導數概念4

開始計算斜率

? 前面談了一下極限的問題逗抑。你還記得我們?yōu)槭裁匆剺O限嗎剧辐?
? 前面說過寒亥,導數是求函數斜率的工具。
? 斜率是什么荧关?一次函數的斜率不言而喻护盈。二次以上函數的圖形是曲線,曲線的斜率是什么羞酗?此時我們可以考慮切線的斜率腐宋。
? 那切線的斜率該如何計算呢?
? 斜率原本是“縱向長度差÷橫向長度差”檀轨,但是曲線圖形的切線僅與曲線上的一點相連胸竞,那么縱向長度差是什么,橫向長度差又是什么参萄?卫枝?
? 由此人們產生了這樣的設想——適當選取兩點,并使它們逐漸接近讹挎,那么它們最終會成為一點校赤。為了實現這一設想,極限概念應運而生筒溃。

? 想起來了嗎马篮?
? 那么我們就從下一頁開始講講斜率的具體計算方法。現在怜奖,進入正題了浑测。


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“滑動著”求導

好了,我們接著講歪玲。
? 假設我們要求函數f(x)圖形上點A的斜率迁央。設點A的坐標為(a,f(a))滥崩。
? 就像我反復強調的那樣岖圈,只有一點是無法求斜率的(無法取縱向長度差和橫向長度差),因此我們要在附近再取一點B钙皮。假設點B比點A的x坐標值略大蜂科,x坐標值的差為h,則B點坐標為(a+h株灸,f(a+h)崇摄。
? 我們來求一下AB的斜率擎值。斜率為“縱向長度差÷橫向長度差”慌烧,縱向長度差為f(a+h)-f(a),橫向差為h鸠儿。

AB的斜率=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}?

? 現在想求的是點A的斜率屹蚊。如何將AB的斜率與點A的斜率聯系起來呢厕氨?我們讓點B沿曲線向點A滑動,即讓點B接近點A汹粤,最終兩點重合命斧,此時AB的斜率就變成A點的斜率了。
? 可是嘱兼,如果點A和點B重合国葬,h就為0了,斜率算式的分母為零芹壕,這樣不行呀汇四。
? 別忘了,我們不是為此而引入了極限嗎踢涌?
? 是呀通孽,h不斷接近0,則……

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根據上面的分析睁壁,
點A的斜率=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

如此就求得了點A的斜率背苦。啪啪啪(鼓掌)。
這就是導數潘明。
準確來說行剂,上面的算式應叫f(x)在點x=a處的導數。
之前已經說過钳降,點A不是f(x)上某個特殊的點硼讽,而是任意一點。也就是說牲阁,無論取f(x)上的哪個點都沒問題固阁。嘗試將a置換為x,則得到

\lim _{n \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
這就是f(x)的求導公式城菊。
讓我們來使用一下這個公式备燃,算算f(x)=x^{2}在點A(2,4)處的斜率凌唬。將A點坐標代入上式并齐,則
斜率=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{2}-2^{2}}{h}

=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{4 h+h^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}(4+h)=4

巧妙地約掉h是解題的關鍵(記住h是不會等于0的)。最后得到答案是4客税。也就是說况褪,點A(2,4)處的斜率為4更耻。


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求某一點斜率的意義

我們已經知道了求某點斜率的方法测垛,那么使用該方法可以做些什么呢?
好不容易找到了一個便利的工具秧均,現在好想知道該如何使用食侮。在導數的眾多用途中号涯,使用須率最高的是繪制切線和圖形。使用導數繪制切線非常方便锯七。用導數可以求斜率链快,知道斜率,再知道該點的坐標眉尸,馬上就能寫出切線的方程域蜗。
運用導數還能繪制出曲線的大致形狀。通常來說噪猾,沒有電腦和專業(yè)人士的幫助很難精確繪制出曲線的圖形地消。但使用導數可以求出曲線發(fā)生轉折的極限值點和彎曲狀態(tài)發(fā)生變化的拐點。例如畏妖,假設在圖形上取適當兩點脉执,一點的斜率為正,另一點的斜率為負戒劫。如果該曲線是流暢的半夷,那么它們中間必然會有斜率為0的地方。
也就是說迅细,如果能求導找到斜率為0的點巫橄,就能大致繪制出圖形形狀。這是使用導數最大的優(yōu)點茵典。


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