隨機事件及其發(fā)生的概率-貝葉斯公式

參考教材
概率論與數(shù)理統(tǒng)計（陳希孺）
概率論與數(shù)理統(tǒng)計（茆詩松）
參考視頻
中科大精品課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計（廖柏其）

1.隨機事件及其運算

1.1隨機現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象：在一定條件下把鉴，并不是總出現(xiàn)相同結果的現(xiàn)象案怯。如拋一枚硬幣
隨機試驗：可以重復的隨機現(xiàn)象。比如拋n次硬幣曹体。
基本結果W:隨機現(xiàn)象的最簡單的結果板驳，它將是統(tǒng)計中抽樣的基本單元心俗，又稱樣本點流酬。
樣本空間：隨機現(xiàn)象所有基本結果的全體。

1.2基本空間（樣本空間）

隨機現(xiàn)象的所有基本結果叫做這個隨機現(xiàn)象的基本空間甘畅，又稱樣本空間。例如扔一枚骰子這一隨機現(xiàn)象的樣本空間是
$\Omega_{2}=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}\right\}=\{1,2,3,4,5,6\}$
其中w1,w2....又稱基本結果往弓，又稱樣本點疏唾。樣本空間可以是有限的，或者是無限的函似。也可以是離散的或者是連續(xù)的

1.3隨機事件

隨機現(xiàn)象的某些基本結果組成的集合稱為隨機事件槐脏，簡稱事件。如“扔一枚骰子撇寞，結果為偶數(shù)”是一個隨機事件顿天，踏實由樣本點的集合{2,4,6}組成。
隨機事件的幾個特征
1. 任意一個事件A都是相應基本空間的一個子集蔑担。
2. 事件A發(fā)生當且僅當A中某一基本結果發(fā)生
3. 事件A可以用集合表示也可以用語言描述牌废，但是要確保無歧義。

1.4必然事件與不可能事件

必然事件：一個隨機現(xiàn)象的基本空間的最大子集（基本空間本身）稱為必然事件啤握。如扔一枚骰子鸟缕，其結果不超過6。
不可能事件：一個隨機現(xiàn)象的基本空間的最小子集（空集）稱為不可能事件排抬。如扔一枚骰子懂从，其結果為7。

1.5事件間的關系

包含：同一試驗中的兩個事件A與B,若事件A中的基本結果必包含在B中蹲蒲，則稱A被B包含番甩，或是B包含A.

如扔一枚骰子，事件A為結果為4届搁，事件B為結果為偶數(shù)缘薛。記為：
$A \subset B$
維恩圖：

快照2.png

相等：同一試驗中的兩個事件A與B,若事件A中的基本結果與時間B的基本結果相同。如扔兩枚骰子咖祭，結果記為（x,y）掩宜，事件A為x+y為奇數(shù)，事件B為x,y奇偶性不同么翰。
互不相容（互斥）：同一試驗中的兩個事件A與B,若事件A與事件B沒有相同的基本結果牺汤。兩個事件的互不相容可以多個事件的互不相容。

維恩圖：

快照3.png

1.6事件的運算

對立事件

快照4.png

事件的并

快照5.png

事件的交

快照6.png

事件的差：A與B的差由在A中但是不在B中的基本結果組成浩嫌。

快照8.png

事件的交于并的推廣

快照9.png

2.事件的概率

2.1事件的概率

隨機事件的發(fā)生具有偶然性的檐迟，但是隨機事件發(fā)生的可能性還是有大小之別补胚，如扔一枚硬幣正面向上的可能與扔一枚骰子結果為6的可能性大小不相同。我們使用比率來衡量這種可能性追迟。

概率的公理化定義：在隨機現(xiàn)象中溶其，用來表示任一隨機事件A發(fā)生的可能性大小的實數(shù)（既比率）稱為該事件的概率，記為P(A)敦间，并規(guī)定：

非負性公理：對任意事件A,P(A)>=0
正則性公理：必然事件的概率為1
可加性公理：若A與B 是互不相容事件瓶逃，則有

$P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)$

除了概率的公理化定義，還曾經(jīng)存在概率的古典定義廓块、概率的統(tǒng)計定義厢绝、概率的主觀定義等。

2.2排列與組合概要

乘法原理：如果某個事件需要K個步驟完成带猴，第i個步驟有Mi個方法（0<i<=K）,那么完成這件事共有M1* M2...Mk個方法
加法原理：如果某個事件需要K類方法可以完成昔汉，第i個步驟有Mi個方法（0<i<=K）,那么完成這件事共有M1+M2+...+Mk個方法
排列：從n個不同的元素中任意選取r（r<=n）個元素排成一排，按乘法原理拴清，此排列共有以下種情況靶病。

$n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1)$

? 若n=r則稱為全排列

重復排列：從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個口予，如果連續(xù)取r次娄周，所得的排列為重復排列，這種重復排列的個數(shù)是
$n^{r}$
且r不存在范圍限制苹威。
組合：從n個不同元素中任取r個組成一組（不考慮順序）稱為一個組合昆咽，按乘法原理，這種組合總數(shù)為

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{P_{n}^{r}}{r !}=\frac{n(n-1) \cdots(n-r+1)}{r !}=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

這個式子還是二項式展開式的系數(shù)牙甫，
$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{r} b^{n-r}$
若令a=1,b=1,可以得到一個重要的組合公式：
$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)+\dots+\left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=2^{n}$

重復組合：從n個不同元素每次抽取一個掷酗，放回然后再取下一個，如此連續(xù)取r次得到的組合成為重復組合窟哺。此種組合的總數(shù)為
$C_{n+r-1}^{r}$

2.3古典方法

基本思想：

樣本空間有限
基本結果等可能
概率P(A)=K/N

2.4 頻率方法

基本思想：

多次獨立重復實驗

2.5主觀方法

基本思想：

個人經(jīng)驗等

3.概率的性質(zhì)

$P(\overline{A})=1-P(A)$

$P(\phi)=1-P(\Omega)=0$

對于n各互不相容事件Ai有
$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$

若事件A包含事件B,則
$\begin{array}{l}{(1) P(A-B)=P(A)-P(B)} \\ {(2) P(A) \geqslant P(B)}\end{array}$

對任意事件A與B

$\begin{array}{l}{(1) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)} \\ {(2) P(A \cup B) \leqslant P(A)+P(B)}\end{array}$

對任意三個事件A泻轰、B、C有

$\begin{aligned}(1) P(A \cup B \cup C)=& P(A)+P(B)+P(C) \\ &-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) \\(2) P(A \cup B \cup C) \leqslant P(A)+P(B)+P(C) \end{aligned}$

4.獨立性

4.1兩個事件之間的獨立性

對任意兩個事件A與B,若P(AB)=P(A)P(B),則稱A,B相互獨立且轨，否則稱A與B不獨立浮声。
若事件A與事件B獨立，則事件A與B的對立事件也獨立

4.2多個事件的獨立性

三個事件獨立：首先事件兩兩獨立旋奢，

$\begin{aligned} P(A B) &=P(A) P(B) \\ P(A C) &=P(A) P(C) \\ P(B C) &=P(B) P(C) \end{aligned}$

? 再加上：
$P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$
? 則三個事件獨立

多個事件獨立：n個事件 A 1 ...An,假若對所有的1<=i<j<k<...<=n,以下等式均成立：

$\begin{array}{l}{P\left(A_{i} A_{j}\right)=P\left(A_{i}\right) P\left(A_{j}\right)} \\ {P\left(A_{i} A_{j} A_{k}\right)=P\left(A_{i}\right) P\left(A_{j}\right) P\left(A_{k}\right)} \\ {\vdots} \\ {P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n}\right)}\end{array}$

稱這n個事件彼此獨立

將相互獨立的時間的任意部分換成對立事件泳挥，所得的所有事件之間依然彼此獨立。

4.3試驗的獨立性

進行n次不同的試驗至朗，E1,E2...En屉符，這n個試驗之間的結果相互獨立，則稱試驗相互獨立。

若這n次試驗相同矗钟，如扔n次同一枚硬幣唆香，則這n次試驗叫做n重獨立重復試驗

4.4 n重貝努力試驗

貝努力試驗：只有兩個可能的結果，可重復吨艇；
n重貝努力試驗：由n次相同的躬它、獨立的貝努力試驗組成的隨機試驗稱為n重貝努力試驗。例如重復扔五次硬幣东涡。

在n重貝努力試驗中冯吓，成功的次數(shù)成為人們最關心的信息，記
$B_{n, k}=“n重貝努力中A出現(xiàn)K次”$
那么
$P \left(B_{n, k}\right)=\left( \begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}$
K可能的取值是0软啼，1,2...n

5.條件概率

5.1條件概率

條件概率的定義：設A與B是基本空間中的兩個事件桑谍，且P(B)>0,在事件B已發(fā)生的條件下P(A/B)定義為P(AB)/P(B),即
$P(A | B)=\frac{P(A B)}{P(B)}$

如何理解條件概率：舉個例子，兩家工廠同時生產(chǎn)同一種零件祸挪，作為試驗隨機抽取了25個零件作為樣品，具體見一下二維表：事件A表示生產(chǎn)廠商為1贞间，事件B表示有缺陷

	無缺陷	有缺陷
生產(chǎn)廠1	10	5
生產(chǎn)廠2	8	2

如何求當已知事件B發(fā)生的情況下贿条，事件A再發(fā)生的概率是多少？

事件B發(fā)生的概率是7/25,事件B發(fā)生表示B的對立事件是不能能發(fā)生了增热，因此有十八種基本結果應該從基本空間中剔除整以，考慮剩余的7種基本結果，這意味著B的發(fā)生改變了基本空間峻仇，這時事件A發(fā)生占剩余基本空間的5/7.其實5種基本結果也是A,B同時發(fā)生的所有情況公黑。可以得到
$P(A | B)=\frac{N(A B)}{N(B)}=\frac{N(A B) / N(\Omega)}{N(B) / N(\Omega)}=\frac{P(A B)}{P(B)}$

5.2條件概率的性質(zhì)

條件概率滿足的三條公理：

(1)非負性： ${P(A | B) \geqslant 0}$
(2)正則性： ${P(\Omega A_i| B)=1}$
(3)可加性： $加入事件A1與A2互不相容摄咆，且P(B)>0,則 P\left(A_{1} \cup A_{2} | B\right)=P\left(A_{1} | B\right)+P\left(A_{2} | B\right)$

乘法公式：對任意兩個事件A與B,有
$P(A B)=P(A | B) P(B)=P(B | A) P(A)$

獨立性定理：加入事件A與事件B獨立凡蚜，且P(B)>0,則

$P(A | B)=P(A)$

反之亦然。

一般乘法公式：對于任意三個事件A1,A2,A3有
$P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} | A_{1}\right) P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right)$

其中P(A1A2)>0

5.3全概率公式

設A與B是任意兩個事件吭从，假如0<P(B)<則

$P(A)=P(A | B) P(B)+P(A | \overline{B}) P(\overline{B})$

設B1,B2,B3...是基本空間的一個分割朝蜘，則對任一事件A有
$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A | B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)$

5.4貝葉斯公式

從全概率公式可以推出一個著名的公式，貝葉斯公式：

貝葉斯公式：

設事件B1,B2,B3...Bn是基本空間的一個分割涩金，且它們各自的概率P(B1),P(B2)...P(Bn)均是正谱醇，有設它們各自的概率是P(Bi).

A是基本空間的一個事件，P(A)>0,且在諸Bi給定的事件A的條件概率為P(A/B1),P(A/B2),P(A/B3)...P(A/Bn)可以的到在A給定條件下步做，事件Bk發(fā)生的條件概率是：
$P\left(B_{k} | A\right)=\frac{P\left(A | B_{k}\right) P\left(B_{k}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A | B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}, \quad k=1,2, \cdots, n$

最后編輯于：2019.07.12 10:56:15

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