戰(zhàn)國時期經(jīng)過兩千年的實踐，在對天文的觀察以及對土地的測量方面積累了大量的數(shù)學(xué)經(jīng)驗泼各。公元前5000年左右的中國半坡村陶器上的小孔數(shù)目已經(jīng)按自然數(shù)順序排列形成了等差數(shù)列浑吟，在殷墟甲骨文中已有十進制記數(shù)法，中國西周的“六藝”中的“數(shù)”就包含數(shù)學(xué)天文歷算等知識耕餐。到了戰(zhàn)國時期，中國數(shù)學(xué)的代表作之一《周髀算經(jīng)》大致成型了辟狈。
《周髀算經(jīng)》主要用于闡明當(dāng)時的蓋天說和四分歷法，而其在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計算夏跷。早在周公哼转、商高時代已知勾股定理的特例：勾三股四弦五。作為勾股定理的發(fā)現(xiàn)者槽华，《周髀算經(jīng)》中明確記載了周公后人陳子敘述的勾股定理公式：“若求邪至日者壹蔓，以日下為勾，日高為股猫态，勾股各自乘佣蓉，并而開方除之披摄，得邪至日”。從西周時代我國就開始使用一種最簡單的觀測工具——周髀勇凭。周髀即圭表疚膊，由直立于平地上的標竿（或石柱）為股，和正南北方向平放于地上的尺為勾組成虾标。從《考工記》可知寓盗，戰(zhàn)國以前人們已知道使用鉛垂線來校正表的垂直，用水平面來校正圭的水平璧函。每天正午時刻日影恰在正北的方向傀蚌，且每天正午時刻日影的長度并不一樣。夏至午時的日影最短蘸吓，冬至?xí)r午時的日影最長善炫。根據(jù)正午時表影的長度，就可以推定節(jié)氣库继，從正午時表影長度的周期性變化箩艺，就可以確定出一個回歸年的日數(shù)。此為“立竿見影”之法制跟。所以舅桩，我國在西周初期，已知道了回歸年的長度雨膨。周髀的發(fā)明擂涛，雖然十分簡單，而在中國古代天文學(xué)的發(fā)展上聊记，其作用和意義決不在后來的天文望遠鏡和射電望遠鏡之下撒妈。
戰(zhàn)國時在數(shù)學(xué)上另一個奇葩便是無所不在的墨家理論。莊子曾經(jīng)提出一個分割木捶問題：“一尺之棰排监，日取其半狰右，萬世不竭∮叽玻”希臘人芝諾也提出過一個類似的著名悖論：阿基里斯追不上烏龜棋蚌。因為他必須首先到達烏龜?shù)某霭l(fā)點，而當(dāng)他到達那一點時挨队，烏龜又向前爬了一段谷暮。墨子化解了這一千古疑難。他設(shè)想有一條線ab盛垦，從a端向b端前進湿弦，進到全長一半c，則斫去腾夯，剩余cb是全長的一半颊埃。再如前法取cb一半蔬充，剩為全長四分之一。如此取至無窮多次班利，最后必將到達線的最前端b饥漫。這正是數(shù)學(xué)上的極限逼近原理。直到1655年英國的瓦里斯出版《無窮算術(shù)》肥败，才有“極限”概念的正確解釋趾浅。另外墨子還給出了一系列具有高度的抽象性和嚴密性的數(shù)學(xué)概念的定義，例如關(guān)于“倍”的定義（倍馒稍，為二也）皿哨；關(guān)于“平”的定義（平，同高也）纽谒；關(guān)于“同長”的定義（同長证膨，以正相盡也）；關(guān)于“中”的定義（中鼓黔，同長也）央勒；關(guān)于“圓”的定義（圓，一中同長也）澳化；關(guān)于長方形的定義（四個角都為直角崔步，用“矩”來畫圖）；關(guān)于直線的定義（三點共線即為直線缎谷。三點共線為直線的定義井濒，在后世測量物體的高度和距離方面得到廣泛的應(yīng)用。晉代數(shù)學(xué)家劉徽在測量學(xué)專著《海島算經(jīng)》中列林，就是應(yīng)用三點共線來測高和測遠的瑞你。漢以后弩機上的瞄準器“望山”也是據(jù)此發(fā)明的）等。
此外希痴，在清華大學(xué)收藏的楚簡中發(fā)現(xiàn)了《算表》者甲。《算表》撰成于戰(zhàn)國中期偏晚時砌创，是目前所見到的我國最早的數(shù)學(xué)文獻實物虏缸，同時也是目前國內(nèi)發(fā)現(xiàn)最早的實用算具。該《算表》不僅可以將復(fù)雜的乘法轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚募臃凼担€可用于除法運算和開方運算寇钉。利用這套《算表》不僅能夠快速計算100以內(nèi)的兩個任意整數(shù)的乘積，還能計算包含分數(shù)“半”的兩位數(shù)乘法舶赔。其計算功能超過了以往發(fā)現(xiàn)的《里耶秦簡九九表》和《張家界漢簡九九表》等古代乘法表。它比目前能夠見到的古代十進制乘法表年代都早谦秧，在當(dāng)時世界范圍內(nèi)也是相當(dāng)先進的竟纳，是中國數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上的一項重大發(fā)現(xiàn)撵溃。
戰(zhàn)國之后，秦始皇焚了百家之書锥累，數(shù)學(xué)因為屬于方術(shù)缘挑、卜筮之書并不被禁止。上文提到了在里耶出土的秦簡中發(fā)現(xiàn)了我國最早桶略、最完整的乘法口訣表语淘。該表與現(xiàn)今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致，而且其中還涵蓋了二半而一這樣的分數(shù)運算际歼。西方最早的乘法口訣表是在1600年前發(fā)現(xiàn)的惶翻，該乘法口訣表比西方早了600多年【1】。
到了漢朝數(shù)學(xué)發(fā)展勢頭更猛鹅心，在張家山漢墓出土了《算數(shù)書》吕粗，是目前已知最早的中國數(shù)學(xué)著作。其內(nèi)容豐富旭愧，和《九章算術(shù)》有許多相同之處颅筋，體例也是“問題集”形式，大多數(shù)題都由問输枯、答议泵、術(shù)三部分組成，而且有些概念桃熄、術(shù)語也與《九章算術(shù)》的一樣先口。它比《九章算術(shù)》要早一個半世紀以上，書中有些內(nèi)容和《九章算術(shù)》非常相似蜻拨，一些內(nèi)容的文句也基本相同池充。有人推測兩書具有某些繼承關(guān)系。其他漢朝數(shù)學(xué)作品還有阜陽雙古堆漢簡《算術(shù)》缎讼，居延漢簡《算術(shù)書》《九九術(shù)》等收夸。東漢時的徐岳撰有《數(shù)術(shù)記遺》，記載了14種算法血崭，“珠算”之名首見于此卧惜。這14種中除“計數(shù)”為心算無須算具外，其余13種均有計算工具夹纫，分別是：積算（即籌算）咽瓷、太乙算、兩儀算舰讹、三才算茅姜、五行算、八卦算月匣、九宮算钻洒、運籌算奋姿、了知算、成數(shù)算素标、把頭算称诗、龜算和珠算，除了珠算都已經(jīng)失傳头遭。另外中國古代最重要的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》在漢代基本定形寓免，其中比例計算、線性插值法计维、盈不足術(shù)袜香、線性方程組解法、正負數(shù)運算法則以及正負數(shù)運算等都是世界數(shù)學(xué)史上的重要貢獻享潜。
后世數(shù)學(xué)在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展困鸥，魏晉時劉徽著《海島算經(jīng)》，注釋《九章算術(shù)》剑按。值得一提的是劉徽的《九章算術(shù)注》疾就，其對一些重要的數(shù)學(xué)概念給出了嚴格的定義，并由對《九章算術(shù)》中的公式和命題作了合乎形式邏輯的證明艺蝴，從而構(gòu)成了具有邏輯證明猬腰，推理結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論。這是對《九章算術(shù)》以數(shù)值計算為中心的猜敢，非邏輯結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)體系的重大突破姑荷。
南北朝時期祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以227為約率缩擂，355113為密率（現(xiàn)稱祖率）鼠冕。其所著《綴術(shù)》為唐朝國子監(jiān)教材《算經(jīng)十書》中最難的一門，要四年才可學(xué)成胯盯，后因其難而不傳懈费。隋朝開始設(shè)立“算學(xué)”，是世界上最早的數(shù)學(xué)尣┠裕科教育機構(gòu)憎乙。唐朝科舉制度中設(shè)“明算科”舉人。唐朝李淳風(fēng)等注釋十部算經(jīng)叉趣，后通稱《算經(jīng)十書》泞边，除不傳的《綴術(shù)》外，其余九書為《周髀算經(jīng)》疗杉、《九章算術(shù)》阵谚、《海島算經(jīng)》、南北朝《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《張邱建算經(jīng)》，唐朝《緝古算經(jīng)》梢什、《夏侯陽算經(jīng)》闻牡。
另外其中《孫子算經(jīng)》并非孫武所著，而今天所見到的《孫子算經(jīng)》可能經(jīng)過后人篡改绳矩，和《隋書?律歷志》引用的《孫子算經(jīng)》的有關(guān)記載有相互矛盾的地方。但近年敦煌發(fā)現(xiàn)的《算經(jīng)》其主要內(nèi)容就是《孫子算經(jīng)》玖翅，其發(fā)現(xiàn)則使這類問題迎刃而解翼馆。其中記載了億以上的計算單位，如兆金度、京应媚、該、梓猜极、讓中姜、溝、間跟伏、政丢胚、載、極等受扳。
敦煌古書中最重要的數(shù)學(xué)文獻是前人從未見過的實用性數(shù)學(xué)著作《立成算經(jīng)》携龟，這件《立成算經(jīng)》抄本最引人注目的地方，是出現(xiàn)了唐人手寫的數(shù)碼字勘高。這些數(shù)碼字沒有表示空位的零號峡蟋，是按算籌記數(shù)的縱橫相間規(guī)則，記下了一系列數(shù)碼华望，除個位數(shù)之外蕊蝗，還有兩位數(shù)和三位數(shù)碼。雖然還不能說這些數(shù)碼在唐朝就用來作運算了赖舟，但卻是宋代以后開始普遍運用數(shù)碼的淵源蓬戚，同時也有助于了解古代的籌算制度〗ㄌ悖《立成算經(jīng)》中首次出現(xiàn)算籌記數(shù)圖示碌更，驗證了古算書的記載。另外敦煌還有《九九乘法歌》等數(shù)學(xué)文獻發(fā)現(xiàn)洞慎。痛单，這些都是中國現(xiàn)存算術(shù)中最早的寫本，是研究中國數(shù)學(xué)史的重要史料劲腿。
中國數(shù)學(xué)史上另一部極其重要的著作是宋代秦九韶著的《數(shù)書九章》旭绒，它創(chuàng)立解一次同余式組的大衍求一術(shù)和求高次方程數(shù)值解的正負開方術(shù)，后者相當(dāng)于西方的霍納法（1819）。其他重要的數(shù)學(xué)作品有金朝李冶著《測圓海鏡》挥吵，元朝朱世杰著《算學(xué)啟蒙》重父、《四元玉鑒》，元代丁巨撰《丁巨算法》忽匈，明朝《魁本對相四言雜字》房午、程大位著《算法統(tǒng)宗》等。
后明代利瑪竇東來中國后丹允，又將西方數(shù)學(xué)帶入中國郭厌，在此基礎(chǔ)上又有徐光啟和利瑪竇合作翻譯的《幾何原本》，李之藻與利瑪竇編譯的《同文算指》雕蔽，清代明安圖《割圓密率捷法》折柠，汪萊寫成《衡齋算學(xué)》，焦循撰《加減乘除釋》等批狐。遭此沖擊扇售，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)全面敗退，近代以后中國以算學(xué)為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)再無建樹嚣艇。
中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)更多的是以算學(xué)為主承冰，在古代只是和算命一樣作為一門技藝，而非一門科學(xué)髓废。它能流傳更多是因為它是儒家政治所重視的歷法巷懈、天文、農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)慌洪，否則必定歸到奇技淫巧之中顶燕。表面上它是為農(nóng)業(yè)、歷法冈爹、建筑等服務(wù)涌攻，但本質(zhì)上還是封建政治的仆人。這就決定了古代數(shù)學(xué)講究實用而不講究“無用”的理論研究频伤，加上傳統(tǒng)習(xí)慣又不注重邏輯恳谎，古代數(shù)學(xué)即便再早熟，也最終是要流產(chǎn)的憋肖。
參考文獻
1 王煥林《里耶秦簡九九表初探》-《吉首大學(xué)學(xué)報：社會科學(xué)版》因痛，2006年1月
