計(jì)算機(jī)圖形中的坐標(biāo)系(world,eye,object coordinate system in OpenGL)

Note

這是對(duì)MIT Foundation of 3D Computer Graphics第5章的翻譯，本章講解了圖形中坐標(biāo)系的應(yīng)用迁沫，涵蓋了使用變換矩陣操縱物體和變化視角的基本技術(shù)芦瘾。本書內(nèi)容仍在不斷的學(xué)習(xí)中，因此本文內(nèi)容會(huì)不斷的改進(jìn)集畅。若有任何建議近弟，請(qǐng)不吝賜教ninetymiles@icloud.com。

注：文章中相關(guān)內(nèi)容歸原作者所有挺智，翻譯內(nèi)容僅供學(xué)習(xí)參考祷愉。
另：Github項(xiàng)目CGLearning中擁有相關(guān)翻譯的完整資料、內(nèi)容整理、課程項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)谣辞。

已經(jīng)完成的章節(jié)

圖形中幀（坐標(biāo)系）的應(yīng)用（Frames in Graphics）

目前為止迫摔，已經(jīng)講解了點(diǎn)和矩陣變換的基礎(chǔ)，我們將詳解它們?cè)谟?jì)算機(jī)圖形中通常如何被使用泥从。隨后我們會(huì)討論多種建模運(yùn)用（modeling manipulation）和成像操作（imaging operation）。

5.1 世界沪摄、物體和眼睛幀（World, Object and Eye Frames）

當(dāng)描述一個(gè)場(chǎng)景的幾何形狀時(shí)躯嫉，我們會(huì)開始于一個(gè)被稱為世界幀（world frame）的右手性的正交標(biāo)準(zhǔn)幀（right handed orthonormal frame), $\vec{w}^t$ 。世界幀（world frame）絕對(duì)不會(huì)被我們改動(dòng)杨拐。然后其它幀能被關(guān)聯(lián)于這個(gè)世界幀（world frame）所描述祈餐。如果我們借助關(guān)聯(lián)于世界幀（world frame）的坐標(biāo)表達(dá)某個(gè)點(diǎn)的地址，那么這些坐標(biāo)將被稱作世界坐標(biāo)（world coordinates）哄陶。

假設(shè)我們希望建模一個(gè)正在場(chǎng)景中運(yùn)動(dòng)的汽車帆阳。我們會(huì)想借助“特別”的頂點(diǎn)坐標(biāo)來建模物體的幾何形狀，這樣的頂點(diǎn)不需要我們時(shí)刻意識(shí)到場(chǎng)景中物體坐標(biāo)的全局替換屋吨。同樣地蜒谤，我們會(huì)想在場(chǎng)景中來回移動(dòng)汽車而不用改變這些坐標(biāo)。這種行為可以借助物體幀（object frame）完成至扰。

針對(duì)場(chǎng)景中的每個(gè)物體鳍徽，我們?yōu)槠潢P(guān)聯(lián)一個(gè)右手性的正交標(biāo)準(zhǔn)物體幀（right handed orthonormal object frame） $\vec{o}^t$ 。現(xiàn)在我們可以借助關(guān)聯(lián)于物體坐標(biāo)系（object‘s coordinate system）的坐標(biāo)表示物體各個(gè)部分的地址敢课。這些坐標(biāo)被稱為物體坐標(biāo)（object coordinates）并且會(huì)被存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)程序中阶祭。要移動(dòng)整個(gè)物體，我們只要更新 $\vec{o}^t$ 即可直秆，不需要更改物體上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的任何物體坐標(biāo)（object coordinates）濒募。

物體坐標(biāo)系（object‘s coordinate system）和世界幀（world frame）之間的關(guān)系通過并行的（affine） $4 \times 4$ 矩陣O表達(dá)。也即是

$\Large{ \vec{o}^t = \vec{w}^tO }$

在我們的計(jì)算機(jī)程序中圾结，我們會(huì)存儲(chǔ)矩陣O瑰剃，借助上面的公式，這個(gè)矩陣可被理解為將世界幀（world frame）關(guān)聯(lián)到object‘s coordinate system（物體坐標(biāo)系）疫稿。要移動(dòng) $\vec{o}^t$ 幀培他，我們改變矩陣O。

在真實(shí)世界中遗座，當(dāng)我們想要生成一張3D環(huán)境的2D圖像舀凛，我們會(huì)在場(chǎng)景中某處放置一臺(tái)相機(jī)。圖片中每個(gè)對(duì)象的位置基于到相機(jī)的3D關(guān)系被確定途蒋，也就是說猛遍，其坐標(biāo)關(guān)聯(lián)于一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（basis）。在計(jì)算機(jī)圖形中我們借助一個(gè)右手性的正交標(biāo)準(zhǔn)幀(right handed orthonormal frame） $\vec{e}^t$ ，被稱為眼睛幀（eye frame）懊烤。我們將眼睛解讀為正看向這個(gè)幀的負(fù)z軸同時(shí)拍攝相片（參考圖示 $\text{Figure 5.1}$ ）梯醒。眼睛幀（eye frame）通過某種（剛體-rigid body） $4 \times 4$ 矩陣 $E$ 和世界幀（world frame）關(guān)聯(lián)：

$\Large{ \vec{\mathbf{e}}^t = \vec{\mathbf{w}}^tE }$

在計(jì)算機(jī)程序中，我們會(huì)明確地存儲(chǔ)矩陣 $E$ 腌紧。

給定一個(gè)點(diǎn)

$\Large{ \tilde{p} = \vec{O}^t\mathbf{c} = \vec{w}^tO\mathbf{c} = \vec{w}^tE^{-1}O\mathbf{c} }$

我們將 $\mathbf{c}$ 稱為物體坐標(biāo)（object coordinates）茸习，將 $O\mathbf{c}$ 稱為世界坐標(biāo)（world coordinates），將 $E^{-1}O\mathbf{c}$ 稱為眼睛坐標(biāo)（eye coordinates）壁肋。我們借用下標(biāo)“ $_o$ ”用于物體坐標(biāo)（object coordinates）号胚，“ $_w$ ”下標(biāo)用于世界坐標(biāo)（world coordinates），“ $_e$ ”下標(biāo)用于眼睛坐標(biāo)（eye coordinates）浸遗。如此我們可以表達(dá)下面關(guān)系

$\Large{ \begin{bmatrix} x_e \\ y_e \\ z_e \\ 1 \end{bmatrix} = E^{-1}O \begin{bmatrix} x_o \\ y_o \\ z_o \\ 1 \end{bmatrix} }$

最終猫胁，正是這些眼睛坐標(biāo)（eye coordinates）指定了每個(gè)頂點(diǎn)（vertex）在被渲染圖像中所出現(xiàn)的位置。因此跛锌，就如在第6章中所描述的弃秆，我們的渲染處理將需要計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)的眼睛坐標(biāo)（eye coordinates）。

Figure5.1.png

Figure 5.1: 世界幀（world frame）用紅色表示髓帽，物體幀（objects frame）用綠色表示菠赚，而眼睛幀（eye frame）用藍(lán)色表示。眼睛正看向眼睛幀中朝向物體方向的負(fù)z軸氢卡。

5.2 任意移動(dòng)物體（Moving Things Around）

在一個(gè)交互式的3D程序中锈至，我們經(jīng)常想要借助某種剛體變換（rigid body transformation）在空中來回移動(dòng)物體和眼睛（視野方位）。現(xiàn)在我們討論這種行為如何被實(shí)現(xiàn)译秦。

5.2.1 移動(dòng)一個(gè)物體（Moving an Object）

我們通過恰當(dāng)?shù)馗挛矬w所對(duì)應(yīng)的幀（frame）的方式移動(dòng)一個(gè)物體峡捡，這可以通過更新其矩陣O的方式被表示。

比方說筑悴，我們希望關(guān)聯(lián)于某種幀（frame） $\vec{\mathbf{a}}^t = \vec{\mathbf{w}}^tA$ 對(duì)一個(gè)物體幀（object frame） $\vec{\mathbf{o}}^t$ 應(yīng)用變換 $M$ 们拙，就如在方程（4.1）中所示，我們可以取得如下推導(dǎo)

$\Large{ \quad\;\; \vec{\mathbf{o}}^t \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\;\; (5.1) \\ = \vec{\mathbf{w}}^tO \qquad\qquad\qquad\qquad(5.2) \\ = \vec{\mathbf{a}}^tA^{-1}O \qquad\qquad\qquad (5.3) \\ \Rightarrow \vec{\mathbf{a}}^tMA^{-1}O \qquad\qquad (5.4) \\ = \vec{\mathbf{w}}^tAMA^{-1}O \qquad\quad (5.5) }$

所以在代碼中我們將變換實(shí)現(xiàn)為 $O \leftarrow AMA^{-1}O$ 阁吝。

什么是 $\vec{a}^t$ 的自然選擇砚婆？最明顯的選擇會(huì)是關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 自身應(yīng)用變換到 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 上。不幸的是突勇，這意味著被使用的軸會(huì)是相對(duì)于物體本身的那些軸装盯。“向右”會(huì)在物體的右側(cè)方向甲馋，這不會(huì)在被觀察的圖像中對(duì)應(yīng)任何實(shí)際的方向埂奈。我們可能嘗試通過關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{e}}^t$ 變換 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 。這會(huì)修復(fù)軸相關(guān)問題但是卻生成了另一個(gè)問題定躏。當(dāng)我們旋轉(zhuǎn)物體账磺，它會(huì)圍繞眼睛幀（eye frame）的原點(diǎn)做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)芹敌。但是我們通常發(fā)現(xiàn)圍繞物體自己的中心旋轉(zhuǎn)才更自然，這個(gè)中心我們認(rèn)為是 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 的原點(diǎn)垮抗。參考圖示 $\text{Figure 5.2}$ 氏捞。

要修復(fù)這兩種問題，我們可以生成一個(gè)新的幀（frame）冒版，其擁有物體（object）幀的原點(diǎn)液茎，還有眼睛（eye）幀的軸。要獲得這個(gè)幀辞嗡，讓我們將我們已有的矩陣分解如下
$\Large{ O = (O)_T(O)_R \\ E = (E)_T(E)_R }$

這里 $(A)_T$ 代表矩陣A的平移因子豁护， $(A)_R$ 代表矩陣A的旋轉(zhuǎn)因子，就如在方程（3.3）中一樣欲间。我們隨后可以看到想要的輔助幀（auxiliary frame）應(yīng)該為如下形式
$\Large{ \vec{\mathbf{a}}^t = \vec{\mathbf{w}}^t(O)_T(E)_R \qquad (5.6) }$

這個(gè)幀（frame）通過始于世界坐標(biāo)系（world coordinate system），然后平移其到物體幀（object‘s frame）的原點(diǎn)（從左到右讀断部，也就是說猎贴，依次經(jīng)歷關(guān)聯(lián)于局部的變換解讀），再然后圍繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)從而達(dá)到與眼睛幀（eye）的軸方向?qū)R蝴光。（參考圖示 $\text{Figure 5.3}$ ）她渴。

因此，對(duì)于這種物體運(yùn)動(dòng)（object motion）蔑祟，方程式（5.1）中矩陣A應(yīng)該為 $A=(O)_T(E)_R$ 趁耗。

有一種完成相同效果的替代計(jì)算。舉個(gè)例子疆虚，假設(shè)苛败，我們希望借助一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸 $\vec{k}$ 圍繞其自身的中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)物體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸具有關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{e}}^t$ 的坐標(biāo) $\mathbf{k}$ 径簿。（在上面計(jì)算中我們其實(shí)用 $\mathbf{k}$ 獲得了一個(gè)矩陣M罢屈，然后和一個(gè)合適的矩陣A一起，我們更新物體矩陣 $O \leftarrow AMA^{-1}O$ 篇亭。）我們可以首先計(jì)算 $\mathbf{k'}$ 缠捌， $\mathbf{k}$ 的關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 的坐標(biāo)。然后將 $\mathbf{k'}$ 代入方程式（2.5）中译蒂，我們可以得到一個(gè)矩陣 $M'$ 曼月，這個(gè)矩陣直接表達(dá)了關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{o}}^t$ 的我們所要求的旋轉(zhuǎn)。在這種情形中柔昼，我們可以更新物體矩陣（object's matrix）為： $\Large{ O \leftarrow OM' }$

Figure5.2.png

Figure 5.2: 當(dāng)我們移動(dòng)鼠標(biāo)到右側(cè)哑芹，我們想讓物體圍繞其中心和沿著眼睛的軸方向旋轉(zhuǎn)。

Figure5.3.png

Figure 5.3: 輔助幀（auxiliary frame）擁有的原點(diǎn)（origin）和的軸方向（axes）岳锁。軸指向頁面中绩衷，已經(jīng)被抑制（沒有繪制）蹦魔。

5.2.2 移動(dòng)眼睛（視角）（Moving the Eye）

另一種我們希望進(jìn)行的操作是移動(dòng)眼睛到不同的視角。這會(huì)涉及改動(dòng) $\vec{\mathbf{e}}^t$ ,在程序中具體通過更新矩陣 $E$ 來達(dá)到目的咳燕。再一次勿决，我們可以挑選一個(gè)合適的坐標(biāo)系，關(guān)聯(lián)于這個(gè)坐標(biāo)系我們執(zhí)行 $\vec{\mathbf{e}}^t$ 的更新招盲，就如之前我們?cè)谖矬w上所做的操作低缩。

一種選擇是使用和上面相同的輔助坐標(biāo)系。在這種情形中曹货，眼睛會(huì)圍著物體的中心環(huán)繞運(yùn)動(dòng)咆繁。

另一種有效的選擇是關(guān)聯(lián)于眼睛自身的幀（frame）變換 $\vec{\mathbf{e}}^t$ 。這會(huì)建模自我運(yùn)動(dòng)（ego-motion）顶籽，就如轉(zhuǎn)動(dòng)你的頭部玩般。這通常被用于控制第一人稱（first-person）運(yùn)動(dòng)。在這種情形中矩陣E會(huì)被更新為 $E \leftarrow EM$

5.2.3 Lookat（盯著看）

本節(jié)有一些錯(cuò)誤礼饱，已經(jīng)根據(jù)本書的errata改正坏为。

有時(shí)，特別是針對(duì)靜態(tài)圖像(static images)時(shí)镊绪，直接描繪出眼睛幀 $\vec{\mathbf{e}}^t = \vec{\mathbf{w}}^tE$ 會(huì)很便利匀伏，通過指定眼睛的位置 $\tilde{p}$ ,和一個(gè)眼睛正死盯著的點(diǎn) $\tilde{q}$ ，還有一個(gè)“上方矢量(up vector)" $\vec{u}$ 用于描述眼睛上方的方向蝴韭。這些點(diǎn)和矢量通過變量 $p$ , $q$ 和 $u$ 被給出够颠，它們的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)于 $\vec{\mathbf{w}}^t$ 。假定這種輸入榄鉴，進(jìn)行下面的計(jì)算

$\large{ z = normalize(p-q) \\ x = normalize(u \times z) \\ y = normalize(z \times x) }$

$\large{ normalize(c) = \frac{c}{\sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}} }$

然后矩陣 $E$ 可以被定義為：
$\large{ \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & p_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & p_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 & p_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }$

注：此處的眼睛矩陣 $E$ 并不是通常在CG中的View矩陣履磨，View矩陣一般為 $E^{-1}$ 。

5.3 伸縮變換（Scales）

目前為止牢硅，我們已經(jīng)將我們的世界認(rèn)為是由運(yùn)動(dòng)的物體組成蹬耘，每個(gè)物體都有一個(gè)由其自身的剛體矩陣所表達(dá)的正交標(biāo)準(zhǔn)幀（orthonormal frame） $\vec{\mathbf{o}}^t = \vec{\mathbf{w}}^tO$ 。我們將關(guān)注點(diǎn)限制到正交標(biāo)準(zhǔn)幀以便平移和旋轉(zhuǎn)矩陣可以像我們預(yù)期它們的行為那樣工作减余。

當(dāng)然综苔，要建模物體，我們當(dāng)然想同時(shí)應(yīng)用伸縮位岔。例如如筛，我們想要將一個(gè)橢球體建模為一個(gè)被擠壓的球體。一種處理方式是讓這個(gè)物體同時(shí)擁有一個(gè)伸縮矩陣（scaled matrix） $O'$ 抒抬。然后被伸縮的物體幀（非正交標(biāo)準(zhǔn)化的）被確定為 $\vec{\mathbf{o}}'^t = \vec{\mathbf{o}}^tO'$ 杨刨。這種方式中我們?nèi)匀幌裆厦嬉粯油ㄟ^更新矩陣 $O$ 移動(dòng)物體。要繪制這個(gè)物體擦剑，我們使用矩陣 $E^{-1}OO'$ 將“伸縮的物體坐標(biāo)”變換為眼睛坐標(biāo)妖胀。

5.4 層級(jí)體系（Hierarchy）

經(jīng)常將一個(gè)物體（object）當(dāng)作由一些固定的或可活動(dòng)的多個(gè)子-物體（sub-objects）組裝而成芥颈，這種觀點(diǎn)其實(shí)很有用。每個(gè)子-物體可以擁有自己的正交標(biāo)準(zhǔn)幀（orthonormal frame）赚抡，比如說 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 爬坑。（同時(shí)還有伸縮幀-scaled frame）。然后我們可以用其自己的坐標(biāo)系存儲(chǔ)這個(gè)子-物體的頂點(diǎn)（vertex）涂臣。給定這個(gè)層次體系盾计，我們想擁有這種能力-即可以輕松以整體建模物體的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也可以獨(dú)立建模子-物體的運(yùn)動(dòng)赁遗。

例如署辉，當(dāng)建模帶有移動(dòng)肢體的機(jī)器人時(shí)，我們可以借助一個(gè)物體幀（object）和伸縮物體幀（scaled object frame）表達(dá)軀干岩四，一個(gè)子-物體幀（sub-object frame）表達(dá)一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的肩膀哭尝，還有一個(gè)子-子-物體幀（sub-sub-object frame）表達(dá)上臂（其和肩膀一起運(yùn)動(dòng)）。（參考圖示 $\text{Figure 5.4}$ ）剖煌。

Figure5.4.png

Figure 5.4: 在本例中刚夺，綠色的幀（frame）為物體幀（object frame），灰色的幀為伸縮物體幀（scaled object frame）末捣。一個(gè)單位立方體（unit cube）的坐標(biāo)在中被繪制從而形成一個(gè)矩型（長(zhǎng)方形）的軀干。矩陣可以被改變用于移動(dòng)整個(gè)機(jī)器人创橄。青色的幀為右肩幀（right shoulder frame）箩做。矩陣A中的旋轉(zhuǎn)因子可以被改變用于旋轉(zhuǎn)整個(gè)右臂。淺藍(lán)色幀為右上臂幀（right upper arm frame）妥畏。紅色幀為伸縮（scaled）右上臂幀邦邦。一個(gè)單位球體的坐標(biāo)在中繪制形成了橢球體形狀的右上臂。為右肘幀（right elbow frame）醉蚁。矩陣C中的旋轉(zhuǎn)因子可以被改變用于旋轉(zhuǎn)右下臂（right lower-arm）燃辖。和分別為正交標(biāo)準(zhǔn)和伸縮的右下臂幀用于繪制下臂。幀為左肩幀（left shoulder frame）网棍。

當(dāng)我們通過更新矩陣 $O$ 移動(dòng)整個(gè)物體黔龟，我們想讓所有的物體（組件）更加協(xié)調(diào)一致（參考圖示 $\text{Figure 5.5}$ ）。要獲得這種行為滥玷，我們借助一個(gè)將其和物體幀（object’s frame）聯(lián)系在一起的剛體矩陣表達(dá)了子物體幀（sub-object‘s frame）氏身。因此，我們存儲(chǔ)了一個(gè)剛體矩陣（rigid body matrix） $A$ 惑畴，我們將其解讀為定義了這種關(guān)系： $\vec{\mathbf{a}}^t = \vec{\mathbf{o}}^tA$ 蛋欣，同時(shí)還有一個(gè)伸縮矩陣 $A'$ ，其定義了伸縮的子物體幀（sub-object frame）為 $\vec{\mathbf{a}}’^t = \vec{\mathbf{a}}^tA'$ 如贷。要重新定位在這個(gè)物體內(nèi)的子-物體（sub-object）陷虎，所有我們需要做的就是更新矩陣 $A$ 到踏。要繪制子-物體（sub-object），我們使用矩陣 $E^{-1}OAA'$ 尚猿，其變換“伸縮的子-物體坐標(biāo)”為眼睛坐標(biāo)（eye coordinates）窝稿。很清晰地，這種思路可以被遞歸嵌套谊路，同時(shí)我們可以表達(dá)一個(gè)子-子-物體（sub-sub-object）為 $\vec{\mathbf讹躯}^t = \vec{\mathbf{a}}^tB$ ，以及一個(gè)伸縮的子-子-物體為 $\vec{\mathbf缠劝}'^t = \vec{\mathbf潮梯}^tB'$ 。

在我們的機(jī)器人例子中惨恭，我們使用了 $\vec{\mathbf{a}}^t$ 為右肩的幀（frame）封寞， $\vec{\mathbf出刷}^t$ 為右上臂的幀，還有 $\vec{\mathbf{c}}^t=\vec{\mathbf}^t\mathbf{c}$ 為右肘幀趟薄。 $\vec{\mathbfavpj7zd}^t=\vec{\mathbf{c}}^tD$ 和 $\vec{\mathbfcvi37me}^t=\vec{\mathbf2hdv0gk}^tD'$ 分別是右下臂的正交標(biāo)準(zhǔn)幀和伸縮幀。

要移動(dòng)整個(gè)機(jī)器人荷并，我們更新其 $O$ 矩陣（參考圖示 $\text{Figure 5.5}$ ）赏枚。要在肩膀處彎曲右臂，我們更新其 $A$ 矩陣（參考圖示 $\text{Figure 5.6}$ ）脓规。要在肘部彎曲右臂栽连，我們更新其 $C$ 矩陣（參考圖示 $\text{Fiugre 5.7}$ ）。

Figure5.5.png

Figure 5.5: 要移動(dòng)整個(gè)機(jī)器人侨舆，我們更新矩陣秒紧。

Figure5.6.png

Figure 5.6: 要在肩部彎曲胳膊，我們更新矩陣挨下。

Figure5.7.png

Figure 5.7: 要彎曲肘部熔恢，我們更新矩陣。

經(jīng)常臭笆，一個(gè)矩陣棧數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（matrix statck data structure）可以被用來跟蹤表達(dá)當(dāng)前被繪制子-物體（sub-object）的矩陣叙淌。在這種矩陣棧結(jié)構(gòu)中，push(M)操作生成一個(gè)新的“最頂部”矩陣愁铺，它只是之前最頂部矩陣的一份拷貝（copy）凿菩，隨后其被用參數(shù)矩陣M右乘這個(gè)新頂部矩陣。pop操作移除棧的最頂層（topmost layer）帜讲。當(dāng)在層次體系中“下降”到一個(gè)子-物體（sub-object）衅谷，push操作被執(zhí)行。當(dāng)我們從
當(dāng)前層次返回父級(jí)層次似将，矩陣被從棧中彈出获黔。

例如蚀苛，在偽碼（pseudo-code）中，我們將上面的機(jī)器人繪制為玷氏。

...

matrixStack.initialize(inv(E));

matrixStack.push(O);
matrixStack.push(O’); 
draw(matrixStack.top(), cube); \\軀干（body） 
matrixStack.pop(); \\O’

matrixStack.push(A);
matrixStack.push(B); 
matrixStack.push(B’); 
draw(matrixStack.top(),sphere); \\上臂（upper arm） 
matrixStack.pop(); \\B’

matrixStack.push(C); 
matrixStack.push(C’); 
draw(matrixStack.top(),sphere); \\下臂（lower arm） 
matrixStack.pop(); \\C’ 
matrixStack.pop(); \\C

matrixStack.pop(); \\B
matrixStack.pop(); \\A

\\當(dāng)前頂部矩陣為inv(E)*O（current top matrix is inv(E) * O）

\\現(xiàn)在我們可以繪制另一個(gè)手臂 
matrixStack.push(F); 
...

這種層次體系關(guān)系（hierarchical relations）可以被硬編碼到你的程序中堵未，就如在上面的偽碼中，或者被表示為某種被稱為場(chǎng)景圖（scene graph）的鏈接樹（linked tree）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)盏触。

最后編輯于：2020.03.18 21:56:33

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城市分裂傳說
那天驹碍，我揣著相機(jī)與錄音壁涎，去河邊找鬼凡恍。笑死，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛怔球，可吹牛的內(nèi)容都是我干的嚼酝。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 40,275評(píng)論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼竟坛，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼闽巩！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起担汤，我...
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萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤涎跨，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后漫试，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體六敬，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,619評(píng)論 1贊 314
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,819評(píng)論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年驾荣，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了外构。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,932評(píng)論 1贊 348
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡播掷，死狀恐怖审编，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情歧匈，我是刑警寧澤垒酬，帶...
沈念sama閱讀 35,655評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站件炉，受9級(jí)特大地震影響勘究，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜斟冕，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,265評(píng)論 3贊 329
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一口糕、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧磕蛇，春花似錦景描、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案超棺，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至呵燕，卻和暖如春棠绘，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工弄唧，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留适肠，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,095評(píng)論 3贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓候引，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像侯养，于是被迫代替她去往敵國和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子澄干，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,884評(píng)論 2贊 354