上一篇講述了思考的方向敛滋，這讓我們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題的時(shí)候寸爆，有了很好的思考的切入點(diǎn)，能夠在很大程度上幫助我們解決問題衩辟。往往能夠做出數(shù)學(xué)題是孩子們?cè)趯W(xué)數(shù)學(xué)時(shí)的最終目的螟炫，不過對(duì)于思考模式學(xué)數(shù)學(xué)的孩子而言，學(xué)數(shù)學(xué)則有著更多的目的和更美的結(jié)果艺晴，這個(gè)更美的結(jié)果就是規(guī)律昼钻。

案例一：乘法小九九

無論是用人教版的教材掸屡、還是北師大版、蘇教版等然评，學(xué)校里教的乘法小九九都是以加法算式作為引入仅财，以熟練背誦小九九并應(yīng)用作為結(jié)束的⊥胩剩可以說盏求，這種學(xué)習(xí)方法和目標(biāo)導(dǎo)向，最終使得乘法小九九僅僅淪為乘法計(jì)算和乘法口算的一個(gè)工具亿眠。

其實(shí)這種學(xué)習(xí)就為將來十多年的記憶模式或模仿模式學(xué)數(shù)學(xué)奠定了基調(diào)碎罚。接下來說一下我們對(duì)乘法的想法，以及關(guān)于乘法究竟能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律纳像。

無論是按照課本從加法算式入手認(rèn)識(shí)乘法荆烈、還是從生活實(shí)際入手認(rèn)識(shí)乘法，孩子了解之后就都可以進(jìn)行乘法的計(jì)算了爹耗，于是開始嘗試計(jì)算耙考，這里以“×4”為例：

1×4＝4

2×4＝8

3×4＝12

4×4＝16

5×4＝20

6×4＝24

……

規(guī)律1：乘積之間差相等（等差數(shù)列）

8比4多4、12比8多4潭兽、16比8多4倦始，這是多么美的規(guī)律，但可能就由老師直接告訴給孩子了山卦，這個(gè)規(guī)律的原因也是非常簡(jiǎn)單鞋邑，多加一個(gè)4，結(jié)果肯定會(huì)多4账蓉。

但別小看這個(gè)規(guī)律枚碗，一個(gè)是因?yàn)閿?shù)學(xué)中存在著太多等差的規(guī)律，另一個(gè)是因?yàn)檫@個(gè)規(guī)律能解決更難的問題铸本。

比如11×9肮雨，我們的孩子可能要學(xué)會(huì)列乘法豎式的時(shí)候才會(huì)做，但其實(shí)不用箱玷，因?yàn)橹懒?×9＝81之后怨规，11×9無非就是81加上9再加上9，就是99锡足，就靠這個(gè)規(guī)律完全可以做出來的波丰！

規(guī)律2：乘法分配律

一個(gè)乘數(shù)4不變，另一個(gè)乘數(shù)多幾舶得，乘積就多了幾個(gè)4掰烟，這不就正是乘法分配律嗎？把乘法轉(zhuǎn)化成加法也就非常好理解了。

規(guī)律3：×10的規(guī)律

把算式再多試些纫骑，試到10×4＝40之后蝎亚，就能發(fā)現(xiàn)這個(gè)非常美的算式了，10個(gè)4相加居然就是40惧磺，再試試10個(gè)3相加颖对、10個(gè)2相加捻撑、10個(gè)5相加磨隘，分別是30、20顾患、50（試10個(gè)5相加的過程還能有其它規(guī)律發(fā)現(xiàn)）番捂，這個(gè)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)足以讓孩子興奮起來。而原因也不難理解江解，因?yàn)?0×4不僅可以是10個(gè)4相加设预，還可以是4個(gè)10相加。

規(guī)律4：無論多少乘以4犁河，乘積個(gè)位都只能是雙數(shù)

孩子稍微觀察下鳖枕，這個(gè)規(guī)律也完全可能被發(fā)現(xiàn)。其實(shí)還可以有更驚人的發(fā)現(xiàn)：乘積個(gè)位是0桨螺、4宾符、8的時(shí)候，十位都是偶數(shù)灭翔；乘積個(gè)位是2魏烫、6的時(shí)候，十位都是奇數(shù)肝箱。而這個(gè)規(guī)律足以當(dāng)做4的整除特征了：灏（筆者在小學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，至今記憶猶新）

比如8×4＝32煌张，乘積個(gè)位是2呐赡，十位是奇數(shù)3。

比如11×4＝44骏融，乘積個(gè)位是4链嘀，十位是偶數(shù)4。

怎么試绎谦，4的倍數(shù)都符合這個(gè)規(guī)律管闷。

我們教孩子往往都直接告訴孩子：4的整除特征是末兩位能被4整除。殊不知一個(gè)兩位數(shù)窃肠，也能不通過試除包个，就判斷出是否為4的倍數(shù)！更不知孩子本身就有能夠發(fā)現(xiàn)整除特征的能力啊碧囊！

規(guī)律5：乘法交換律

筆者上學(xué)的時(shí)候還有“被乘數(shù)”和“乘數(shù)”的區(qū)分树灶，這讓乘法交換律有了非常重要的意義。現(xiàn)在沒了糯而，3×4和4×3表達(dá)的是一樣的了天通，這個(gè)規(guī)律也就相當(dāng)于老師直接告訴了。但讓我們摸不清頭腦的是：3×4和4×3已經(jīng)是同一個(gè)事了熄驼，乘法交換律還有什么存在的意義呢像寒？為什么到了四年級(jí)又要學(xué)一遍？這件事情讓我們覺得很不合邏輯瓜贾。

如果仍存在“被乘數(shù)”和“乘數(shù)”的區(qū)分诺祸，那么乘法交換律的發(fā)現(xiàn)將是特別的美好，而且這種相等的規(guī)律是很容易發(fā)現(xiàn)的祭芦，比如算一下3×4筷笨、又算一下4×3，真的一樣龟劲，這其實(shí)意味著3個(gè)4相加與4個(gè)3相加和一樣胃夏，多么美好的發(fā)現(xiàn)啊。

還有各種各樣可能發(fā)現(xiàn)的一般的或是特殊的規(guī)律昌跌，當(dāng)然這些孩子們可能都體會(huì)不到了仰禀，因?yàn)橐?guī)律都是由老師直接告訴的，他們很難給孩子探索的鼓勵(lì)和引導(dǎo)甚至是連探索的機(jī)會(huì)都不給避矢。最后學(xué)習(xí)的乘法小九九依舊只是計(jì)算工具悼瘾。

案例二：雞兔同籠，一共有25個(gè)頭审胸，有64條腿亥宿，問雞和兔各多少只。

這道題目是一道最基礎(chǔ)的雞兔同籠問題砂沛，每個(gè)奧數(shù)老師幾乎都會(huì)有好幾種辦法來解決烫扼。不過孩子一旦用記憶或模仿的辦法來做這道題，那么收獲的也僅僅是問題的答案和做題的經(jīng)驗(yàn)碍庵，那么如果用思考模式來學(xué)映企，會(huì)有什么結(jié)果呢？

我們就采用上一講“實(shí)踐”的方法來入手思考這道題静浴，以“一共25個(gè)頭”為嘗試點(diǎn)堰氓，進(jìn)行逐次嘗試：

若雞有1只，那么兔子有24只苹享，則腿共有98條双絮，矛盾；

若雞有2只，那么兔子有23只囤攀，則腿共有96條软免，矛盾；

若雞有3只焚挠，那么兔子有22只膏萧，則腿共有94條，矛盾蝌衔。

我們?cè)嚵巳伍环海m然都離64條腿偏差太遠(yuǎn)，卻能夠容易發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：雞每多1只胚委，腿數(shù)就少2挟鸠。為了避免是巧合，再實(shí)驗(yàn)兩個(gè)：

若雞有4只亩冬，那么兔子有21只，則腿共有92條硼身，比94少2硅急；

若雞有5只，那么兔子有20只佳遂，則腿共有90條营袜，比92少2。

這說明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是很可靠的丑罪，那么雞的只數(shù)每多1荚板，總腿數(shù)就少2。而64比90少了26吩屹，也就是少了13個(gè)2跪另，雞就應(yīng)該再多13只，于是雞的只數(shù)就是13＋5＝18煤搜。

把所想規(guī)律列出綜合算式就是：（90－64）÷2＋5＝18免绿。如果覺得＋5太別扭，就可以再調(diào)整擦盾，若最初嘗試沒有雞嘲驾，后面的＋5也就沒有了。

于是嘗試：

若雞有0只迹卢，那么兔子有25只辽故，則腿共有100條，也剛好比98多2腐碱，規(guī)律還存在誊垢。

此時(shí)算式就變?yōu)椋海?00－64）÷2＝18，求出來也是雞的只數(shù)。

這時(shí)可以再思考一步：為什么雞的只數(shù)多1彤枢，腿數(shù)就要減2呢狰晚？其實(shí)這個(gè)不難想到，是因?yàn)椋憾?只雞缴啡，多2條腿壁晒，但同時(shí)少1只兔，又少了4條腿业栅，合起來是少了2條腿的秒咐。

這樣這道雞兔同籠題的思考就可以告一段落了，期間我們經(jīng)歷了：嘗試碘裕、發(fā)現(xiàn)規(guī)律携取、驗(yàn)證規(guī)律、解決問題帮孔、想出規(guī)律的原因這樣5個(gè)階段雷滋。而這5個(gè)階段之后還能得到一個(gè)大規(guī)律，就是得到這類問題的一個(gè)經(jīng)典公式：雞只數(shù)＝（4倍頭數(shù)－腿數(shù)）÷（4－2）文兢。

可以說晤斩，從推理的角度，雞兔同籠的假設(shè)法是一個(gè)非常難想出來的辦法姆坚，幾乎所有的老師和孩子都難以靠自己來想出這個(gè)經(jīng)典的做法澳泵，這主要還是因?yàn)橛洃浐湍７抡紦?jù)了我們學(xué)數(shù)學(xué)的過程。如果我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充滿思考兼呵，引導(dǎo)孩子會(huì)“實(shí)踐”思考兔辅，鼓勵(lì)孩子自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)假設(shè)法其實(shí)自己想出來也是可以的击喂。

案例三：3年級(jí)孩子發(fā)現(xiàn)平方差公式

這個(gè)案例可以分為三個(gè)階段维苔。

1、有所發(fā)現(xiàn)

健康數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的講義里有一道這樣的題：觀察下圖中各個(gè)點(diǎn)群茫负，第10個(gè)點(diǎn)群比第9個(gè)點(diǎn)群多了______個(gè)點(diǎn)蕉鸳。

3年級(jí)的小朋友，用“10×10－9×9”算得答案是19之后忍法，說了一句話：“哎潮尝，19正好是10加9啊”。

我就說：“這是巧合嗎饿序？”（講這道題時(shí)聽到孩子說這句話勉失，我很高興，證明孩子喜歡去觀察發(fā)現(xiàn)原探。數(shù)學(xué)中能有各種發(fā)現(xiàn)乱凿，有的是巧合顽素，有的是規(guī)律，所以我問了這句話徒蟆，想看孩子如何應(yīng)對(duì)胁出。）

孩子自己開始嘗試9×9－8×8，發(fā)現(xiàn)17就等于9＋8段审；又嘗試8×8－7×7全蝶，發(fā)現(xiàn)15就等于8＋7，然后很自信得說：“不是巧合”寺枉。

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f抑淫，3次的嘗試也不能說明不是巧合，但是對(duì)于3年級(jí)的孩子而言知道嘗試3次已經(jīng)很不錯(cuò)了姥闪。

2始苇、了解原因

緊接著我給他出了道題：“100×100－99×99”，看一下他是否知道使用這個(gè)規(guī)律筐喳。他很快就知道用100＋99來算得答案是199催式，這證明他可以把這條自己總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行應(yīng)用了。

接下來我問：“你能想出來為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律嗎疏唾？”

他進(jìn)入思考蓄氧，但最終沒有想出來。于是我出題：6×6－5×6槐脏。

他通過計(jì)算算得等于6之后，我就問：“這道題非要用乘法來算嗎撇寞？”

在我提示他“學(xué)校里最初學(xué)乘法是用加法理解的時(shí)候”之后顿天，他就明白了6×6可以理解為比5×6多加了一個(gè)6，又經(jīng)過幾個(gè)例子后他就能夠用算式推理明白10×10－9×9為什么可以等于10＋9了蔑担。

3牌废、發(fā)現(xiàn)平方差公式

我這時(shí)想到一個(gè)問題，他很可能會(huì)將規(guī)律誤用啤握，于是我出了道題：11×11－9×9鸟缕。

不出我所料，他很快就說等于20排抬，我讓他用乘法算一遍懂从，他最后發(fā)現(xiàn)結(jié)果是40，也就是用錯(cuò)了蹲蒲。

但出乎我意料的事情又出現(xiàn)了番甩，他說：“40是20的兩倍，而11－9就是2啊”届搁。我本來想讓他長(zhǎng)教訓(xùn)缘薛，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不能亂用窍育，結(jié)果他又有了新發(fā)現(xiàn)。

這時(shí)我又說：“那這次是巧合嗎宴胧？”

他又自己試了12×12－10×10和13×13－11×11后說道：“不是巧合”漱抓。

至此，我覺得時(shí)機(jī)成熟了恕齐，跟他說：“是否巧合不僅僅是這個(gè)2倍的規(guī)律乞娄，而是乘數(shù)差2就乘2，那差3檐迟、差4呢补胚？”

于是，他開始自己嘗試追迟，試幾個(gè)之后他發(fā)現(xiàn)都沒問題溶其，其實(shí)這就完全掌握了平方差公式的規(guī)律。

最后給他隨便出道題：“27×27－24×24”敦间，他直接寫上：“=（27＋24）×3”瓶逃。

我在最后告訴他，你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律廓块，奧數(shù)課上一般五年級(jí)或六年級(jí)才會(huì)教厢绝，學(xué)校里初中才會(huì)學(xué)到。我們相信他通過這段思考能夠獲得更多的樂趣带猴、自信和成就感昔汉。我也通過這件事更加堅(jiān)定了我們的授課理念和授課風(fēng)格：千萬不要束縛孩子的獨(dú)立思考、一定要以孩子為課堂的主體拴清。

我建議他把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律記錄下來靶病，因?yàn)楣P者自己在做題過程中也有過很多的發(fā)現(xiàn)，不過大多因?yàn)闆]有記錄下來而遺忘在歷史長(zhǎng)河中口予，包括通過一道別人問我的普林斯頓題獨(dú)自想出來“歐拉函數(shù)”的規(guī)律娄周，不過那是一道什么樣的題目我一點(diǎn)都不記得了。

我覺得沪停，第二階段（了解原因）的意義不是太大煤辨，這個(gè)環(huán)節(jié)的出現(xiàn)更多是出于讓孩子知道“規(guī)律都是有原因的”。如果孩子自己去想規(guī)律存在的原因木张，可能我就不會(huì)去引導(dǎo)告訴他究竟原因是什么了众辨，因?yàn)楠?dú)自探索原因可能比獨(dú)自發(fā)現(xiàn)規(guī)律更有樂趣。

這三個(gè)案例依次代表了：課內(nèi)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)規(guī)律窟哺、課外數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)規(guī)律泻轰、數(shù)學(xué)思考課上孩子發(fā)現(xiàn)規(guī)律。我們一直認(rèn)為：數(shù)學(xué)的樂趣在于探索問題的過程且轨，數(shù)學(xué)的成就感在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律浮声，而數(shù)學(xué)的能力往小了說就是探索問題和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力虚婿。

至此，若把思考模式比作一棵大樹泳挥，那么樹根（邏輯）然痊、樹干（思考）、樹枝（實(shí)踐）屉符、樹葉（規(guī)律）就都齊全了剧浸。可以說矗钟，樹葉雖然最美唆香，但對(duì)于一棵大樹而言，卻是最可有可無的吨艇，即使把一棵樹的樹葉全部摘下躬它，它依舊可以再次長(zhǎng)滿。

這和數(shù)學(xué)實(shí)在太像了东涡，數(shù)學(xué)中冯吓，各種公式、方法疮跑、技巧等規(guī)律都是最可有可無的组贺，因?yàn)榧词惯@些都沒有，通過邏輯祖娘、思考失尖、實(shí)踐，依舊可以得到各種各樣的規(guī)律渐苏，甚至發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和已有的這些可能會(huì)很不一樣雹仿。

但我們的數(shù)學(xué)教育，往往忽視了樹根整以、禁錮了樹干、砍斷了樹枝峻仇。我們可以清楚的發(fā)現(xiàn)：我們的數(shù)學(xué)教育就相當(dāng)于只把樹葉摘下公黑，一片片告訴你這些樹葉的樣子，可能還會(huì)跟你說看這片葉子多么美摄咆。這種情況下凡蚜，孩子們?cè)趺纯赡苷J(rèn)清楚數(shù)學(xué)的樣子，怎么可能具備數(shù)學(xué)的能力吭从，怎么可能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的文化朝蜘，怎么可能從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中獲取追求、發(fā)現(xiàn)涩金、驗(yàn)證真理的鑰匙谱醇。

關(guān)于思考模式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的架構(gòu)就介紹完了暇仲，而思考模式不僅有具體的架構(gòu)，思考有著自己的基因副渴，或者說我們每個(gè)人都有著思考的基因奈附，敬請(qǐng)期待本刊下一篇《思考模式的基因》。