線性混合模型基礎(chǔ)
線性混合模型（LMM）是遺傳評估中必用的統(tǒng)計模型，用以將群體中每個個體的觀測值按照潛在影響因素進行分解。決定觀測值的大小和幅度受2個參數(shù)（均值和方差）控制樊拓，反過來說也可以。一般我們更關(guān)注方差乐疆，圍繞方差的運算與處理也更為復(fù)雜，所以能夠?qū)MM中涉及的方差們的關(guān)系搞明白辆沦，就大體能理解這些沒什么親和力的模型們了昼捍。通常在介紹這一部分內(nèi)容時，很容易讓人發(fā)蒙肢扯，因為太抽象了妒茬，全是符號，所以前提是必須對數(shù)學這門外語有一定了解蔚晨，就是一門外語啊乍钻。比如告訴我一個矩陣的維度是4×5，我頭腦里有概念铭腕，這是小學的數(shù)學知識學得好银择，但你告訴我它的維度是n×p，我的CPU和GPU就不太夠用了累舷，所以得像學習英語一樣浩考，方法+重復(fù)才是硬道理。
如果知道了這些方差們的具體數(shù)值被盈，求算各個因素的系數(shù)（我們最終要的是這個）就相對容易多了析孽。但這些方差是怎么計算的？一般會告訴采用了什么方法（REML用的多）只怎，但這又是什么我想很多人想知道但沒人教袜瞬，所以一直糊涂著，只停留在會用的地步身堡，當然會處理數(shù)據(jù)也夠用邓尤。我很有興趣，但到今天我也不全會盾沫，也沒有能力在R中實現(xiàn)裁赠，原因是沒那個功底，不會矩陣求導(dǎo)赴精，盼望有一天誰來引領(lǐng)一下佩捞，但這不是剛需，因此參數(shù)求解就停在這里了蕾哟。下面就我了解的知識對LMM做2部分的介紹一忱，主要目的是自我梳理莲蜘，學識有限，錯誤難免帘营。
1. LMM的形式
這是基本形式票渠，更復(fù)雜的都是在其基礎(chǔ)上演變出來的。
式子里一共有6個字母芬迄，4個小寫问顷，2個大寫。小寫是向量（1維矩陣）禀梳，大寫是矩陣杜窄。這幾個字母的意思分別是：
| 字母 | 名稱 | 維度 |
|---|---|---|
| y | 觀測值 | n×1 |
| 固定效應(yīng)（p個水平） | p×1 | |
| a | 隨機效應(yīng)（q個水平） | q×1 |
| e | 隨機殘差 | n×1 |
| X | 固定效應(yīng)設(shè)計矩陣 | n×p |
| Z | 隨機效應(yīng)設(shè)計矩陣 | n×q |
有幾個假設(shè)
意思是和
這2個向量的參數(shù)（均值和方差），均值都是0算途，方差分別是G和R塞耕，協(xié)方差是0（彼此獨立，沒有線性關(guān)系）嘴瓤。G和R具體又是什么扫外？
，
廓脆。
是隨機效應(yīng)中q個水平之間的關(guān)系矩陣（分子關(guān)系矩陣）筛谚，如果水平間不相關(guān)（獨立），那么就等同于單位矩陣
停忿。這里只假設(shè)
是1個效應(yīng)刻获，
也可以是含有多個效應(yīng)的列向量；同樣瞎嬉，在某些情況下蝎毡，也可以繼續(xù)分解R（如AR模型）。此外氧枣，觀測值的期望是
沐兵，方差（marginal）
。期望比較容易理解便监，方差為何是這個形式扎谎？G左右為何乘以Z？很多材料沒有給詳細的推導(dǎo)式子烧董。Mrode（2014毁靶，p35[1]）中：
總之，一個普通LMM中的元素就這么多逊移，了解了這些內(nèi)容预吆，才有可能看懂后續(xù)的似然函數(shù)以及參數(shù)具體的ML或REML過程。
2. BLUP最佳線性無偏預(yù)測
BLUP是預(yù)測隨機效應(yīng)的方法胳泉，對應(yīng)的固定效應(yīng)值的方法是BLUE【統(tǒng)計上拐叉，擬合模型階段叫估計岩遗，預(yù)測階段稱預(yù)測；在LMM中凤瘦，則分別指固定和隨機參數(shù)的計算宿礁，目的是一樣的——求解方程組】。
BLUP是上世紀50年代由Henderson提出蔬芥，按照最佳線性無偏的原則求解混合模型方程組中固定和隨機效應(yīng)梆靖。混合模型方程組的形式如下：
如果我們假設(shè)殘差方差是IID（對于所有觀測值是相同和獨立的涤姊，獨立同分布），則可以將R矩陣作為因子嗤放。 在大多數(shù)應(yīng)用中用下面的方程式會更方便：
于是：
其中次酌，。
用REML等方法估計出方差舆乔，代入上面的方程組即可岳服。
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Mrode RA (2014) Linear models for the prediction of animal breeding values. CABI ?
