線性方程組（四）- 矩陣方程

小結(jié)

矩陣方程的定義
矩陣方程的求解
矩陣方程诗充、向量方程和線性方程組擁有相同的解集
$\boldsymbol{Ax}$ 的計算、行-向量規(guī)則和性質(zhì)

$\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol$

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣夹攒，它的各列為 $\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}$ 。若 $\boldsymbol{x}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量胁塞，則 $\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{x}$ 的積（記為 $\boldsymbol{Ax}$ ）就是 $\boldsymbol{A}$ 的各列以 $\boldsymbol{x}$ 中對應元素為權(quán)的線性組合咏尝，即
$\boldsymbol{Ax} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}$
注意 $\boldsymbol{Ax}$ 僅當 $\boldsymbol{A}$ 的列數(shù)等于 $\boldsymbol{x}$ 中的元素個數(shù)時才有定義。

對 $\mathbb{R}^{m}$ 中的 $\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}$ 啸罢，把線性組合 $3\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3}$ 表示為矩陣乘向量的形式编检。
解：把 $\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}$ 排列成矩陣 $\boldsymbol{A}$ ，把數(shù)3扰才，-5允懂，7排列成向量 $\boldsymbol{x}$ ，即
$3\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \boldsymbol{v_3} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \boldsymbol{Ax}$

方程有形式 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol衩匣$ 蕾总，我們稱這樣的方程為矩陣方程。由定義 $\boldsymbol{Ax} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}$ 可知琅捏，任何向量方程都可以寫成等價的形式為 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol生百$ 的矩陣方程。而向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol柄延$ 又和增廣矩陣為 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol蚀浆 \end{bmatrix}$ 的線性方程有相同的解集。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣搜吧，它的各列為 $\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}$ 市俊，而 $\boldsymbol$ 屬于 $\mathbb{R}^{m}$ 滤奈，則矩陣方程與向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol摆昧$ 由相同的解集。它又與增廣矩陣為 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol僵刮 \end{bmatrix}$ 的線性方程組有相同的解集据忘。

我們現(xiàn)在可將線性方程組用三種不同但彼此等價的觀點來研究：作為矩陣方程鹦牛、作為向量方程或作為線性方程組。任何情況下勇吊，矩陣方程曼追、向量方程以及線性方程組都用相同方法來解---用行化簡算法來化簡增廣矩陣汉规。

解的存在性

方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol$ 有解當且僅當 $\boldsymbol针史$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的各列的線性組合。

設 $\boldsymbol{Ax}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ -4 & 2 & -6 \\ -3 & -2 & -7 \\ \end{bmatrix}$ 啄枕， $\boldsymbol=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix}$ 泌参。方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol常空$ 是否對一切可能的 $b_1, b_2, b_3$ 有解？
解：把 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol漓糙$ 的增廣矩陣進行行化簡：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ -4 & 2 & -6 & b_2\\ -3 & -2 & -7 & b_3 \\ \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 7 & 5 & b_3 + 3b_1 \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 0 & 0 & {b_3 + 3b_1 - \frac{1}{2}(b_2 + 4b_1)} \end{bmatrix}$
第4列的第3個元素為 $b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3$ 昆禽。故方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol$ 并不是對一切的 $\boldsymbol为狸$ 都相容歼郭，因為 $b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3$ 可能不為零遗契。

上述方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol辐棒$ 并非對所有的 $\boldsymbol$ 都相容牍蜂，這是因為 $\boldsymbol{A}$ 的階梯形含有零行漾根。假如 $\boldsymbol{A}$ 在所有三行都有主元，這時增廣矩陣的階梯形不可能產(chǎn)生如 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 的行鲫竞。

當我們說“ $\boldsymbol{A}$ 的列生成 $\mathbb{R}^{m}$ ”時辐怕，意思是說 $\mathbb{R}^{m}$ 中的每個向量 $\boldsymbol$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的列的線性組合从绘。一般地寄疏， $\mathbb{R}^{m}$ 中向量集{ $\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}$ }生成 $\mathbb{R}^{m}$ 的意思是說是牢， $\mathbb{R}^{m}$ 中的每個向量都是 $\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}$ 的線性組合，即 $\boldsymbol{Span\{v_1,\cdots,v_p\}}=\mathbb{R}^{m}$ 陕截。

設 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣驳棱，下列命題是邏輯上等價的，也就說农曲，對某個\boldsymbol{A}社搅，它們都成立或者都不成立。

對 $\mathbb{R}^{m}$ 中每個 $\boldsymbol乳规$ 形葬，方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol$ 有解暮的。
$\mathbb{R}^{m}$ 中每個 $\boldsymbol笙以$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的列的一個線性組合。
$\boldsymbol{A}$ 的各列生成 $\mathbb{R}^{m}$ 冻辩。
$\boldsymbol{A}$ 在每一行都有一個主元位置源织。
注意：這里說的矩陣是系統(tǒng)矩陣，而非增廣矩陣微猖。

$\boldsymbol{Ax}$ 的計算

計算 $\boldsymbol{Ax}$ 谈息，其中 $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix}$ 侠仇， $\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}$
解：由定義逻炊，
$\begin{equation}\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} &= x_1\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x_1 \\ -x_1 \\ 6x_1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3x_2 \\ 5x_2 \\ -2x_2 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4x_3 \\ -3x_3 \\ 8x_3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \\ -x_1 + 5x_2 - 3x_3 \\ 6x_1 - 2x_3 + 8x_3 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\end{equation}$

矩陣 $\boldsymbol{Ax}$ 的第一個元素是 $\boldsymbol{A}$ 的第一行與 $\boldsymbol{x}$ 相應元素乘積之和（有時稱為點積）。

計算 $\boldsymbol{Ax}$ 的行-向量規(guī)則
若乘積 $\boldsymbol{Ax}$ 有定義桨吊，則 $\boldsymbol{Ax}$ 中的第 $i$ 個元素是 $\boldsymbol{Ax}$ 的第 $i$ 行元素與 $\boldsymbol{x}$ 的相應元素乘積之和。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 3 + (-1) \times 7 \\ 0 \times 4 + (-5) \times 3 + 3 \times 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times r + 0 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 1 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 0 \times s + 1 \times t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix}$

若矩陣的主對角線上元素為1，其它位置上元素為0彰檬，這個矩陣稱為單位矩陣，記為 $\boldsymbol{I}$ 棺榔。有 $n \times n$ 單位矩陣症歇，記為 $\boldsymbol{I}_{n}$ 忘晤。對任意 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $\boldsymbol{x}$ 设塔， $\boldsymbol{I}_{n}\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$ 闰蛔。

矩陣-向量積 $\boldsymbol{Ax}$ 的性質(zhì)

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩陣序六， $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量例诀， $c$ 是標量繁涂，則

$\boldsymbol{A}$ ( $\boldsymbol{u}$ + $\boldsymbol{v}$ ) = $\boldsymbol{Au} + \boldsymbol{Av}$
$\boldsymbol{A}(c\boldsymbol{u}) = c(\boldsymbol{Au})$

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