1、泊松分布

泊松分布適合于描述單位時間（或空間）內隨機事件發(fā)生的次數雇盖。如某一服務設施在一定時間內到達的人數忿等，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的候客人數崔挖，機器出現(xiàn)的故障數贸街，自然災害發(fā)生的次數，一塊產品上的缺陷數狸相，顯微鏡下單位分區(qū)內的細菌分布數等等薛匪。

期望

2、二項分布

二項分布就是重復n次獨立的伯努利試驗脓鹃。在每次試驗中只有兩種可能的結果逸尖，而且兩種結果發(fā)生與否互相對立，并且相互獨立，與其它各次試驗結果無關娇跟，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變岩齿，則這一系列試驗總稱為n重伯努利實驗，當試驗次數為1時苞俘，二項分布服從0-1分布宗收。

期望

from scipy.special import perm
from scipy.special import comb

plt.figure(figsize=(16,8),dpi=98)
p1 = plt.subplot(121)
p2 = plt.subplot(122)
#p1 = plt.subplot(121,aspect=5/2.5)
#p2 = plt.subplot(122,aspect=0.5/0.05)

I = range(30)
mu = 10
pi = [np.exp(-mu)*mu**i/np.math.factorial(i) for i in I]
p1.plot(I, pi, 'r')

def plotnp(pindex,n, mu, style, lable):
    p = 1.0*mu/n
    b = [comb(n,i)*p**i*(1-p)**(n-i) for i in I]
    pindex.plot(I, b, style, label=lable,linewidth=2)

plotnp(p1,50, 10, 'b--', 'n=50')
plotnp(p1,100, 10, 'g-.', 'n=100')
plotnp(p1,200, 10, 'b-.', 'n=200')
plotnp(p1,1000, 10, 'g:', 'n=1000')
p1.legend()
# plot the box
tx0 = 7
tx1 = 13
ty0 = 0.1
ty1 = 0.15
sx = [tx0,tx1,tx1,tx0,tx0]
sy = [ty0,ty0,ty1,ty1,ty0]
p1.plot(sx,sy,"purple")

I = range(7,13)
pi = [np.exp(-mu)*mu**i/np.math.factorial(i) for i in I]
p2.plot(I, pi, 'r')

plotnp(p2,50, 10, 'b--', 'n=50')
plotnp(p2,100, 10, 'g-.', 'n=100')
plotnp(p2,200, 10, 'b-.', 'n=200')
plotnp(p2,1000, 10, 'g:', 'n=1000')
p2.legend()

xy=(13,0.12)
xy2 = (6.9,0.125)
con = ConnectionPatch(xyA=xy2,xyB=xy,coordsA="data",coordsB="data",
        axesA=p2,axesB=p1)
p2.add_artist(con)

plt.show()

上圖中泊松分布λ=10升敲，二項分布固定np=λ=10，一般在λ概率取的最值，當n趨向∞時煞躬，圖中n=1000已經非常逼近泊松分布（紅色線）线婚。

3洋措、正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution）剑按，也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）澜驮，最早由A.棣莫弗在求二項分布
的漸近公式中得到陷揪。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質杂穷。是一個在數學悍缠、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學的許多方面有著重大的影響力耐量。

密度函數

若隨機變量X服從一個數學期望為μ飞蚓、方差為σ^{2的正態(tài)分布，記為N(μ廊蜒，σ}2)趴拧。其概率密度函數為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度山叮。當μ = 0,σ = 1時的正態(tài)分布是標準正態(tài)分布著榴。

import numpy as np

def fun(x, mu=0, sigma=1):
    return 1.0/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma)*np.exp(-(x-mu)**2/(2*(sigma**2)))

mu = 50
x = np.linspace(0,2*mu,2*mu)

plt.plot(x, fun(x,mu, np.sqrt(mu)))

I = range(2*mu)
pi = [np.exp(-mu)*mu**i/np.math.factorial(i) for i in I]
plt.plot(I, pi, 'r')
plt.show()

泊松分布均值與方差都是λ圖中&lambda=50,非常逼近正態(tài)分布均值μ=50,方差=50，泊松分布的極限分布是正態(tài)分布屁倔，這樣可以用正態(tài)分布近似泊松分布脑又。

4、多項分布（二項分布推廣）

某隨機實驗如果有k個可能結局A1锐借、A2问麸、…、Ak瞎饲，分別將他們的出現(xiàn)次數記為隨機變量X1口叙、X2、…嗅战、Xk，它們的[概率分布]分別是p1，p2驮捍，…疟呐，pk，那么在n次采樣的總結果中东且，A1出現(xiàn)n1次启具、A2出現(xiàn)n2次、…珊泳、Ak出現(xiàn)nk次的這種事件的出現(xiàn)概率P有下面公式：

比如擲骰子會有6中結果鲁冯，每種結果概率都是1/6，假如我擲6次色查，各數字都出現(xiàn)一次的概率是多少
p(X₁=1,X₂=1...X₆=1)=6!*1/6 * 1/6... * 1/6

5薯演、二維正態(tài)分布