TsingHuaDSA-圖

該文章為清華大學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法設(shè)計(jì)MOOC課程讀書筆記.

1. 一些基本術(shù)語(yǔ)

1.1 鄰接與關(guān)聯(lián)

鄰接(adjacency)：通過(guò)邊相連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系
關(guān)聯(lián)(incidence)：節(jié)點(diǎn)與其所屬的邊之間的關(guān)系

1.2 有向與無(wú)向圖

邊是否有方向

1.3 路徑(path)環(huán)路(cycle)

  • 有向無(wú)環(huán)圖(Directed Acyclic Graph)
  • 歐拉路徑(Eulerian Path)：一筆畫問(wèn)題遵堵，能夠經(jīng)過(guò)所有邊一次且僅一次的環(huán)路椎咧。
  • 漢密爾頓環(huán)路(Hamiltonian Tour)：能夠經(jīng)過(guò)所有節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的環(huán)路豪治。

2. 計(jì)算機(jī)中圖的表示：鄰接矩陣(adjacency matrix)

adjacency matrix

在無(wú)向圖中营曼，存在冗余景图，因?yàn)槊織l邊被表示了兩次

優(yōu)點(diǎn)
缺點(diǎn)

3. BFS

3.1 對(duì)于圖的遍歷

通過(guò)某種策略對(duì)圖進(jìn)行遍歷宽气，可以將圖轉(zhuǎn)化為樹(shù)結(jié)構(gòu)改化，因此完成完全非線性結(jié)構(gòu)對(duì)半線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)化了帶求解的問(wèn)題哮伟。

完全非線性->半線性->線性

3.2 策略

BFS策略

圖的BFS實(shí)際上就是樹(shù)的level-order遍歷的推廣干花，樹(shù)的level-order遍歷就是圖的BFS的特例。

3.3 實(shí)現(xiàn)

利用Queue楞黄，節(jié)點(diǎn)出隊(duì)列后進(jìn)行訪問(wèn)池凄，并且搜索鄰接點(diǎn)。

BFS實(shí)現(xiàn)1

搜索到的鄰接點(diǎn)可能是之前搜索過(guò)的或者訪問(wèn)過(guò)的鬼廓，不需要再次訪問(wèn)肿仑。

BFS實(shí)現(xiàn)2

如果圖中包含多個(gè)連通域(connected component)，需要遍歷所有點(diǎn)碎税，查看狀態(tài)柏副，對(duì)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)過(guò)的節(jié)點(diǎn)啟動(dòng)一次BFS

BFS實(shí)現(xiàn)-多連通域

3.4 復(fù)雜度

O(n + e) , 因?yàn)樾枰L問(wèn)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，每條邊1次

3.5 BFS特性：最短路徑

不用解釋了吧

4. DFS

類似于樹(shù)遍歷中的pre-order遍歷

4.1 實(shí)現(xiàn)

從起點(diǎn)開(kāi)始蚣录，對(duì)所有鄰接點(diǎn)深度優(yōu)先遍歷

DFS實(shí)現(xiàn)1

未發(fā)現(xiàn)的鄰接節(jié)點(diǎn)才進(jìn)行訪問(wèn)；已發(fā)現(xiàn)的鄰接節(jié)點(diǎn)進(jìn)行回溯眷篇；對(duì)于已訪問(wèn)的鄰接節(jié)點(diǎn)萎河，有直接親子關(guān)系的為forward邊，否則為cross邊。

DFS實(shí)現(xiàn)2

4.2 性質(zhì)

DFS遍歷生成BFS樹(shù)(森林)虐杯，可包含全圖信息

DFS森林

DFS中對(duì)各節(jié)點(diǎn)生成的時(shí)間標(biāo)簽玛歌，可以在O(1)時(shí)間內(nèi)提供很有用的信息，比如說(shuō)是否存在直系親子關(guān)系擎椰。

Parenthesis Lemma

5. 圖遍歷算法的應(yīng)用

圖遍歷算法的應(yīng)用

5.1 拓?fù)渑判?/h4>

(1) 定義

拓?fù)渑判虻慕Y(jié)構(gòu)是一個(gè)序列支子，該序列中的點(diǎn)不會(huì)通過(guò)圖中的邊指回序列中的前驅(qū)點(diǎn)。

拓?fù)渑判?/div>
(2) 零入度算法

順序算法：逐層(利用stack达舒，queue都行)遍歷入度為0的節(jié)點(diǎn)值朋，將遍歷的節(jié)點(diǎn)放入queue中，遍歷節(jié)點(diǎn)的序列則為拓?fù)湫蛄小?/p>

基于"BFS"

逆序算法：利用DFS得到DFS樹(shù)巩搏，通過(guò)節(jié)點(diǎn)被visited的順序昨登，將其壓到棧中，最后出棧節(jié)點(diǎn)的順序即為拓?fù)湫蛄小?/p>

原因：DFS中visited的節(jié)點(diǎn)順序必然是DFS樹(shù)由下而上的贯底，這在拓?fù)湟笾袑儆谝蕾囮P(guān)系靠后的節(jié)點(diǎn)丰辣，因此也是在序列中靠后的節(jié)點(diǎn)。

基于DFS
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