想確保成功贫导，你會怎么做？普通人可能會說做好各種預(yù)案蟆盹，排除可能的阻礙孩灯。這固然沒錯，但這只是理想情況逾滥。而現(xiàn)實中成功的發(fā)生峰档，離不開概率。
來看一組數(shù)字：假如有50%的成功可能性寨昙，那至少要嘗試4次讥巡，才能確保成功一次；如果只有5%的成功可能性舔哪，大約需要50次才能確保成功一次欢顷。
這樣的結(jié)論，或許和你對于概率的感知有些不太一樣捉蚤。不用困惑抬驴，下面專門和你說說一說，在概率層面缆巧，為什么理想和現(xiàn)實總存在著偏差布持。
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扔十次硬幣，會有五次正面嗎
隨機性的規(guī)律性其實和我們直覺想象的不一樣陕悬，以至于在生活中大部分人會誤讀概率题暖。
比如說，我們知道拋硬幣正反兩面朝上的概率各50%墩莫，但你現(xiàn)在去拋十次硬幣芙委，真的有5次正面朝上么？其實這種可能性只有25%左右狂秦，顯然和大多數(shù)人的直覺完全不同了灌侣。
再比如有一個賭局，贏面是10%裂问，你玩十次是否就能保證贏一次呢侧啼？如果不能牛柒，需要多少次才有很高的把握贏一次呢？這個結(jié)果其實是26次痊乾，這可能也顛覆了你的認(rèn)知皮壁。
因此寥掐，我會通過一些例子講清楚隨機性到底意味著什么禀横，我們該如何得到正確的統(tǒng)計規(guī)律，而不是主觀偏見逛拱。
我們都知道湿滓，統(tǒng)計學(xué)的規(guī)律只有經(jīng)過了大量隨機試驗才能得出滴须，也才有意義。但是隨機試驗得到的結(jié)果叽奥，和我們用古典概率算出來的結(jié)論可能是兩回事扔水。
不僅你擲10次硬幣大部分時候不可能得到五次正面朝上的結(jié)果，你做其它隨機試驗也是如此朝氓。比如你擲12次骰子魔市，大約只有30%的情況它正好有兩次六點朝上。這時你是否能講赵哲，有70%的可能性要否定六點朝上的概率是1/6這個結(jié)論呢待德？似乎也不應(yīng)該這么武斷。
這里面到底哪里出了問題誓竿？這其中的關(guān)鍵是磅网，如何解釋真實情況和理想中的概率之間的偏差。
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現(xiàn)實和理想概率有偏差
幾百年前筷屡，法國數(shù)學(xué)家伯努利等人為了回答這個問題涧偷，就開始做一些最簡單的隨機試驗，這種試驗簡單到只有兩種結(jié)果毙死，非A即B燎潮，沒有第三種狀態(tài)，而且在同樣條件下重復(fù)這種試驗扼倘，A和B發(fā)生的概率需要一致确封。
比如拋硬幣，每次正面朝上的概率是1/2再菊；擲骰子爪喘，事件A是“六點朝上”，它出現(xiàn)的概率每次也是1/6纠拔。當(dāng)然事件B就是其它點朝上秉剑，每次的概率是5/6。在一般情況下稠诲，出現(xiàn)A的概率是p侦鹏，B的概率是1-p诡曙。這類試驗后來被稱為伯努利試驗。
好了略水，基本的設(shè)定講清楚了价卤。我們來分析一下擲硬幣的問題。照理講渊涝，我們擲10次硬幣慎璧，正面朝上的次數(shù)應(yīng)該是5次。但是如果你真的拿一個硬幣去試試跨释，你會發(fā)現(xiàn)可能只有三次正面朝上炸卑，也可能四次正面朝上，甚至?xí)霈F(xiàn)沒有一次正面朝上的情況煤傍。
如果我們把從0次正面朝上，也就是說全部是背面朝上嘱蛋，到10次全是正面朝上的可能性都算出來蚯姆，畫成一個折線圖，就是一個中間鼓起的曲線：
從圖中可以看出洒敏，雖然5次正面朝上的可能性最大龄恋，但是只有1/4左右。
造成試驗結(jié)果和理論值不一致的原因凶伙，是試驗十次數(shù)量太少郭毕，統(tǒng)計的規(guī)律性被試驗的隨機性掩蓋了。
如果我們做更多的隨機試驗函荣，規(guī)律性是否會更清晰一點呢显押？
比如我們做100次試驗，這時你會發(fā)現(xiàn)傻挂，80%的情況下乘碑，正面朝上出現(xiàn)了40-60次。如果我們繼續(xù)放大試驗次數(shù)金拒，你會發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)情況正面朝上的次數(shù)在一半左右浮動兽肤，那種正面朝上占比特別少或者特別多的可能性幾乎不會出現(xiàn)，而不是像一開始那樣绪抛，什么情況都有可能资铡。
當(dāng)然，如果你做1000次試驗幢码，在99.9%的情況下正面朝上的次數(shù)在400-600之間笤休。即使你把浮動的范圍縮小到450-550，99.7%的情況下正面朝上落在這個范圍內(nèi)蛤育。
在一般情況下宛官，如果進(jìn)行N次這種簡單的伯努利試驗葫松，那么事件A會發(fā)生多少次呢？雖然我們感覺應(yīng)該是總次數(shù)N乘以每次發(fā)生的概率p底洗，但是實際上事件A發(fā)生多少次都是有可能的腋么。當(dāng)然發(fā)生N*p次的可能性最大，接下來發(fā)生N*p+1或者N*p-1次的可能性次之亥揖，然后向兩頭逐漸遞減珊擂。
如果我們將它畫成一條曲線，就是中間高兩頭低的曲線费变。順便說一下摧扇，滿足這種曲線的概率分布，被稱為伯努利分布挚歧，也稱為二項式分布扛稽，因為每一次試驗的結(jié)果有兩種。
我們還看這個實驗滑负，事實上在张，如果試驗次數(shù)N比較大，那中間就是一個大鼓包矮慕，然后快速下降帮匾，兩旁幾乎是零，這也就是說事件A發(fā)生的次數(shù)在N*p左右的可能性極大痴鳄，其它的可能性極小瘟斜。相反，如果總次數(shù)N比較小痪寻，中間的鼓包就比較平緩螺句，兩頭的值雖然小，但不會是零槽华，其實難以判定事件A到底發(fā)生了多少次壹蔓。
于是，我們就得到這樣一個結(jié)論：有關(guān)不確定性的規(guī)律猫态，只有在大量隨機試驗時才顯現(xiàn)出來佣蓉，當(dāng)試驗的次數(shù)不足，它則顯現(xiàn)出偶然性和隨意性亲雪。
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找出這個偏差的本質(zhì)
當(dāng)然勇凭，在數(shù)學(xué)上我們不能用“曲線比較鼓”，或者“比較平”之類不嚴(yán)格的語言來描述一種規(guī)律义辕。我們需要用兩個非常準(zhǔn)確的概念來定量描述“鼓”和“平”的差別虾标。
第一個概念就是平均值或者叫做數(shù)學(xué)期望值，也就是N*p灌砖，因為概率是p的事件進(jìn)行N次試驗后璧函，平均發(fā)生的次數(shù)傀蚌，也是最可能發(fā)生的次數(shù)，好蘸吓，這是N*p善炫。
接下來我們再用平方差（簡稱方差）這個概念來描述曲線的“鼓”與“平”】饧蹋“方差”這個詞你可能并不陌生箩艺，那么什么是方差，它是如何計算的呢宪萄？我們下面就簡單地說一說艺谆。
方差其實是對誤差的一種度量，既然是誤差拜英，就要有可對比的基點静汤，在概率中，這個基準(zhǔn)點就是數(shù)學(xué)期望值（簡稱期望值）居凶，也就是我們通常說的平均值撒妈。比如說，做10次拋硬幣的試驗排监，平均值就是5次正面朝上，5就是基點杰捂。
如果我們做10次試驗只出現(xiàn)4次正面朝上的情況舆床，就有了誤差，誤差是1嫁佳。如果9次正面朝上挨队，那么誤差就大了，就是4蒿往。好了盛垦，接下來我們就把各種誤差，和產(chǎn)生那些誤差的可能性一起考慮瓤漏，做一個加權(quán)平均腾夯，算出來的“誤差”就是平方差。
之所以使用“平方”這個詞蔬充，是因為計算方差這種誤差時用到了平方蝶俱，為了進(jìn)一步方便誤差和平均值的比較，我們通常會對方差開根號一次饥漫，這樣得到的結(jié)果被稱為標(biāo)準(zhǔn)差（嚴(yán)格來講榨呆，方差開根號后和標(biāo)準(zhǔn)差還是略有差別，但是這個差別很小庸队，為了便于理解积蜻，我們就假定標(biāo)準(zhǔn)差是方差開根號的結(jié)果）闯割。
關(guān)于方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式我們就省略了，大家只要記住下面這個結(jié)論就可以了：伯努利試驗或者其它類似的試驗竿拆，試驗的次數(shù)越多宙拉，方差和標(biāo)準(zhǔn)差越小，概率的分布越往平均值N*p的位置集中如输。
顯然鼓黔，在這種情況下，你用A發(fā)生的次數(shù)不见，除以試驗次數(shù)N澳化，當(dāng)作A發(fā)生的概率，就比較準(zhǔn)確稳吮。
反之缎谷，試驗的次數(shù)越少，概率分布的曲線就越平灶似，也就是說A發(fā)生多少次的可能性都存在列林，這時你用A發(fā)生的次數(shù)，除以試驗次數(shù)N酪惭，當(dāng)作A發(fā)生的概率希痴，誤差可能會很大。
具體到拋硬幣的試驗春感，進(jìn)行100次試驗砌创，標(biāo)準(zhǔn)差大約是5次，也就是誤差相比平均值50鲫懒，大約是10%嫩实。但是如果我們做10000次試驗，標(biāo)準(zhǔn)差大約只有50窥岩，因此和平均值相比甲献，降到了1%左右。
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成功需要更多準(zhǔn)備
有了方差的概念颂翼，我們就能定量分析“理想”和現(xiàn)實的差距了晃洒。什么是理想呢？我們進(jìn)行N次伯努利試驗朦乏，每一次事件A發(fā)生的概率為p锥累，N次下來發(fā)生了N*p次，這就是理想集歇。那么什么是現(xiàn)實呢桶略？由于標(biāo)準(zhǔn)差的影響，使得實際發(fā)生的次數(shù)嚴(yán)重偏離N*p，這就是現(xiàn)實际歼。
比如惶翻，在生活中，很多人覺得某件事有1/N發(fā)生的概率鹅心，只要他做N次吕粗，就會有一次發(fā)生，這只是理想旭愧。
事實上颅筋，越是小概率事件，理想和現(xiàn)實的差距越大输枯。
比如說一件事發(fā)生的概率為1%议泵，雖然進(jìn)行100次試驗后它的數(shù)學(xué)期望值達(dá)到了1，但是這時它的標(biāo)準(zhǔn)差大約也是1桃熄，也就是說誤差大約是100%先口，因此試了100次下來，可能一次也沒有成功瞳收。
如果你想確保獲得一次成功怎么辦呢碉京？你大約要做260次左右的試驗，而不是100次螟深。這里面的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)我們就不講了谐宙，大家記住這個結(jié)論就好，就是越是小概率事件界弧，你如果想確保它發(fā)生卧惜，需要試驗的次數(shù)比理想的次數(shù)越要多得多。
比如買彩票這種事情夹纫。你中獎的概率是一百萬分之一，你如果要想確保成功一次设凹，恐怕要買260萬次彩票舰讹。你即使中一回大獎，花的錢要遠(yuǎn)比獲得的多得多闪朱。
因此月匣，了解了標(biāo)準(zhǔn)差，就該懂得人為什么不要去賭奋姿。這算是我們今天在認(rèn)知方面要了解的第一個知識點锄开。
我們要了解的第二個知識點是，提高單次成功率要遠(yuǎn)比多做試驗更重要称诗。
假如你有50%的成功可能性萍悴，你基本上嘗試4次，就能確保成功一次，當(dāng)然理想狀態(tài)是嘗試兩次癣诱。為了保險起見计维，要多做100%的工作。但是如果你只有5%的成功可能性撕予，大約需要50次才能確保成功一次鲫惶，而不是理想狀態(tài)中的20次。為了保險起見实抡，要多做150%的工作欠母。
很多人喜歡賭小概率事件，覺得它成本低吆寨，大不了多來幾次赏淌，其實由于誤差的作用，要確保小概率事件發(fā)生鸟废，成本要比確保大概率事件的發(fā)生高得多猜敢。
關(guān)于概率論和統(tǒng)計學(xué)的規(guī)律，還有很多和大家直覺不相符的地方盒延。比如我們前面所說的各種大量的隨機試驗缩擂，需要在相同條件下進(jìn)行，而且前后各次試驗是彼此不會相互影響的添寺。這兩件事在現(xiàn)實中胯盯，還真不容易滿足。
就拿擲骰子來說吧计露，看似擲N次不過是擲一次的多次重復(fù)博脑，但實際上擲的次數(shù)多了骰子會磨損，桌面也會砸出坑票罐，這些細(xì)微的差異累積下來就會產(chǎn)生不同的結(jié)果叉趣，我們原以為試幾次就能發(fā)生的事情，可能沒有發(fā)生该押，這就要我們事先考慮更多的余量疗杉。
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小? 結(jié)
我們從概率論上證明了，凡事做好充足的準(zhǔn)備蚕礼，爭取一次性成功烟具，這要遠(yuǎn)比不斷嘗試小概率事件靠譜得多。
同時涉及到隨機性的問題時奠蹬，只有通過大量可重復(fù)性的試驗朝聋，才能看到規(guī)律性，而數(shù)量較少的試驗囤躁，更多地體現(xiàn)出來的是隨意性和偶然性冀痕，而非規(guī)律性荔睹。
