秘訣·建淖傻蹋·哲思——例談思維力在專題研究中的提撕之一

北師大版四年級上冊36頁有一道數(shù)學(xué)游戲題沼死。這道數(shù)學(xué)游戲題是安排在學(xué)習(xí)了《神奇的計(jì)算工具》之后的練習(xí)題梗摇。其中第二問是問號題窄做，即拓展練習(xí)題。

拓展練習(xí)派桩，在“練一練”題目比例中占1/10。是基本練習(xí)蚌斩、變式練習(xí)铆惑、拓展練習(xí)三個層次當(dāng)中的最高層次。拓展練習(xí)編寫意圖是送膳，力求體現(xiàn)對于重要內(nèi)容的進(jìn)一步理解员魏，發(fā)展數(shù)學(xué)思考和解決問題的能力。拓展練習(xí)的完成叠聋，需要用到豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng)逆趋，更能促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步提高與發(fā)展。

為了有序晒奕、有效促進(jìn)孩子們思維力的發(fā)展闻书，體現(xiàn)生命數(shù)學(xué)的魅力，不妨將這一道數(shù)學(xué)游戲題進(jìn)行擴(kuò)充脑慧，設(shè)計(jì)成專題研究課魄眉，可以用來引領(lǐng)初中生孩子們進(jìn)行一場數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成的練兵之旅，在專題研究中提撕思維力闷袒，體驗(yàn)探求“秘訣”的樂趣坑律，感受數(shù)學(xué)建模思想帶來的快慰，穎悟數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的人生哲理囊骤。

一晃择、由簡到繁，邏輯推理步步為營

通過以下例題引發(fā)孩子有序思考也物，體驗(yàn)由簡到繁的過程宫屠，形成步步為營的推理習(xí)慣。

題一：用3滑蚯，4浪蹂，5這三個數(shù)字，任意組成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)告材，求出它們的積坤次，積大者獲勝。

孩子們用不了些許時間，很快能夠得出正確的答案，積是最大者的算式為：5×43=215肄方。

題二：用2，3滑绒，4闷堡，5這四個數(shù)字，任意組成兩個兩位數(shù)蹬挤，求出它們的積缚窿，積大者獲勝。

同學(xué)能夠把眼光集中在53×42或者是52×43這兩個算式上焰扳。因?yàn)楹⒆觽円呀?jīng)具備“用若干個數(shù)字寫出最大的數(shù)”既有體驗(yàn)倦零，會不自覺地運(yùn)用。通過計(jì)算可以得到吨悍，52×43=2236扫茅，是乘積最大的算式。

題三：用1育瓜，2葫隙，3，4躏仇，5這五個數(shù)字恋脚，任意組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)，求出它們的積焰手，積大者獲勝糟描。

孩子們有了前面兩題做鋪墊，對乘積最大的獲得书妻，有了思維上的準(zhǔn)備船响。在這一基礎(chǔ)上引領(lǐng)孩子們對比題三與題二的不同。從而讓孩子們感悟到躲履。其實(shí)題三就是在題二的基礎(chǔ)上把新增加的數(shù)字“1”见间，添加在52后面還是添加在43后面的問題了。于是得出如下算式：

521×43=22403工猜，

52×431=22412米诉。

從而輕而易舉獲得52×431=22412是乘積最大的算式。

從三道題的表面來看域慷，遵循的是從簡到繁的一個過程荒辕，然而由于邏輯推理的有序、漸進(jìn)犹褒、到位，步步為營弛针，讓孩子們充分經(jīng)歷了思維的推進(jìn)叠骑，在推理過程中獲得了感悟。讓孩子們在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上得到了較好的訓(xùn)練削茁。

二宙枷、從數(shù)及字掉房，數(shù)學(xué)抽象擲地有聲

數(shù)學(xué)語言是世界上最智慧的語言。用字母表示數(shù)慰丛，是學(xué)生在思維上一個質(zhì)的飛躍卓囚。字母表示數(shù)，具有強(qiáng)烈的符號意識诅病。符號意識是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的重要表現(xiàn)哪亿，可以表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含的更為普遍，更為一般的數(shù)學(xué)原理贤笆、數(shù)學(xué)本質(zhì)蝇棉、數(shù)學(xué)之美。

于是我們將前文提到的1芥永、2篡殷、3、4埋涧、5板辽，按照從大到小的順序5、4棘催、3劲弦、2、1巧鸭，依次用字母a瓶您、b、c纲仍、d呀袱、e來表示。用字母表示數(shù)郑叠，每個字母所代表的原數(shù)的大小已經(jīng)沒有了實(shí)質(zhì)性的意義夜赵，保留下來的，是他們彼此之間的大小關(guān)系乡革。即a>b>c>d>e寇僧。

這時我們可以利用字母表示這些數(shù)來二次研究上述的問題。

題一：已知9≥a>b>c≥1沸版，用a嘁傀，b，c這三個數(shù)字视粮，怎樣組成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)细办，使得乘積最大。

經(jīng)過操作蕾殴，不難發(fā)現(xiàn)只有兩種組合成為我們關(guān)注的重點(diǎn)笑撞。即a岛啸，c組成兩位數(shù)與b的乘積及b，c組成的兩位數(shù)與a的乘積茴肥。為了探尋這兩種組合坚踩，哪一種組合乘積最大？可以循序漸進(jìn)引入作差法比較數(shù)的大小瓤狐。

例如：因?yàn)?>3瞬铸，所以5-3>0，用字母表示為：如果a>b芬首，那么a-b>0赴捞。反之，如果a-b>0郁稍，那么a>b赦政。

a，c組成的兩位數(shù)可以表示為10a+c耀怜，同理b恢着，c組成的兩位數(shù)可以表示為10b+c。于是财破，我們可以引導(dǎo)學(xué)生列出以下算式并進(jìn)行計(jì)算：

(10b+c)×a－(10a+c)×b

=10ab+ac-10ab-bc

=ac-bc

=(a-b)c

>0

所以b掰派，c組成的兩位數(shù)與a的乘積(10b+c)×a是最大的。即bc×a最大(bc表示一個兩位數(shù))左痢。

題二：已知9≥a>b>c>d≥1靡羡，用a，b俊性，c略步，d這四個數(shù)字，怎樣組成兩個兩位數(shù)定页，使得乘積最大趟薄。

在前面題目的基礎(chǔ)上，可以聚焦的組合應(yīng)該有兩種典徊。列式為：(10a+c)×(10b+d)與(10a+d)×(10b+c)杭煎。可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算：

(10a+d)×(10b+c)-(10a+c)×(10b+d)

=100ab+10ac+10bd+cd-100ab-10ad-10bc-cd

=10a(c-d)+10b(d-c)

=10(c-d)(a-b)

>0

因此乘積最大的組合為：

(10a+d)×(10b+c)卒落，即：ad×bc (ad,bc均表示一個兩位數(shù))羡铲。

題三：已知9≥a>b>c>d>e>f≥1，用a儡毕，b犀勒，c，d妥曲，e贾费，f這六個數(shù)字，怎樣組成兩個三位數(shù)檐盟，使得乘積最大褂萧。

在題二的基礎(chǔ)上，可以聚焦的組合應(yīng)該有兩種葵萎。列式為：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)與(100a+10d+e)×(100b+10c+f)导犹。可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算：

(100a+10d+f)×(100b+10c+e)-(100a+10d+e)×(100b+10c+f)

=10000ab+1000ac+100ae+1000bd+100cd+10de+100bf+10cf+ef-10000ab-1000ac-100af-1000bd-100cd-10df-100be-10ce-ef

=100a(e-f)+10d(e-f)+100b(f-e)+10c(f-e)

=100(a-b)(e-f)+10(d-c)(e-f)

=10(e-f)[10(a-b)+(d-c)]

>0

因此乘積最大的組合為：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)羡忘，即：adf×bce(adf與bce均為一個三位數(shù))谎痢。

三、舉一反三卷雕，建模思想登峰造極

為了表達(dá)方便节猿，回過頭來我們用6、5漫雕、4滨嘱、3、2浸间、1代表a太雨、b、c魁蒜、d囊扳、e、f兜看。

用三個數(shù)字組成一個一位數(shù)和一個兩位數(shù)锥咸，使得乘積最大的時候我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果是：6×54；

用四個數(shù)字組成兩個兩位數(shù)铣减，使得乘積最大時她君，結(jié)果是：63×54；

用五個數(shù)字組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)葫哗，使得乘積最大時缔刹，結(jié)果是：63×542；

用六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)劣针，使得乘積最大時校镐，結(jié)果是：631×542。

通過以上例子可以引導(dǎo)孩子們仔細(xì)觀察與積極思考捺典，找出其中的規(guī)律：

1.將數(shù)字從到大小依次使用鸟廓；

2.每新增一個數(shù)字，需要判斷原有的兩個數(shù)誰大誰小。把新增的數(shù)字添在原數(shù)中較小的數(shù)的末尾引谜，組成一個多一位的數(shù)牍陌。

其實(shí)這就是解決這一問題的一個極簡模型。從大到小依次添加员咽，每次將新添加的數(shù)添在較小數(shù)的末尾即可解決問題毒涧。

其中也蘊(yùn)含了深刻的人生哲學(xué)。要獲得乘積最大也就是要獲得最優(yōu)解贝室，添加數(shù)字做選擇時需要舍大取小契讲。“隨小”是為了最終的取“最大”滑频。猶如每次暫時后退是為了便于助力沖刺越過前面的鴻溝捡偏。

那么如何來驗(yàn)證這一模型的正確性呢？我們用A峡迷、B代表原先的兩個數(shù)银伟，并且A大于B。現(xiàn)在增加一個數(shù)n凉当。把n添在A的末尾還是B的末尾枣申，能使它們的乘積更大呢？

依據(jù)前文得出的模型看杭，應(yīng)該是添在B的末尾乘積會更大忠藤。于是根據(jù)作差法列式推理如下：

(10B+n)×A-(10A+n)×B

=10AB+An-10AB-Bn

=(A-B)×n

>0

通過用字母代表具體的數(shù)進(jìn)行推理認(rèn)證，這樣結(jié)論更具有一般性與普適性楼雹。同時也說明模孩，我們通過具體分析，逐漸得出的解決問題的模型是正確的贮缅，具有推廣的價(jià)值與意義榨咐。

如果學(xué)生感興趣的話，我們這個模型還可以進(jìn)一步推廣谴供。我們前面所討論的前提是十進(jìn)制的數(shù)块茁。還可以把十進(jìn)推廣為十六進(jìn)制甚至n進(jìn)制。如果是十六進(jìn)制的話桂肌，我們就需要16個字符数焊，表示從0到15。例如我們可以采用這些字符崎场，0123456789ABCDEF佩耳，其中A代表10，F(xiàn)代表15谭跨。當(dāng)然組成的數(shù)的數(shù)位也不再叫個位干厚，十位和百位了李滴。而應(yīng)該是16o位，161位蛮瞄，162位所坯，163位，以此類推裕坊。同理包竹，如果是n進(jìn)制的話，那我們就需要n個字符籍凝，表示從0到n-1。數(shù)位從右起苗缩，分別是no位饵蒂，n1位，n2位酱讶，n3位……

究中點(diǎn)四邊形? 悟凸凹四邊形的統(tǒng)一性——例談思維力在專題研究中的提撕之二

學(xué)生們都知道退盯，四邊形是由四條線段首尾依次連接而圍成的封閉圖形。在四邊形四條邊上各取中點(diǎn)泻肯，將四個中點(diǎn)依次連接渊迁，圍成的新的四邊形，我們可以稱之為中點(diǎn)四邊形灶挟。

探究四邊形的中點(diǎn)四邊形琉朽，一般從正方形開始的。學(xué)生通過操作可以發(fā)現(xiàn)正方形的中點(diǎn)四邊形仍然是正方形稚铣。只是方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)箱叁，并且面積是原來正方形面積的一半。

接著便可探究長方形的中點(diǎn)四邊形惕医。通過操作可以發(fā)現(xiàn)長方形的中點(diǎn)四邊形是菱形耕漱。菱形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形又是長方形。每次中點(diǎn)四邊形是上級四邊形面積的一半抬伺。

平行四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是是一個新的平行四邊形螟够。并且面積也是原平行四邊形面積的一半。新平行四邊形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形仍然是平行四邊形峡钓，面積是上級平行四邊形的1/2妓笙，是最上階平行四邊形面積的1/4。方向與最上階平行四邊形一致椒楣。

等腰梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是菱形给郊。普通梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

至此捧灰，我們可以發(fā)現(xiàn)淆九，無論是正方形统锤、長方形、菱形炭庙、平行四邊形饲窿、梯形中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。當(dāng)然學(xué)生也知道正方形焕蹄、長方形和菱形都是特殊的平行四邊形逾雄。正因?yàn)檎叫巍㈤L方形腻脏、菱形是特殊的平行四邊形鸦泳，于是更有益于學(xué)生觀察、想象永品，更能夠體會從特殊到一般的邏輯推理思維與思考辨析途徑做鹰。

在學(xué)生確認(rèn)平行四邊形和梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)問鼎姐，提出問題：普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是一個什么樣的圖形呢钾麸？通過動手操作、探究炕桨，進(jìn)一步體驗(yàn)探尋新的發(fā)現(xiàn)饭尝。

通過作圖實(shí)踐、認(rèn)真觀察献宫，可以發(fā)現(xiàn)任意四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形钥平。那么如何讓學(xué)生理解中點(diǎn)四邊形一定就是平行四邊形呢。

在此處引入三角形中位線的理解遵蚜。在三角形的兩條邊上各取中點(diǎn)帖池，相連得到的一條線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線具有什么性質(zhì)呢吭净？我們可以通過利用添加了一條中位線的兩個完全一樣的三角形睡汹，其中一個倒置組合成一個平行四邊形。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)寂殉，兩個拼接在一起的三角形的兩條中位線剛好在同一條直線上囚巴。并且與上下底邊互相平行且相等。于是我們從感觀上就可以獲得認(rèn)識友扰，三角形的中位線平行于底邊并且等于底邊的一半彤叉。

在確認(rèn)三角形的中位線平行并等于底邊的一半之后〈骞郑回到普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形圖形當(dāng)中秽浇，此時我們添加一條原四邊形的對角線。然后隱去下半部分甚负，觀察上半部分我們可以發(fā)現(xiàn)：上半部分三角形當(dāng)中兩邊中點(diǎn)的連線柬焕，其實(shí)就是三角形的中位線审残。所以這條中位線，它會與剛剛添加的原四邊形的對角線平行斑举，并且等于這條對角線的一半搅轿。同理，隱去上半部分只觀察下半部分剩下的三角形富玷。同樣可以發(fā)現(xiàn)下面也是一個三角形璧坟。三角形的中位線也會等于對角線的一半，并且與之平行赎懦。這樣一來雀鹃，把上下放在一起就可以輕而易舉地發(fā)現(xiàn)，上面一條中位線和下面一條中位線铲敛，它們是互相平行的褐澎，并且也是相等的。而這兩條中位線就是原四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的上下兩條邊伐蒋。同理可得，內(nèi)接中點(diǎn)四邊形左右兩條邊也是互相平行并且相等的迁酸。這樣我們就可以確認(rèn)中點(diǎn)四邊形是一個平行四邊形了先鱼。

平行四邊形、梯形奸鬓、任意四邊形焙畔，它們的內(nèi)接四邊形都是平行四邊形。從這個角度來說串远，平行四邊形就是四邊形的一種歸屬宏多。這時我們可以引導(dǎo)孩子進(jìn)一步向下走。像這種平行四邊形澡罚、梯形伸但、任意四邊形，我們稱之為凸四邊形留搔。

凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180° 的四邊形更胖，把四邊形的任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁隔显，這樣的四邊形叫做凸四邊形却妨。

凸四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，那么與之對應(yīng)的凹四邊形會怎么樣呢括眠？

于是出示凹四邊形彪标，并讓學(xué)生進(jìn)行操作，找出四條邊的中點(diǎn)掷豺，把四個中點(diǎn)連接得到新的四邊形捞烟。同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)在這個新的四邊形當(dāng)中薄声，其中有一條邊在原四邊形的外側(cè)。新的四邊形看上去似乎也是平行四邊形坷襟。那么到底是不是平行四邊形呢奸柬？答案是肯定的，那么如何引導(dǎo)孩子來進(jìn)行思考與邏輯證明呢婴程。

我們可以觀察發(fā)現(xiàn)凹四邊形廓奕，其中有兩條邊是凹進(jìn)去的。正是因?yàn)槿绱说凳澹灾悬c(diǎn)四邊形有一條線露在原四邊形的外側(cè)桌粉。這時我們引導(dǎo)孩子將向里凹的兩條線段的兩側(cè)端點(diǎn)進(jìn)行連接。便可以發(fā)現(xiàn)有兩個三角形是內(nèi)外嵌套的衙四。在這兩個內(nèi)外嵌套的三角形當(dāng)中铃肯，他們擁有一條共同的底邊即剛剛連接所得到的線段。而這兩個三角形的中位線传蹈，就是我們內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的一組對邊押逼。在前面的三角形中位線知識的基礎(chǔ)上〉虢纾可以明白這一組對邊是平行也是相等的挑格。

另外，我們將原四邊形的另外兩個頂點(diǎn)連接沾歪，得到另一條對角線的話漂彤，同樣也可以得出另外一組對邊也是平行且相等的。

至此灾搏，凸四邊形與凹四邊形任何一個四邊形挫望，它們的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。

那么一個任意四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的多少呢狂窑？

平行四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半媳板。證明很簡單，只需要將四個中點(diǎn)對點(diǎn)連接蕾域，就可以得到八塊小三角形拷肌，在八塊小三角形當(dāng)中，兩兩全等旨巷。即可證得中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半巨缘。

對于普通四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半，如何進(jìn)行證明呢采呐？

可以通過連接一組對點(diǎn)作出原四邊形的一條對角線若锁。這樣，原四邊形變被為分為兩個三角形斧吐，同時中點(diǎn)四邊形也被分成了兩個平行四邊形又固。此時可以探究仲器，其中一個三角形，與其內(nèi)部平行四邊形的面積關(guān)系仰冠。通過觀察推理可以發(fā)現(xiàn)乏冀。平行四邊形的底就是三角形的中位線，是三角形的底的一半洋只，平行四邊形的高是三角形的高的一半辆沦。通過平行四邊形與三角形面積公式可得，平行四邊形是三角形面積的一半识虚。同理可得肢扯，另一側(cè)也是如此。最后可以得到中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半担锤。

對于凹四邊形原理也是一樣蔚晨。內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積仍然是原四邊形面積的一半。方法依然是作對角線肛循，通過中位線的性質(zhì)可證三角形與內(nèi)置平行四邊形的面積關(guān)系铭腕。最后可得中點(diǎn)四邊形是原四邊形面積的一半。

最值得耐人尋味的是任意凸凹四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形多糠，并且是面積是原四邊形的一半谨履。也許平行四邊形是美麗的四邊形吧，為何具有如此強(qiáng)悍的統(tǒng)一性與歸屬感熬丧？

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)世界里怀挠，表面看似紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象析蝴，往往具有內(nèi)在的統(tǒng)一性與歸屬性。這需要學(xué)生具有強(qiáng)烈的探求精神绿淋，熱切的探求興趣闷畸，正確的探求方法，嚴(yán)密的探求思維吞滞，震撼的生命體驗(yàn)佑菩，數(shù)學(xué)將會成為一科最為怡情的學(xué)問。

從面積到數(shù)列? 探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)——例談思維力在專題研究中的提撕之三

幾何圖形面積計(jì)算裁赠，貫穿小學(xué)學(xué)習(xí)階段殿漠。幾何知識內(nèi)容學(xué)習(xí)有助于學(xué)生空間想象能力發(fā)展，有利于學(xué)生直觀想象能力培養(yǎng)佩捞，更是由特殊到一般邏輯思維能力培養(yǎng)的重要載體绞幌。

幾何圖形面積學(xué)習(xí)是從正方形面積開始的。起初是認(rèn)識面積單位一忱，當(dāng)一個正方形邊長是一米的時候我們就說這個正方形的面積是1㎡莲蜘。同理谭确，認(rèn)識一平方分米，一平方厘米票渠。

然后通過度量的方式學(xué)習(xí)正方形與長方形的面積公式逐哈，即一排有幾個單位平方的小正方形，一共有幾排问顷。通過相同的幾個加數(shù)的和昂秃，可以用乘法計(jì)算的理解，得出用乘法計(jì)算的公式择诈。

在學(xué)生充分理解正方形與長方形面積計(jì)算的理解上械蹋。教材才引入了平行四邊形面積的計(jì)算。平行四邊形面積的理解是通過切割的方法羞芍，轉(zhuǎn)化為長方形哗戈。再利用長方形的面積計(jì)算公式長乘寬計(jì)算出面積。在進(jìn)行平行四邊形圖形切割轉(zhuǎn)化的過程當(dāng)中荷科，學(xué)生充分體驗(yàn)到唯咬，平行四邊形的原有大小面積沒有發(fā)生改變。改變的僅僅是它的外形形狀畏浆。而改變成長方形之后胆胰，長方形的寬就是原來平行四邊形中的一條高。也可以引領(lǐng)孩子們形象地理解為進(jìn)行切割過程當(dāng)中的切口的長度刻获。這是整個轉(zhuǎn)化過程當(dāng)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)蜀涨。

當(dāng)學(xué)生理解了轉(zhuǎn)化的本質(zhì)，以及平行四邊形的高與長方形的寬之間的本質(zhì)聯(lián)系蝎毡。平行四邊形的面積計(jì)算厚柳，學(xué)生就會迎刃而解，水到渠成沐兵。

有了平行四邊形面積計(jì)算的功底别垮，三角形面積計(jì)算就容易多了。無非就是一分為二罷了扎谎。這里不做討論碳想。

當(dāng)學(xué)生對平行四邊形面積計(jì)算，有了深刻領(lǐng)悟之后毁靶。梯形面積計(jì)算便擺著了學(xué)生面前胧奔。

事實(shí)上，在學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前老充。教材充分加強(qiáng)了學(xué)生對平行四邊形表象的認(rèn)識葡盗。例如把一個平行四邊形用剪刀剪一次，變成兩個三角形，或者一個梯形和一個三角形觅够，或者兩個平行四邊形胶背，或者兩個梯形等。

在學(xué)習(xí)梯形面積計(jì)算公式之前喘先∏鳎可以把此部分內(nèi)容作為導(dǎo)入部分。尤其將一個平行四邊形分成兩個完全一樣的梯形的認(rèn)識與領(lǐng)悟窘拯。同時可以把平行四邊形分成兩個完全一樣的三角形红且，作為思維引導(dǎo)的一個部分。通過引導(dǎo)提示讓孩子發(fā)現(xiàn)涤姊∠痉可以把一個平行四邊形分成兩個完全一樣的三角形。從而得出三角形面積計(jì)算公式思喊。那么是不是可以把兩個完全一樣的梯形組成一個圖形壁酬，并且是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的面積計(jì)算公式的已知圖形。

通過提示恨课，引導(dǎo)舆乔，讓學(xué)生動手操作。學(xué)生應(yīng)該慢慢可以感悟到剂公，兩個完全一樣的梯形希俩，通過倒放其中一個可以組成一個平行四邊形。于是纲辽，從而得出梯形的面積其實(shí)就是一個平行四邊形的面積的一半颜武。只不過這個平行四邊形的底已經(jīng)變成上底與下底之和了。我們就可以得出梯形面積計(jì)算公式拖吼，S=(上底+下底)×高÷2盒刚。

在梯形面積計(jì)算公式的理解上。此時把梯形換成實(shí)物圖形绿贞。例如一堆木材，最底層9根橘原，第二層7根籍铁，第三層5根，第四層3根趾断。此時拒名，需要求木材的根數(shù)一共有多少根，可以怎樣求呢芋酌？從圖的表象來看增显，可以列式為3+5+7+9。

當(dāng)我們引導(dǎo)孩子回到梯形面積計(jì)算的角度上來脐帝。學(xué)生可以發(fā)揮想象同云，借用一組同樣的木材堆糖权，則可以組成梯形。于是可以得到木材根數(shù)的計(jì)算公式：S=(3+9)×4÷2炸站。

接著將這個木材根數(shù)的計(jì)算公式與梯形面積計(jì)算公式進(jìn)行比對星澳，可以發(fā)現(xiàn)：最底層木材的根數(shù)相當(dāng)于下底，最上層的木頭根數(shù)相當(dāng)于上底旱易，而木材的層數(shù)相當(dāng)于梯形的高禁偎。換言之就是梯形的面積計(jì)算公式與梯形堆積的木材根數(shù)的計(jì)算公式是一致的。

當(dāng)然阀坏，我們學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)用梯形面積計(jì)算公式來計(jì)算如暖，沒有直接用加法來算簡單。這時老師可以引導(dǎo)的學(xué)生意識到當(dāng)木材堆的層數(shù)比較多的時候忌堂，利用公式來算就顯得簡便多了盒至。

當(dāng)學(xué)生理解公式的價(jià)值之后，我們可以再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象浸船，拋開圖形與實(shí)物基礎(chǔ)妄迁。直接出示：1+3+5+7+9+……+99

當(dāng)然，學(xué)生可以借助梯形圖形模型進(jìn)行想像李命。逐漸得出計(jì)算公式：S=(1+99)×50÷2登淘。在這里，公式當(dāng)中50的理解最為重要封字，也是難點(diǎn)黔州。在梯形當(dāng)中，它是梯形的高阔籽。在木材堆中它是木材的層數(shù)流妻。而此刻它就應(yīng)該是加數(shù)的個數(shù)，即數(shù)的項(xiàng)數(shù)笆制。

最后可以讓學(xué)生理解像1绅这，3，5在辆，7……99证薇，每相鄰兩項(xiàng)的差都是相等的一列數(shù)，叫做等差數(shù)列匆篓。而要求所有的數(shù)的和浑度，就是求等差數(shù)列的和。即：S=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2鸦概。

玩智取“王位” 探極簡模型——例談思維力在專題研究中的提撕之四

智取王位是一項(xiàng)益智器具游戲箩张。在一排木槽內(nèi)有十一顆旗子，最后一顆為紅色。游戲規(guī)則是：兩人輪流拿先慷，每次拿1～2顆饮笛。誰能取得最后一顆紅旗子“王位”，即獲勝熟掂。

乍一看似乎與運(yùn)氣有關(guān)缎浇，事實(shí)上，內(nèi)含玄機(jī)赴肚，有規(guī)律可循素跺。不妨引導(dǎo)學(xué)生由少到多，循序漸進(jìn)誉券，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律指厌。

首先引導(dǎo)學(xué)生明白在本游戲當(dāng)中游戲規(guī)則是：1.兩人輪流拿；2.每次取1～2顆踊跟；3.取到最后一顆獲勝踩验。

其次引領(lǐng)學(xué)生深入游戲，探究內(nèi)情商玫。

不難發(fā)現(xiàn)箕憾，當(dāng)棋子為一顆或者是兩顆的時候，先拿者拳昌，必定獲勝袭异。當(dāng)棋子為三顆的時候后拿者必勝。其中策略有二：一炬藤、當(dāng)先拿者取一顆的時候御铃，后拿者取兩顆獲勝，即1+2型沈矿；二上真、當(dāng)先拿者取兩顆的時候，后拿者取一顆獲勝羹膳，即2+1型睡互。

這時讓學(xué)生反復(fù)動手操作并體驗(yàn)：一或兩顆，先者必勝陵像；三顆湃缎，后者必勝。

隨后蠢壹，由少到多，追加旗子九巡。當(dāng)有四顆旗子的時候图贸，先拿者還是后拿者獲勝？讓學(xué)生實(shí)踐操作，在操作中體驗(yàn)并得出結(jié)論：先拿者取一顆后疏日，剩下三顆偿洁，此時后拿者即本賽次中的先拿者，必勝沟优。同理涕滋，當(dāng)有五顆棋子的時候磷支，可以得出結(jié)論：先拿者取兩顆后罪裹，剩下三顆，此時后拿者即本賽次中的先拿者贷腕，必勝侵俗。這兩次策略的區(qū)別就是先拿者取一顆或者是兩顆锨用。目的是一致的，都是剩下三顆隘谣。

緊接著試驗(yàn)增拥，當(dāng)有六顆棋子時的情形。讓學(xué)生反復(fù)通過操作實(shí)驗(yàn)感悟到寻歧，后拿者必勝掌栅。策略同樣有二：一、當(dāng)先拿者取一顆的時候码泛，后拿者取兩顆猾封，剩下三顆，重復(fù)三顆時的策略弟晚，必勝忘衍；二、當(dāng)先拿者取兩顆的時候卿城，后拿者取一顆枚钓，剩下三顆，重復(fù)三顆時的策略瑟押，必勝搀捷。

依次類推，讓學(xué)生推測當(dāng)有七多望、八嫩舟、九顆棋子時先拿者還是后拿者必勝，然后進(jìn)行驗(yàn)證與感悟怀偷。

最后讓學(xué)生體驗(yàn)到一家厌、二、三顆椎工，四饭于、五蜀踏、六顆，七掰吕、八果覆、九顆旗子時情形是一致的，只不過是情形再現(xiàn)或重復(fù)殖熟。

事實(shí)上本游戲的核心就是三顆旗子時的取子策略問題局待。即本游戲有一個本質(zhì)的極簡模型——被3整除問題。當(dāng)除數(shù)為3時菱属，所有的非零自然數(shù)被分為余1數(shù)钳榨、余2數(shù)、整除數(shù)照皆。要想獲勝需設(shè)法必取余1數(shù)重绷，絕不取整除數(shù)，余2數(shù)為調(diào)劑數(shù)膜毁。

如此一來昭卓，無論是11顆棋子還是另行增設(shè)棋子，當(dāng)一方不知“內(nèi)情”瘟滨，知“內(nèi)情”的一方定會伺機(jī)取勝候醒。

游戲規(guī)則是人定的，一旦改變了游戲規(guī)則杂瘸，游戲策略則需要重新探索倒淫。假如規(guī)定每次可以取一顆、兩顆或三顆败玉，怎樣才能必勝呢敌土？

此時可以引導(dǎo)學(xué)生采取同樣的探究方法與策略進(jìn)行探索。

當(dāng)旗子數(shù)為1-3顆時运翼，先拿者必勝返干，當(dāng)四顆棋子時，后拿者必勝血淌，策略有：1+3型矩欠，2+2型，3+1型悠夯。當(dāng)五顆棋子時癌淮，先拿者必勝，策略有：1+1+3型沦补，1+2+2型乳蓄，1+3+1型。事實(shí)上就是先拿者先取一顆后夕膀，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w旗子時后拿者（即本賽次先拿者）必勝虚倒。

同理匣摘，當(dāng)六顆棋子時，先拿者必勝裹刮，策略有：2+1+3型，2+2+2型庞瘸，2+3+1型捧弃。事實(shí)上就是先拿者先取兩顆后，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w旗子時后拿者（即本賽次先拿者）必勝擦囊。

當(dāng)七顆棋子時违霞，先拿者必勝，策略有：3+1+3型瞬场，3+2+2型买鸽，3+3+1型。事實(shí)上就是先拿者先取三顆后贯被，轉(zhuǎn)變?yōu)樗念w旗子時后拿者（即本賽次先拿者）必勝眼五。

當(dāng)八顆棋子時，后拿者必勝彤灶，策略是按照四顆棋子時策略運(yùn)用兩次看幼。

同前面游戲類似，本次游戲的核心就是四顆旗子時的取子策略問題幌陕。即本游戲有一個本質(zhì)的極簡模型——被4整除問題诵姜。當(dāng)除數(shù)為4時，所有的非零自然數(shù)被分為余1數(shù)搏熄、余2數(shù)棚唆、余3數(shù)、整除數(shù)心例。要想獲勝需設(shè)法必取余1數(shù)宵凌，絕不取整除數(shù)，余2數(shù)與余3數(shù)為調(diào)劑數(shù)契邀。

當(dāng)學(xué)生徹底感悟與體認(rèn)后摆寄，游戲規(guī)則還可以進(jìn)一步更改。通過實(shí)驗(yàn)坯门，分析與推理可以得出更廣泛更一般的模型微饥。

游戲規(guī)則是：兩人輪流拿，每次拿1~n顆古戴。誰能取得最后一顆紅旗子“王位”欠橘，即獲勝。

必勝策略：本游戲的極簡模型——被n+1整除問題现恼。當(dāng)除數(shù)為n+1時肃续，所有的非零自然數(shù)被分為余1數(shù)黍檩、余2數(shù)、余3數(shù)……余n數(shù)始锚、整除數(shù)刽酱。要想獲勝需設(shè)法必取余1數(shù)，絕不取整除數(shù)瞧捌，余2數(shù)棵里、余3數(shù)……余n數(shù)為調(diào)劑數(shù)。