)作為拉式函數(shù)和哈密頓函數(shù)的雜交體挖滤，具有它們二者的性質(zhì)。

對(duì)于非循環(huán)坐標(biāo)（ $1 \le i \le s$ ）伶唯，有：

$\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}} = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}$ 乳幸； $\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i} = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}$

$\implies \fractm552iw{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}}\right) = -\frackdwlas0{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\right) = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i} = \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i}$

$\implies \boxed{\fracr20h4oq{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}}\right) = \frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_i}}$

勞斯函數(shù)滿足拉格朗日方程。

對(duì)于循環(huán)坐標(biāo)（ $s+1\le i \le n$ ）瓶埋，有：

$\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i} = -\dot{p_i} = 0$ 养筒； $\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial p_i} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i} = \dot{q_i}$

可見端姚，通過勞斯函數(shù)我們同樣可以得到哈密頓方程渐裸。

（例）

我打算使用開普勒問題來作為例子說明橄仆。

$\bullet$ 考慮有心反比力場，勢(shì)函數(shù) $V(r) = -\frac{k}{r^n}$ 怠褐。使用平面極坐標(biāo) $(r,\theta)$ 奈懒，速度 $\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{l}}{dt} = \dot{r}\boldsymbol{\hat{r}} + r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}}$ 磷杏。

$\bullet$ 拉格朗日函數(shù)為：

$\mathscr{L} = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+\frac{k}{r^n}$

很明顯极祸， $\theta$ 是循環(huán)坐標(biāo)遥金。

$\bullet$ 對(duì)拉格朗日函數(shù)進(jìn)行僅關(guān)于循環(huán)坐標(biāo) $\theta$ 的勒讓德變換：

$\mathscr{H}(p_{\theta}) = \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p} - \mathbf{a}) - \mathscr{L}_0 = \frac{1}{2}\frac{p_{\theta}^2}{mr^2}$

其中 $\mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix}1/(mr^2)&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ 选泻， $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 页眯， $\mathscr{L}_0 = 0$ 窝撵。

$\bullet$ 得到勞斯函數(shù)：

$\begin{align*}\mathscr{R}(r,\dot{r},p_{\theta}) &= \mathscr{H}_{\text{cyc}}(p_{\theta}) - \mathscr{L}_{\text{noncyc}}(r,\dot{r})\\&= \frac{1}{2}\frac{p_{\theta}^2}{mr^2} - \frac{k}{r^n} - \frac{m}{2}\dot{r}^2\end{align*}$

注意：對(duì)于 $\mathscr{L}_{\text{noncyc}}(r,\dot{r})$ ，我們只考慮關(guān)于非循壞坐標(biāo)的項(xiàng)锣笨。

前兩項(xiàng)是我們熟悉的有效勢(shì)能 $U_{\text{eff}}(r)$ 入撒，在有心力場中的勞斯函數(shù)等價(jià)于一維有效勢(shì)能減去微粒徑向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能椭岩。

$\bullet$ 對(duì)非循環(huán)坐標(biāo)拉格朗日方程：

$\frac7775s2d{dt}\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial r} = 0$

$m\ddot{r} - \frac{p_{\theta}^2}{mr^3} + \frac{nk}{r^{n+1}} = 0$

這是微粒的運(yùn)動(dòng)方程判哥，具體解法請(qǐng)參考開普勒問題塌计。

$\bullet$ 對(duì)循環(huán)坐標(biāo)使用哈密頓方程：

$\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \theta} = -\dot{p_{\theta}} = 0;\quad \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial p_{\theta}} = \frac{p_{\theta}}{mr^2} = \dot{\theta}$

$\implies p_{\theta} = mr^2\dot{\theta} = \text{const.}$

很明顯，守恒量是角動(dòng)量章钾。

最后編輯于：2020.02.25 16:56:06

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