第十四章：Black-Scholes-Merton 模型

The Black-Scholes-Merton model

在 1970 年代，F(xiàn)ischer Black, Myron Scholes, Robert Merton 提出了一個(gè)重要的歐式期權(quán)定價(jià)模型舰涌。這個(gè)模型基于以下 7 條假設(shè)：

股票價(jià)格符合伊藤過(guò)程 $\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz$
允許賣空證券并充分利用收益
沒(méi)有交易費(fèi)用和稅彰居，所有證券完全可分割
在期權(quán)期限內(nèi)砌们，股票不支付股息
不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)
證券交易連續(xù)進(jìn)行
無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$ 是常數(shù)并且對(duì)所有期限相同

注意，這其中并不包含風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)涂召。從根本上講麻捻，風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)只是一個(gè)數(shù)學(xué)上的求解技巧矾屯，即使不使用這個(gè)技巧兼蕊，一樣可以通過(guò)暴力求解 PDE 得到同樣的結(jié)果（Feynman-Kac Theorem）。這一點(diǎn)非常重要件蚕，因?yàn)檎鎸?shí)世界明顯不是風(fēng)險(xiǎn)中性的孙技，BSM 公式也不可能基于這么一個(gè)不靠譜的假設(shè)。

14.6 Black-Scholes-Merton 微分方程

根據(jù)假設(shè)排作，股票的價(jià)格服從以下伊藤過(guò)程：

$\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz$

我們的目標(biāo)牵啦，也就是以該股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)的價(jià)格 $C$ 肯定是 $S$ 和 $t$ 的函數(shù)。根據(jù)伊藤引理妄痪，得到：

$dC = (\frac{ \partial C}{ \partial S} \mu S + \frac{ \partial C}{ \partial t} + \frac{1}{2} \frac{ \partial^2 C}{ \partial S^2} \sigma^2 S^2)~dt + \frac{ \partial C}{ \partial S}\sigma S~dz$

這是一個(gè)隨機(jī)微分方程哈雏，我們很難直接求解。于是我們希望利用 $S$ 和 $C$ 的線性組合消去其隨機(jī)項(xiàng)拌夏。

構(gòu)造一個(gè) portfolio $V = Q_S S + Q_C C$ 僧著，其中 $Q_S$ 和 $Q_C$ 分別是股票和看漲期權(quán)的數(shù)量履因。為了消除隨機(jī)項(xiàng) $dz$ 障簿，我們需要：

$Q_S \sigma S + Q_C \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S = 0$

我們可以令 $Q_S = \frac{\partial C}{\partial S}$ ， $Q_C = -1$ 栅迄。

值得注意的是站故，我們通過(guò)這樣實(shí)際構(gòu)造了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的 portfolio，同時(shí)毅舆，股票的數(shù)量也是 Greeks 里面的 delta西篓。 由于這是一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的 portfolio，其波動(dòng)率為 0憋活，期望收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$ 岂津。因此：

$dV = rVdt$

并且

$dV = Q_S~dS +Q_C~dC$

帶入得：

$\frac{\partial C}{\partial S} rS + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 = rC$

這就是 Black-Scholes-Merton 微分方程。這個(gè)方程的精妙之處在于我們消掉了隨機(jī)項(xiàng)和期望收益率 $\mu$ 這兩個(gè)非常復(fù)雜的部分悦即。

這個(gè)方程有很多解吮成，對(duì)應(yīng)于各種衍生品橱乱。假設(shè)一個(gè)衍生品不滿足這個(gè)微分方程，例如 $e^S$ 粱甫，則該衍生品不可能存在泳叠，因?yàn)橐欢ù嬖谔桌麢C(jī)會(huì)。

14.7 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

我們注意到茶宵，推導(dǎo)出的 Black-Scholes-Merton 微分方程不含期望收益 $\mu$ 危纫，這也從證明了我們?cè)谟枚鏄?shù)進(jìn)行定價(jià)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的正確性。因?yàn)樗c投資人的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)乌庶。我們就可以放心使用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)簡(jiǎn)化計(jì)算种蝶。

假設(shè)從標(biāo)的物獲得的期望收益就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$
計(jì)算衍生品的期望的 payoff
將期望的 payoff 折現(xiàn)，折現(xiàn)率也等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$

例

假設(shè)一個(gè)遠(yuǎn)期合約多頭到期日為 $T$ 瞒大，執(zhí)行價(jià)格為 $K$ 蛤吓，目前現(xiàn)貨價(jià)格是 $S_0$ ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 $r$ 糠赦，則遠(yuǎn)期合約價(jià)格為会傲？

假設(shè)到期日標(biāo)的物價(jià)格為 $S_T$ ，則利用以上三個(gè)步驟拙泽，可以得到：

$f = e^{-rT}~E(S_T- K) = e^{-rT}E(S_T) - Ke^{-rT}$

由于我們的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$ 淌山，則有 $E(S_T) = S_0 e^{rT}$ ，帶入可以得到：

$f = S_0 - Ke^{-rT}$

這符合我們利用無(wú)套利假設(shè)得出的結(jié)論顾瞻。

14.8 Black-Scholes-Merton 定價(jià)公式

在這里泼疑，我們將利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理來(lái)推導(dǎo) BSM 定價(jià)公式。這樣可以避免解偏微分方程的復(fù)雜度荷荤。

14.8.1 計(jì)算 payoff 期望

以歐式看漲期權(quán)為例退渗，其在到期日 $T$ 的 payoff 為 $f =\max(S-K, 0)$ 。它的價(jià)格應(yīng)該為 payoff 的期望折現(xiàn)后的值蕴纳。因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求：

$E(\max(S-K, 0)) = \int_{K}^{\infty}(S-K)g(S)~dS$

其中 $g(S)$ 代表股票價(jià)格為 $S$ 的概率会油。那么如何得到 $g(S)$ 呢？

我們已經(jīng)假設(shè) $S$ 服從伊藤過(guò)程：

$\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz$

令 $G = \ln(S)$ 古毛，由伊藤引理翻翩，可以得到：

$dG = (\mu - \frac{ 1 }{ 2 } \sigma^2)~dt + \sigma~dz$

因此股票價(jià)格 取對(duì)數(shù)后 的變化量 $\ln(S_T) - \ln(S_0)$ 服從正態(tài)分布 $N((\mu-\frac{1}{2} \sigma^2)T, \sigma^2 T)$ 。

為了表示方便稻薇，我們記作 $\ln(S_T)$ 服從 $N(m, w^2)$ 嫂冻。

令 $Q = \frac{ \ln(S) - m}{ w}$ ，則 $Q$ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 $N(0,1)$ 塞椎。并有 $S = e^{Qw + m}$ 桨仿。

我們可以將 payoff 期望改寫(xiě)為：

$E( \max(S-K, 0)) = \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}(e^{Qw + m}-K)h(Q)~dQ$

分為兩部分：

$E(\max(S-K, 0)) = \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}e^{Qw + m}h(Q)~dQ - K\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}h(Q)~dQ$

其中 $h(Q)$ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：

$h(Q) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2\pi} } e^{ -\frac{ Q^2 }{ 2 } }$

我們將該式代入第一部分，得到：

$\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}e^{Qw + m}h(Q)~dQ = e^{m+\frac{ w^2 }{ 2 }} \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty} h(Q-w)~dQ$

假設(shè) $\Phi(x)$ 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量小于 $x$ 的概率案狠，則：

$\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty} h(Q-w)~dQ = 1-\Phi(\frac{ \ln(K) - m}{w} - w) = \Phi(w - \frac{\ln(K) - m}{w} )$

同理服傍，對(duì)于第二部分暇昂，有：

$\int_{ (\ln(K)-m)/w}^{ \infty}h(Q)~dQ = \Phi(-\frac{ \ln(K) - m}{ w})$

其中：

$m = \ln(S_0) + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)T$

$w = \sigma \sqrt{T}$

因此得出結(jié)論：

$E(\max(S-K, 0)) = S_0 e^{\mu T}\Phi(d_1) - K\Phi(d_2)$

其中：

$d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K}) + (\mu + \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$

$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$

14.8.2 應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)

我們?cè)?14.7 中已經(jīng)證明了可以使用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。那么期望收益 $\mu$ 和貼現(xiàn)率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$ 伴嗡。代入 14.8.1 得出的 payoff急波，貼現(xiàn)后得出該歐式看漲期權(quán)價(jià)格：

$c = S_0 \Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)$

其中：

$d_1 = \frac{ \ln(\frac{S_0}{K} ) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$

$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$

利用 put-call-parity：

$c + Ke^{-rT} = p + S_0$

可以算出對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格：

$p = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S_0 \Phi(-d_1)$

例 1

某歐式看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為 50$，期限為 3 個(gè)月瘪校。標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為 50$澄暮，波動(dòng)率為 30%每年。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 10% 每年阱扬。計(jì)算該歐式看跌期權(quán)的價(jià)格泣懊。
如果在 2 個(gè)月后將派發(fā) 1.5$ 的股息，結(jié)果會(huì)如何變化麻惶？

將 $K = 50$ 馍刮， $S_0 = 50$ ， $r = 0.1$ 窃蹋， $\sigma = 0.3$ 卡啰， $T=0.25$ 代入 BSM 公式【唬可以得到：

$p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25}\Phi(-d_2) - 50\Phi(-d_1)$

其中：

$d_1 = \frac{ \ln(\frac{50}{50}) + (0.1 + \frac{ 1 }{ 2 } \times 0.3^2)\times0.25 }{ 0.3 \times \sqrt{0.25} } = \frac{ 29 }{120}$

$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{11} {120}$

有 $\Phi(-d_1) = 0.4052$ 匈辱， $\Phi(-d_2) = 0.4641$ 。

因此 $p = 2.372$ 杀迹。

如果兩個(gè)月后會(huì)派發(fā)股息亡脸，說(shuō)明現(xiàn)在的股票價(jià)格中包含了股息貼現(xiàn)后的價(jià)值。在應(yīng)用 BSM 公式之前树酪，我們需要先將其去掉浅碾。因此：

$S = 50 - 1.5e^{-2/12 \times 0.1} = 48.5248$

再按照以上的方法計(jì)算，得到 $d_1 = 0.042$ $d_2 = -0.108$ 续语。

$p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25}\Phi(-d_2) - 48.5248\Phi(-d_1) = 3.033$

這符合我們之前的結(jié)論垂谢，對(duì)于派發(fā)股息的股票，看跌期權(quán)價(jià)值會(huì)升高

例 2

股票價(jià)格為 $40绵载，期望回報(bào)率為 15%埂陆，波動(dòng)率為 25%苛白。則 2 年收益率的概率分布是什么娃豹？

股票價(jià)格變化滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布右钾，即：

$\ln( \frac{S_T}{S_0} ) \sim N(( \mu - \frac{\sigma^2}{2} )T, ~\sigma^2 T)$

假設(shè)要求的收益率為 $r$ 瑞佩，滿足：

$S_T = S_0e^{rT}$

則顯然

$r = \frac{1}{T} \ln(\frac{S_T}{S_0}) \sim N(\mu - \frac{\sigma^2} {2}, \frac{\sigma^2}{T})$

因此收益率的分布為 $N(0.11875, 0.03125)$ 。

例 3

某股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)档玻，期望回報(bào)率為 16%躏率，波動(dòng)率為 35%躯畴，當(dāng)前價(jià)格為 $38民鼓。
(a). 某歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為 $40，到期日為 6 個(gè)月后蓬抄，求它行權(quán)的概率丰嘉。
(b). 與(a)中對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的行權(quán)概率是多少

已知股票價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即滿足：

$\ln(\frac{S_T}{S_0}) \sim N((\mu - \frac{\sigma^2}{2} )T, ~\sigma^2 T)$

那么有：

$\frac{ \ln(\frac{S_T}{S_0}) - (\mu - \frac{ \sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \sim N(0, 1)$

求行權(quán)概率實(shí)質(zhì)上是求 $S_T > K$ 的概率嚷缭。因此：

$P(S_T > K) = 1-\Phi(\frac{\ln(\frac{K}{S_0}) - (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}) = \Phi(-\frac{\ln(\frac{K}{S_0}) - (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}})$

代入 $K = 40$ $S_0 = 38$ $\mu = 0.16$ $\sigma = 0.35$ $T = 0.5$ 饮亏，得到該歐式看漲期權(quán)行權(quán)概率為 $\Phi(- 0.007751) = 0.496$ 。

看跌期權(quán)行權(quán)概率即 $S_T < K$ 的概率阅爽，即 $1 - 0.496 = 0.504$ 路幸。

例 4

考慮一個(gè)衍生品，其在 $T$ 時(shí)刻 payoff 為 $S_T ^n$ 付翁，其中 $S_T$ 是標(biāo)的股票在 $T$ 時(shí)刻價(jià)格简肴，服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。它在 $t$ 時(shí)刻的價(jià)格可以表示為 $h(t,T)S^n$ 百侧，其中 $S$ 表示 $t$ 時(shí)刻股票價(jià)格砰识， $h$ 是關(guān)于 $t$ 和 $T$ 的函數(shù)。

(a) 利用 BSM 偏微分方程推導(dǎo) $h(t, T)$ 的微分方程

(b) $h(t, T)$ 的邊界條件是什么

(c) 求出 $h(t, T)$

(a)
將價(jià)格表示為 $f = h(t,T)S^n$ 佣渴。則該價(jià)格滿足微分方程：

$\frac{ \partial f}{ \partial t} + \frac{ \partial f}{ \partial S}rS + \frac{1}{2}\frac{ \partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 = rf$

我們可以算出

$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial h}{\partial t}S^n$

$\frac{\partial f}{\partial S} = nhS^{n-1}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = n(n-1)hS^{n-2}$

代入有：

$\frac{ \partial h}{ \partial t} + (n-1)rh + \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2h = 0$

(b)

$h(t, T)$ 滿足邊界條件 $h(t, T) |_{t=T} = 1$

(c)

上式滿足

$\frac{h'}{h} = - (n-1)r - \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2$

令 $x = \ln(h)$ 仍翰，則有：

$x' = - (n-1)r - \frac{ 1}{2}n(n-1)\sigma^2$

得出

$x = [- (n-1)r - \frac{1}{2} n(n-1) \sigma^2]t + C$

其中 $C$ 為常數(shù)。再根據(jù)邊界條件 $x|_{t=T} = \ln(1) = 0$ 观话，得出：

$x = [(n-1)r + \frac{ 1}{2}n(n-1)\sigma^2](T-t)$

因此：

$h(t, T) = e^{[(n-1)r + \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2](T-t)}$

例 5

(a) 證明：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中予借，一個(gè)歐式看漲期權(quán)被行權(quán)的概率等于 $\Phi(d_2)$ 。

(b) 假設(shè)一個(gè)衍生品 payoff 為 $100 如果股票價(jià)格 $S$ 大于 $K$ 频蛔，求該衍生品的價(jià)格灵迫。

(a)

歐式看漲期權(quán)被行權(quán)的概率是 $P(S_T > K)$ 。而 $S_T$ 滿足：

$\ln(S_T) \sim N(\ln(S_0) + (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)$

由于對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性晦溪， $P(S_T > K) = P(\ln(S_T) > \ln(K))$ 瀑粥，且在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，有 $\mu = r$ 三圆，則：

$P(S_T > K) = 1 - \Phi(\frac{\ln(K) - \ln(S_0) - (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}) = 1 - \Phi(-d_2) = \Phi(d_2)$

(b)

利用上面的結(jié)論狞换，可以得到該衍生品收益期望為 $100 \Phi(d_2)$ ，貼現(xiàn)后的即為當(dāng)前價(jià)格：

$100e^{-rT}\Phi(d_2)$

例 6

某銀行的某款理財(cái)產(chǎn)品保證投資者在 6 個(gè)月后得到：

a. 0舟肉，如果股指下跌

b. 40% 股指收益

用股指期權(quán)來(lái)描述該產(chǎn)品的收益修噪。

假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 8%，股息是 3%路媚，波動(dòng)率是 25%黄琼，這個(gè)理財(cái)產(chǎn)品值得買(mǎi)嗎？

假設(shè)目前股指是 $S_0$ 整慎，6 個(gè)月后股指為 $S_t$ 脏款。我們可以知道其收益為：

$\max(0, 0.4(S_t - S_0))$

因此其實(shí)際上是相當(dāng)于 0.4 倍的執(zhí)行價(jià)格為 $S_0$ 的歐式看漲期權(quán)的收益围苫。

我們可以計(jì)算執(zhí)行價(jià)格為 $S_0$ ，到期日為 6 個(gè)月的歐式期權(quán)的價(jià)值：

$c = S_0e^{-qT}\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)$

其中

$d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r - q + \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$

$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$

將 $K = S_0$ 撤师， $T = 0.5$ 剂府， $q = 0.03$ ， $r = 0.08$ 剃盾， $\sigma = 0.25$ 代入：

$c = 0.0814S_0$

假設(shè)投資金額為 $M$ 周循，該理財(cái)產(chǎn)品的現(xiàn)金流相當(dāng)于在 0 時(shí)刻，免費(fèi)獲得了 $0.4 \frac{M}{S_0}$ 份看漲期權(quán)万俗，其代價(jià)是剩余的資金無(wú)法賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率湾笛。我們需要比較期權(quán)的價(jià)格以及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益。

現(xiàn)在我們假設(shè)有兩個(gè) portfolio A 和 B闰歪。

A：全額購(gòu)買(mǎi)該理財(cái)產(chǎn)品
B：購(gòu)買(mǎi)了 $0.4 \frac{M}{ S_0}$ 份看漲期權(quán)嚎研，剩余資金用于賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

顯然 B 購(gòu)買(mǎi)的期權(quán)具有和 A 完全一致的 payoff。我們只需要比較其余資金库倘。

對(duì)于 A临扮，六個(gè)月后會(huì)獲得 $M$ 外加 payoff。

對(duì)于 B教翩，除了與 A 一致的 payoff杆勇，還有：

$(M - 0.4 \frac{ M }{ S_0 } c)e^{rT} = 1.007 M > M$

因此顯然該理財(cái)產(chǎn)品不劃算。

14.4 計(jì)算歷史波動(dòng)率 $\sigma$

在 B-S-M 模型中饱亿，唯一難以確定的參數(shù)就是波動(dòng)率 $\sigma$ 蚜退。在實(shí)際中，不能直接使用歷史波動(dòng)率彪笼，但是可以作為重要參考钻注。以下提到的波動(dòng)率都指歷史波動(dòng)率，而非實(shí)際（隱含）波動(dòng)率配猫。

$\sigma$ 用于衡量股票回報(bào)率的不確定性幅恋。我們將波動(dòng)率 $\sigma$ 定義為 連續(xù)復(fù)利下股票 1 年中回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差。它一般在 15% 到 60% 之間泵肄。

連續(xù)復(fù)利下的股票回報(bào)率可以表示為：

$x = \frac{1}{T} \ln( \frac{S_T}{S_0} )$

我們已經(jīng)假設(shè)：

$\ln(S_T)-\ln(S_0) \sim N( (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)$

因此回報(bào)率滿足：

$x \sim N(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2, \frac{\sigma^2}{T})$

假設(shè)我們已經(jīng)知道以某個(gè)較小采樣間隔（例如每周） $\Delta t$ 的股票回報(bào)率歷史數(shù)據(jù)捆交，我們可以估計(jì)其方差 $D$ 。

假設(shè)第 $i$ 個(gè) $\Delta t$ 內(nèi)的回報(bào)率為 $u_i$ 腐巢，其平均值為 $\bar{u}$ 品追。對(duì)于方差 $D$ 的無(wú)偏估計(jì)可以表示為：

$\hat{D} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (u_i - \overline{u})^2$

也可以寫(xiě)為：

$\hat{D} = \frac{1}{n -1} [ \sum_{i = 1}^n u_i^2 - n \overline{u}^2]$

然后根據(jù)下式求波動(dòng)率的估計(jì)：

$\hat{\sigma} = \sqrt{\hat{D} ~ T}$

這個(gè) $T$ 表示一年時(shí)間，假設(shè) $\Delta t$ 是周系忙，那么 $T = 365/7 = 52$ 诵盼。

例 1

假設(shè)我們觀察到某個(gè)股票在連續(xù) 15 個(gè)周五的價(jià)格為：30.2; 32.0; 31.1; 30.1; 30.2; 30.3; 30.6; 33.0; 32.9; 33.0; 33.5; 33.5; 33.7; 33.5; 33.2。
(a) 估算該股票的波動(dòng)率
(b) 這個(gè)波動(dòng)率的估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差是多少银还？

#	股票價(jià)格( $S$ )	相對(duì)價(jià)格( $S_{i+1}/S_i$ )	周回報(bào)率( $u = \ln(S_{i+1}/S_i)$ )
1	30.2
2	32.0	1.05960	0.05789
3	31.1	0.97188	-0.02853
4	30.1	0.96785	-0.03268
5	30.2	1.00332	0.00332
6	30.3	1.00331	0.00331
7	30.6	1.00990	0.00985
8	33.0	1.07843	0.07551
9	32.9	0.99697	-0.00303
10	33.0	1.00304	0.00303
11	33.5	1.01515	0.01504
12	33.5	1.00000	0.00000
13	33.7	1.00597	0.00595
14	33.5	0.99407	-0.00595
15	33.2	0.99104	-0.00900

(a)

首先計(jì)算得到：

$\sum_{i=1}^n u_i = 0.09471$

$\sum_{i=1}^n u_i^2 = 0.01145$

計(jì)算得

$\hat{D} = \frac{1}{13}(0.01145 - \frac{0.09471^2}{14}) = 0.0008315$

$\sigma = \sqrt{0.0008315 \times 52} = 0.208$

(b)

這個(gè)估計(jì)本身的標(biāo)準(zhǔn)差為

$\frac{ \sigma}{ \sqrt{2n} } = \frac{0.208}{\sqrt{2 \times 14} } = 0.0393$

最后編輯于：2022.06.01 21:47:54

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