“人的一切痛苦信不，本質(zhì)上都是對自己無能的憤怒。”
文：藍(lán)兔子讀難NOTES
圖：配圖?來源于網(wǎng)絡(luò)
編碼：0008
[Quantitative Methods]
[Common Probability distribution-2]
因?yàn)槠南拗仆龊牵覀兩弦黄恼轮徽f了一半抽活，在這一篇文章中，我們會(huì)繼續(xù)進(jìn)行常見的概率分布內(nèi)容的分享锰什∠滤叮可以說，在常見概率分布這一大章內(nèi)容里面汁胆，最重要的內(nèi)容就在接下來要說的里面梭姓，一個(gè)是正態(tài)分布(normal distribution)，另一個(gè)是t分布(student‘s t-distribution)嫩码，其也是掌握后面章節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)誉尖。
連續(xù)概率分布與正態(tài)分布
具體連續(xù)概率分布的定義我們在上一篇文章中已經(jīng)進(jìn)行過解釋，這里就不再贅述谢谦。我們直接來看一個(gè)連續(xù)均勻分布(continuous uniform distribution)的PDF圖形：
因?yàn)?b>每一個(gè)可能的結(jié)果發(fā)生的概率是相等的释牺，所以其PDF曲線為一條水平線。這里需要強(qiáng)調(diào)說明一下回挽，由于連續(xù)隨機(jī)變量可以有無數(shù)多個(gè)可能没咙，因此針對某一確定的結(jié)果，我們近似的認(rèn)為其發(fā)生的概率為0千劈，因此在分析連續(xù)隨機(jī)變量相關(guān)問題時(shí)祭刚，我們應(yīng)該取區(qū)間分析，而不能對點(diǎn)進(jìn)行分析墙牌。
又因?yàn)槿魏我粋€(gè)隨機(jī)事件涡驮，其所有可能的結(jié)果的概率和為1，所以上圖中喜滨，該條直線的y軸坐標(biāo)為1/(b-a)捉捅。當(dāng)我們對區(qū)間(a，b)中任何一段子區(qū)間進(jìn)行分析時(shí)虽风，可以利用簡單的幾何原理算出相應(yīng)的面積(概率)棒口。
接下來，就是重中之重的正態(tài)分布辜膝，正態(tài)分布幾乎存在于我們生活的方方面面无牵，無論是班上同學(xué)的考試成績，還是班上同學(xué)的身高體重厂抖，基本上都逃離不了正態(tài)分布的“上帝詛咒”茎毁，而且同一個(gè)目標(biāo)對象的數(shù)量(樣本量)越是多，越是重復(fù)的厲害忱辅，那么就越正態(tài)七蜘√犯龋看看下面這兩幅圖，看看你是否能找到小正態(tài)的影子橡卤。
請別告訴我這是人為的夜只，即便是人為的，為何偏偏就是這個(gè)樣子蒜魄。那到底是哪個(gè)樣子呢，請看下圖：
正態(tài)分布雖然如上帝的“祝赋∏”般占據(jù)了我們生活的方方面面谈为，但是我們只需要把它當(dāng)作一個(gè)工具即可，一把扳手踢关，我們不需要知道它是怎么生產(chǎn)出來的伞鲫，我們只需要了解他的一些性質(zhì)即可：
其PDF完全由均值和方差刻畫，通常記為N(均值签舞，方差)秕脓；
其圖形對稱，偏度為0儒搭，越中間概率越大吠架，越兩端概率越小搂鲫；
如之前內(nèi)容所講傍药，正態(tài)分布的峰度為3，超額峰度為0魂仍；
服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量線性組合后還符合正態(tài)分布拐辽；
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率區(qū)間幾個(gè)特殊值經(jīng)常用要記住，如下圖(90%對應(yīng)1.65個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差擦酌，雖然圖中沒標(biāo)俱诸，但也很重要)。
接下來的內(nèi)容是標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布赊舶。如前文所言睁搭，正態(tài)分布表示為N(均值，方差)锯岖，盡管正態(tài)分布存在于我們生活的方方面面介袜，但是這方方面面的正態(tài)分布卻也各不相同，且由于正態(tài)分布的PDF比較復(fù)雜出吹，我們很難通過表達(dá)式去計(jì)算出其某區(qū)間的概率遇伞，更不可能給每一個(gè)參數(shù)不同的正態(tài)分布都列一個(gè)表格去查。
好在前輩們也糾結(jié)過這個(gè)問題捶牢，并且找到了解決方案：他們把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的結(jié)果列成一張表鸠珠，并提供一種把非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的辦法巍耗，再拿這個(gè)分布去查表。
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表示為N(0,1)渐排，其中0為均值炬太，1為方差，任何非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換驯耻，轉(zhuǎn)換后即可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表得到相應(yīng)的值亲族。為了便于理解，舉個(gè)例子：
已知某公司股票的某參數(shù)符合正態(tài)分布可缚，其均值為10霎迫，方差為9，即服從N(10帘靡，9)知给，問隨機(jī)抽取該股票參數(shù)中的某個(gè)值，該值小于5的概率描姚，即F(5)涩赢。
雖然其服從正態(tài)分布，但不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轩勘，所以沒法直接查表筒扒，需要先進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的方法就是（很重要赃阀，重要霎肯，要）：
(X-μ)/σ====即=====>>(5-10)/3
即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的F((5-10)/3)即可。
查表要注意榛斯，1观游、查表會(huì)不會(huì)，不會(huì)的同學(xué)看看書驮俗，這里就不解釋了懂缕；2、查得的是累積概率王凑，可能需要再次進(jìn)行換算搪柑。
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布也被稱為z分布或者u分布。
虧空風(fēng)險(xiǎn)(shortfall risk)：指資產(chǎn)的收益低于最低可接受水平的概率索烹，虧空風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)概率工碾。這個(gè)最低可接受水平(shortfall level)用Rl表示。
羅伊的第一安全比例(Roy's safety-first ratio | SF ration?):
SF Ratio=[E(Rp)-Rl]/標(biāo)準(zhǔn)差
從其公式上來看百姓，第一安全比例代表的是每份超額風(fēng)險(xiǎn)所獲得的收益渊额，這里的超額指的是投資收益相對于最低要求收益的超額。注意與夏普比率區(qū)分，夏普比率的超額是指投資收益相對于無風(fēng)險(xiǎn)收益超額旬迹。
同夏普比率一樣火惊，每單位風(fēng)險(xiǎn)獲得的收益肯定是越多越好，所以怎么根據(jù)SF ratio選擇組合你懂的奔垦。
對數(shù)正態(tài)分布與t分布
接下來是另一個(gè)非常重要的分布屹耐，學(xué)生t分布(student t-distribution)，不要覺得名字奇怪椿猎，之所以叫這個(gè)名字惶岭，只是因?yàn)榘l(fā)表的人給自己取了個(gè)這么樣的筆名而已。就像正態(tài)分布也叫高斯分布一樣犯眠，只是名字而已俗他。
不過說到正態(tài)分布和t分布，他們不僅僅是名字都是發(fā)表者用的名字而已阔逼，他們還有很多的相似之處。怎么個(gè)相似法呢地沮，先看圖：
我們之前說過嗜浮，正態(tài)分布的樣本數(shù)量越多，就越正態(tài)分布摩疑。以考試成績?yōu)槔Ｈ冢粋€(gè)班50個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)肯定沒有全校同學(xué)的數(shù)據(jù)那么“正態(tài)”。但是如果反過來雷袋，班上只有40個(gè)同學(xué)吉殃，或者只有10個(gè)同學(xué)，他們的成績還符合正態(tài)分布嗎楷怒？不難想象蛋勺，當(dāng)我們數(shù)據(jù)量越小時(shí)，越容易受到極端值的影響鸠删，當(dāng)數(shù)據(jù)量太少時(shí)抱完，就會(huì)和正態(tài)分布出現(xiàn)偏差。
我們有一位偉大的同學(xué)刃泡，叫做“Student”巧娱，同我們一樣，他也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)現(xiàn)象烘贴，但是和我們不一樣的是禁添，人家找到了小樣本的解決方案，后來被命名成t分布桨踪。t分布具有如下性質(zhì)：
圖形如上圖所示老翘，當(dāng)自由度增大時(shí)，圖形逐步接近于正態(tài)分布；
圖形完全由自由度(degrees of freedom | df )刻畫酪捡；
相比于正態(tài)分布叁征，t分布圖形有低峰肥尾巴特質(zhì)，因此峰度>3逛薇；
這里說明一下，峰態(tài)雖然叫做“峰”態(tài)永罚，但他看的不是峰有多高啤呼，而是尾巴有多肥。
下面是對數(shù)正態(tài)分布(lognormal distribution)呢袱，雖然正態(tài)分布占據(jù)了我們生活的方方面面官扣，但是他卻有一個(gè)問題：他的取值范圍在正負(fù)無窮的范圍內(nèi)，而我們的資產(chǎn)羞福，或者說股票的價(jià)格惕蹄，不可能為負(fù)，所以導(dǎo)致其不能用于衡量資產(chǎn)的價(jià)格治专。因此卖陵，我們引入了對數(shù)正態(tài)分布(具體的過程比較有意思，但是這里不說)张峰，如下圖：
其有如下特點(diǎn)：
非負(fù)性泪蔫，符合資產(chǎn)股票的價(jià)格定義域，偏度為正喘批，所以一般用正態(tài)分布來衡量資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)撩荣，而用對數(shù)正態(tài)分布來衡量資產(chǎn)的價(jià)格。
最后還有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)饶深，叫做多元分布(multivariate distribution)餐曹，這里大家不用詳細(xì)了解，只知道多元分布就像多元方程一樣敌厘，里面有多個(gè)元素凸主。考試一般問你需要幾個(gè)參數(shù)才能刻畫出這個(gè)多元分布额湘，只要記住以下內(nèi)容就OK：
每一個(gè)元需要兩個(gè)參數(shù)來刻畫：一個(gè)均值卿吐，一個(gè)方差；
每兩個(gè)元之間需要一個(gè)相關(guān)系數(shù)來刻畫锋华，nC2嗡官；
所以，假設(shè)有n元毯焕，需要的參數(shù)就是2*n+nC2衍腥，掏出你的計(jì)算器吧磺樱！
模擬
模擬就是通過事前對事情進(jìn)行彩排，來預(yù)測和發(fā)現(xiàn)事情的發(fā)展方向婆咸，比如去面試前竹捉，你會(huì)進(jìn)行一個(gè)模擬面試，考慮會(huì)有哪些問題尚骄，如何應(yīng)對块差。
模擬有兩種，以面試為例倔丈，很多人都有面試過憨闰，自己可能也面試過多次，面試的常見套路需五，問題基本上就那些鹉动，你模擬的時(shí)候，你就能知道大概會(huì)問哪些問題宏邮，雖然每次面試不一樣泽示，但是大差不差，你可以假設(shè)一種情景來分析蜜氨，如果問這個(gè)問題怎么樣边琉，如果問那個(gè)問題怎么樣。這就是蒙特卡羅模擬(Monte Carlo simulation)记劝，我們也稱之為情景模擬，對解決如果咋的咋的(what if)問題很有效族扰。實(shí)際上厌丑，你就需要先假設(shè)這么一個(gè)如果(通常假設(shè)其符合某一分布)，但是其缺陷是渔呵，你一旦假設(shè)都錯(cuò)了怒竿，那你就全盤皆輸。而且這種計(jì)算費(fèi)電腦扩氢。
還有一個(gè)叫做歷史模擬(historical simulation)耕驰，就是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來模擬，比如搜集某個(gè)地方某一天過去100年的天氣情況來預(yù)測以后的天氣情況录豺，由于其依賴歷史數(shù)據(jù)朦肘，所以不能進(jìn)行情景分析，如果(what if)氣象局搞了場人工降雨呢双饥？而且時(shí)代在進(jìn)步媒抠，萬事萬物都是在變，沒有什么是一成不變的咏花，所以歷史模擬也存在問題趴生。還有就是，你選的這段歷史數(shù)據(jù)萬一碰巧選到特殊的一段了，比如模擬經(jīng)濟(jì)發(fā)展苍匆，你剛好選到二戰(zhàn)那一段呢刘急？所以，我們通常進(jìn)行樣本外測試(out of sample test)浸踩，把數(shù)據(jù)拿到樣本外的歷史數(shù)據(jù)去試試叔汁，排除數(shù)據(jù)選擇問題(是那一段時(shí)間獨(dú)有的)。
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