[數(shù)列極限]
性質(zhì)：唯一性 有界性 保號(hào)性
考法
直接計(jì)算法
基礎(chǔ)知識(shí)：等差數(shù)列求和访得，等比數(shù)列求和
重要公式：
解題方法
- 作差法（解題經(jīng)驗(yàn)）
- 用對(duì)數(shù)求解忘伞，利用lnAB = lnA+lnB等性質(zhì)
- 用倒數(shù)求解温学，一般題目中會(huì)有提示
單調(diào)有界準(zhǔn)則
題目中含有相鄰兩項(xiàng)的遞推式蝙场，證明數(shù)列的極限存在并求之
先證明函數(shù)單調(diào)巷送，再證明函數(shù)有界（單增函數(shù)有上界衩匣，單減函數(shù)有下界）
解題方法
若題目中出現(xiàn)了不等式未檩，則為題目提示用不等關(guān)系求解
重要不等式：
- 作差
必要時(shí)可利用數(shù)學(xué)歸納法
對(duì)于數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的表達(dá)式卫枝，當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)，可在兩邊取極限得到極限值 - 作商
有階層的式子考慮作商解題
定義法
構(gòu)造|xn-a|
若題目中告知了某一數(shù)列的極限值讹挎，則采用定義法
解題方法
放縮法
可先算出極限值校赤，再用定義法通過(guò)放縮證明這個(gè)值就是極限值吆玖。拉格朗日中值法
在題目中見(jiàn)到原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，想到拉格朗日中值法
夾逼準(zhǔn)則
解題方法
- 求 n（n為無(wú)窮大）個(gè)式子的和
極限值介于n倍最小項(xiàng)與n倍最大項(xiàng)之間 - 求 n（n為有限數(shù)）個(gè)式子的和
極限值介于一倍最大值與n倍最大值之間
定積分定義
對(duì)于n個(gè)式子的求和極限马篮，如果能寫(xiě)出每一項(xiàng)的通式沾乘，則用定積分的定義
要點(diǎn)：湊出i/n與1/n
解題方法
- 基本型：直接湊出i/n
n+i(an+bi)
n^2 + i^2
n^2 +ni
i/n - 湊不出i/n時(shí)，先放縮浑测，放縮后翅阵，有兩種解決方法
- 直接用夾逼準(zhǔn)則
- 放縮后再湊i/n
- 變量型
題目中給出的求和式中出現(xiàn)了變量x，可能指定了變量的范圍迁央。這時(shí)把x當(dāng)作常數(shù)處理掷匠。
[函數(shù)極限]
數(shù)形結(jié)合百般好
函數(shù)及其性質(zhì)
研究對(duì)象
積分形式 - 原函數(shù)形式 - 導(dǎo)數(shù)形式 - 泰勒展開(kāi)式
函數(shù)的四種特性
有界性
單調(diào)性
奇偶性
- 前提：定義域關(guān)于遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
- 基本類(lèi)型
- f(x)+f(-x)為偶函數(shù)
- f(x)-f(-x)為奇函數(shù)
- 復(fù)合規(guī)則 f[g(x)]
- 奇[偶]=偶
- 偶[奇]=偶
- 奇[奇]=奇
- 偶[偶]=偶
- 非[偶]=偶
- 函數(shù)的奇偶性求導(dǎo)一次換一次
- 解題：利用奇偶性及奇偶函數(shù)的復(fù)合規(guī)則，求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分值
- 奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分值為0岖圈，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分值是2 x 半?yún)^(qū)間
- 變體類(lèi)型（平移）
- f(x)為偶函數(shù)（關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）------>f(x)關(guān)于x=T對(duì)稱(chēng)
- 找關(guān)于x=T的對(duì)稱(chēng)區(qū)間解題
- f(x)為奇函數(shù)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）------>f(x)關(guān)于點(diǎn)(x0,0)對(duì)稱(chēng)
- 找關(guān)于x=x0的對(duì)稱(chēng)區(qū)間解題
- f(x)為偶函數(shù)（關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）------>f(x)關(guān)于x=T對(duì)稱(chēng)
周期性
求導(dǎo)后周期性不變
考法 & 解題方法
恒等變形 & 等價(jià)無(wú)窮小替換
變形前先化簡(jiǎn)讹语。恒等變形，通俗地說(shuō)就是蜂科，++ -- ** // 換元 用公式
常用解題思路
- 見(jiàn)根號(hào)差顽决，用有理化
- 重要公式： a^n - b^n=(a-b)(……)
- 裂項(xiàng)相消法
考研題中容易將此方法運(yùn)用到求1的無(wú)窮次方的極限中
解題思路：用e將冪指函數(shù)轉(zhuǎn)化成以e為底的指數(shù)函數(shù) - 湊條件，構(gòu)造等價(jià)無(wú)窮小替換
洛必達(dá)法則
洛必達(dá)法則經(jīng)常作為輔助手段使用导匣，當(dāng)滿(mǎn)足0/0或 無(wú)窮/無(wú)窮 時(shí)使用
公式積累：當(dāng)x->1時(shí)才菠，lnx ~ x-1
泰勒公式
展開(kāi)原則（展開(kāi)到幾階）
- A/B型（A*B轉(zhuǎn)化成A/(1/B)）：上下同階
若分母（分子）是x^k， 則分子（分母）展開(kāi)至x^k - A-B型（A+B轉(zhuǎn)換成A-(-B)）：冪次最低
將A,B分別展開(kāi)至系數(shù)不相等的最低次冪為止
注：采用冪次最低的展開(kāi)原則贡定，可以拋棄大學(xué)高等數(shù)學(xué)中說(shuō)的加減法不能用等價(jià)無(wú)窮小替換的說(shuō)法赋访。因?yàn)橛锰├照归_(kāi)時(shí)，是用主部精確求解缓待。
其它解題經(jīng)驗(yàn)
- 極限的脫帽法
夾逼準(zhǔn)則
看準(zhǔn)題目中出現(xiàn)的不等式蚓耽，很多利用函數(shù)的周期性
數(shù)形結(jié)合百般好
